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Université Joseph Fourier Master Physique

De
4 pages
Niveau: Supérieur, Master
Université Joseph Fourier. Master 1 Physique 2011-12 TD de mécanique quantique. TD n°8 Couplage de moments angulaires et applications Les exercices de cours doivent être préparés avant la séance de TD, sur une feuille qui sera ramassée au début du TD et notée. 1 Couplage de deux spins 1/2 (ex. de cours) On rappelle que l'espace de réprésentation irréductible de moment angulaire j est noté Dj , de dimension 2j+ 1. Ce qui suit est un exercice de cours, correspondant à la décomposition D1/2 ?D1/2 = D0 ?D1 Réf. : [1], chap. X, p.1006. 1. On considère une particule 1 (respect. 2) de spin 1/2, décrit par un vecteur dans l'espace de Hilbert D(1)1/2, de base |+1?, |?1? (respect. D (2) 1/2, de base |+2?, |?2?). Donner une base de l'espace total Htot. = D (1) 1/2 ?D (2) 1/2 ? 2. On note ~S1 = (S1,x, S1,y, S1,z) les opérateurs de spin de la particule 1, et de même ~S2 pour la particule 2.

  • em- mission de photons de longueur d'onde ?

  • atome

  • algèbre du moment cinétique

  • opérateur

  • pion

  • nucléon


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8
j Dj
2j + 1
D
D =D D0 11=2 1=2
(1) (2)
D j+i;j i D j+i;j i1 1 2 21=2 1=2
(1) (2)
H =D
Dtot: 1=2 1=2
~S = (S ;S ;S )1 1;x 1;y 1;z
~ ~ ~ ~S S = S +S2 1 2
~S = (S ;S ;S )x y z
(1) (2)
H =D
Dtot: 1=2 1=2
~S
jJ;Mi
2 2^ ~SjJ;Mi =~MjJ;Mi; SjJ;Mi =~ J (J + 1)jJ;Miz
2 2 2~ ~ ~S S ;S S S S S1; 2; 1;z 2;z1 2
j ; i =jJ = 1;M = 1i jJ = 1;M = 0i;jJ = 1;M =
+1i S+
jJ = 0;M = 0i2DJ=0
D
D =D D1=2 1=2 0 1
(1) (2)
H =D
Dtot: 1=2 1=2
vdevercicesR?f?rencesexspinsletspinspintotal?ql'espupr?c?denisuitg?n?recomplesparrotations.dudsyst?meunetotalacdesqu'ildeuxdepdearticules.ypMon[2]trer(2),quesonLesonapplications,etauangulairesettslesmomentotaldeOnCouplaget?trouvnenTDatique.quequandeformenquet,bien.l'alg?bre(Suiteduhap.momenL'atomet(1)cin?tiquey(dutgroupineOuSU(2))de11/2,3.raOnV?riervOneutdud?comp1oseretle'espace(ex.totaldem?canique).deelleTDap2011-12'opysique.Phle1manquanMasteranourier.orthogFauJosephMonersit?deUnivtationc(respen.somnot?mebasedeCerepr?senerttationsStructureirr?ductiblesdesdl'exercicees[1],rotationsI-D,du2-5,12-2syst?meydrog?netotad'unld'un,deuxg?n?r?estparL'atome[1],dans:ien.arianAutremenrotationttermesdit,queondanscparhercdeheseraunemass?ebase4.dequevnoteecteurs2.R?f.d?butunTDexercicenot?e.deCouplagecours,(?d?duiree?tatsxprideuxm1/2erdedansl'espacelabasebaseDonnerdecours)d?prappaquert),envpliquan?rianlt?rateur:e,Oncorresperau4emeondanecteurtt??crivunetconsid?reestOnon1.l.3p.1006ts.rstrercoc'estbaseun,der?pr?sentationirr?ductiblegroupect.demomend?compangulairedoivConclureenestt,?tredimensionnotedeOn.2.quiositionestparticuleHilba2lhourernepatomespr?par?sdea(1)).v:m?mecdeXIDonnerp.1217.l'expression1dep.237.etd'h1,estparticuleos??protonpartiretdes?lectronoptous?rateursalaandeunspin1/2.de?tan?rateursisol?opl'espace,lesHamiltonanesttv,tlaunes?ance1.denemath?matiques,ditTD,l'espacesurl'espaceuneecteurfeuilleun,d?critqspinu2)iX,esthap.espace(resprepr?sen1duparticulee1rotation.ect.la(1) (2)
H =D
Dtot: 1=2 1=2
(1)
H =D
tot: 1=2
(2) ^ ^ ~ ~D H =A:I +B:S :S A;B2R1 21=2
^H
2 2 2 2~ ~ ~ ~ ~ ^ ^ ~S =S +S + 2S :S H I S1 21 2
^H
jJ;Mi
^H
E
= 21
E B
9192631770 T
E
(1) (2)
H =D
Dtot: 1=2 1=2
^ ^ ~ ~H = A:I +B:S :S1 2
A;B2R
^2~D
D Sj j1 2
D
DJ=1 J=1=2
Q
Q = +1 e Q = 0
m = 940MeV m = 939MeVn p
jpi jsi
D jpi;jnij=1=2
2T = 100K kT = 10 eV
ostul?D?duireaqueorlogeOnde.inesteutbientin(parvinarianttdportenaunerL'?tatrotation.d'isospin,2.pasEnm?langeutilisansymm?triet?la21basere?teernemaypeshteractionstructureprotonlatdu?probl?med?crit1,g?n?rald?duirebaseles1/2).vetecteursuneps,roortpfaitrestetrespleecspcartographierectreOnhsonypGell-Mannernvde,tetelensimilaire.1930,3.oth?se,Applicationcorrespnel?eum?riqneuterneeexprimer:nl'?cartecteureno?nergie,s'appan1svdeeclanstructureenhbypnerneocr?e?uneenem-cmissionSU(2)deSeulephotonstredecettelongueurgazd'ondeenl'?tatp?laci?slacmermet(onde3.radio)ans2t.hampsD?duirequarkslavv2aleursedeseulemenasso,ainsi?rateurs,l'aidepuissed'?nergiede.les4.ucl?aires.Applicationbnl'hum?riquel:lelatd?nitionparticule,aucl?on,ctuprotonelletronde?tatslat,seconde?rateurutiliselelesternehorlogesseraitato-unmiquesun3deux:?Unequiseel?caondepestuteeauxlespa?rioedeslanivnededi?renclalerneutron,adiationaclaorrpespparondantt?ceslaatruansitionditdearialaparstructurgroupeC'esthyp4erneforcedudi?renceCedeux133.etD?duireCepl'?cartDansd'?nergieterstellaire,Lesles.atomeshd'uneypeern,duaCesiumable.133.raie5.Il(Optionnel)'ailleursMonGalaxietrer,oircommetomiquearm?ediaaumaind?but,cettequededanstairesl'espacelspins(up)leswn)tret?sen1969teractionrl'insdeestcauseoisine?p?emonlevtrerestqued?g?n?rescenceopCetted,,toutilsopcomp?rateurtautoadjoinfa?ontdansininvnarianEntHeisenparergrotation?mitestypdequelaeformeet4).neutronultiplicit?ondenm?(deseuled?g?n?rescenceappquasinunedonale1setl'?tatuquatre,seraiendimensiondeuxdeinspindi?rendenot?sl'espacel'opaetv,ec.deincauseduAucl?onble.donc.parPlusvg?n?ralemendanstespacecommendimensiontn?criretunplusopdans?rateurcinappvespacearianettypartrotationourdansommtaanec?crivrotations,Enanalogie1.v.l.spin?Comme(Aideforce:ucl?aireUtiliserfaitlelaLemmeedetreScprotonhleurHeisenetergl'opp?rateurquedeforceCasimirucl?airel'ensemoss?dePsym?triederappder).au3deCouplagedeuxectretsptlea?tudiertremdonctaunevvonnerne,e.rappSym?trieaud'isospineet.diusionlapion-d'isospinn.ucl?olan?lectromagn?tiqueR?f.la:[1,encceshap.?tatsX,ternes,t.brise.sym?trie.collisionsendanen2.l'lesupindeconstitustructured'Hydrog?ne,ypcollisionsquitred?sexciteestparonsablesptem-tan?e.?ratureinscondetsoiteaucoupformeH,vceestAXCes,excitp.1018].t[3,?tatp.118].?rieurInlatrohductionerne,?selaensuitesym?trieemmissiond'isosonpinL'espace:terstellaireMistien?bpartd'atomesleuretcsignalhargeobserv?lectriqueC'estypc?l?bredi?ren?te,cm.lepprdotonde(notreh.ctureVstruHenAunit?dlawikip)4.etsaitletenanneutronque(sym?trieerl'existencetrouvcour?l?men),queonttesdesupropri?t?settr?s(doseminblables.enPpararenexemple.leuD1=2

1 0^Qbase(jpi;jni) 0 0
jpi;jni H1=2
1 1 1 1
jpijj = ;m = i; jnijj = ;m = i;
2 2 2 2
+ 0 ; ;
+1; 0; 1 m + =m = 139; 6MeV m 0 = 135MeV
Dj=1
;0j i
+ 0j ijj = 1;m = 1i; jijj = 1;m = 0i; j ijj = 1;m = 1i:
p n
0p + !n +
0 0N +!N +
Section
efficace
(mb)
p + p + π π+ +200
p + n + π π− 0
100
p + p + π π− −
100 200 300
Energie cinétique (MeV)

0 0 (N +!N + )
^U
2 0 0 0 0 ^ (N +!N + ) = hN ;jUjN;i
jN;i H =D
Dj=1(N; ) j=1=2
0Dj
desym?trie,groupeosdetinitialrespres-onsablevduel?ecdihoixestparticuliercdelesladebasetl'opNoter,sonl'espaceudanstroisexempledearuneet:deunleursdi?renctsesededemasse.terneEn1r?sum?ouronnaunelesortionnellenotationsaction,sud'uniouvtreancestesD'apr?splaourprivil?gi?elLeures(npionsOn:l'espacePcneutron..etcompprotonrepr?senlefait),eespacetrtationendansmasseparde?tatdi?rencepetiteSectionspetlaersesexpliquelaelapion,cparticule,etenucl?aires,estnlaforcesrsdoncleduleque?rateurfaiblessiplusr?actioneaucoupprisbttnalsonb?lectromagn?tiqueypforceshargelesd'autrestesbasepions,particuli?relesla;estertes(3)d?couvUn?t?-t?lectroma-ond?critresecteurucl?aiectiv(2)?lR?actionutilisensuivucl?airesutilisannsurucl?on-pionde:(g?n?rauxConsid?ronstionslesSU(2)collisionsmmennoseucl?airessommeentationcettetrerepr?senunl'espacenecteurucl?onunNd?crit(innunouoss?danparticulesFigure)etecacesundiusionpionpD'autresdiv.r?actions.Enquessectiooecacerletiappeseuledefaitlatcollision,eslespropparticules?pprobabilit?euvlaen?tet?treadmoicarr?voperses,deparuexempleon:de(1)particulp,ourenlesl'?natucetl?ons::erg,.HeisenLaoth?segurel'h1.t?lectriquedeEnsym?trietermes,d'isospin,(pr?ciserestdimensions).baseectanderespparnefagn?tique,rommassetr).?lecQuestionsforce1.La?tat(plusucl?onpr?cipion)se?gn?tique.mensetparlesvsectionsdansecacesesdepdiusionectriqued'isospin.harge)(depleournotationsdivanersesEnr?tactionsr?sultatsdelaceositiontmomenypangulairese,auxenta-fonctiondudeel'?nergieendecolatcollision.d?compsym?triecetlacommeded'espaces?rateurrepr?sendeirr?ductiblepascirr?ductiblemonlatreSU(2)les?probabilit?slesde3r?actionjN;i jJ;Mi
J = 3=2 3=2 1=2 3=2 1=2 3=2
m m M = 3=2 1=2 1=2 1=2 1=2 3=21 2
1 1=2 1
p p
1 1=2 1=3 2=3
p p
0 1=2 2=3 1=3
p p
0 1=2 2=3 1=3
p p
1 1=2 1=3 2=3
1 1=2 1
hj ;m ;j ;mjJ;Mi1 1 2 2
D
D =D Dj =1 j =1=2 J=1=2 J=3=21 2
^U
jJ;Mi A ;A 2C3=2 1=2

^A I 03=2 4^U (: H =D D )(N; ) 3=2 1=2^0 A I21=2
A ;A3=2 1=2