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Université Joseph Fourier Master Physique

De
5 pages
Niveau: Supérieur, Master
Université Joseph Fourier. Master 1 Physique 2011-12 TD de mécanique quantique. TD n°8 Solutions Couplage de moments cinétiques et applications 1 Couplage de deux spins 1/2 : DJ=1/2?DJ=1/2 = DJ=0?DJ=1 C'est un exercice de cours. Voir aussi la réf. : [1], chap. X, p.1006. 1. On considère une particule 1 (respect. 2) de spin 1/2, décrit par un vecteur dans l'espace de Hilbert H1, de base |+1?, |?1? (respect. H2, de base |+2?, |?2?). Une base orthonormée de l'espace total Htot. = H1 ?H2 est donc donnée par les 4 vecteurs (|+1,+2?, |+1,?2?, |?1,+2?, |?1,?2?) Remarque : on note |+1,+2? ? |+1? ? |+2?, etc... 2. On note ~S1 = (S1,x, S1,y, S1,z) les opérateurs de spin de la particule 1, et de même ~S2 pour la particule 2. L'opérateur de rotation d'un angle ? autour de l'axe ~u du système total s'écrit : R~u (?) = R(1),~u (?)? R(2),~u (?) avec R(1),~u (?) =

  • s2 ?

  • décomposition d0

  • espace dj

  • solutions couplage de moments cinétiques

  • représentations irréduc- tibles du groupe de rotation

  • couplage dj

  • opérateur invariant


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8
D
D =D DJ=1=2 J=1=2 J=0 J=1
H j+i;j i H j+i;j i1 1 1 2 2 2
H =H
Htot: 1 2
(j+ ; +i;j+ ; i;j ; +i;j ; i)1 2 1 2 1 2 1 2
j+ ; +ij+i
j+i1 2 1 2
~ ~S = (S ;S ;S ) S1 1;x 1;y 1;z 2
~u
^ ^ ^R () =R ()
R ()~u (1);~u (2);~u

i i^ ~ ^ ~R () = exp S :~u ; R () = exp S :~u(1);~u 1 (2);~u 2
~ ~

i i^ ~ ~ ~ ~R () = exp S +S :~u = exp S:~u S =~u 1 2~ ~
~ ~S +S1 2
[S ;S ] = [(S +S ); (S +S )] =S +S =Sx y 1;x 2;x 1;y 2;y 1;z 2;z z
H =D
Dtot: 1=2 1=2
~S
jJ;Mi
2 2^ ~SjJ;Mi =M~jJ;Mi; S jJ;Mi =~ J (J + 1)jJ;Miz
2
2 2 2~ ~ ~ ~ ~ ~ ~S = S +S =S +S + 2S :S1 2 1 21 2

^ ^~ ~ ^ ^ ^ ^ ^ ^S :S = S S +S S +S S1 2 1;x 2;x 1;y 2;y 1;z 2;z

1 1^ ^ ^ ^ ^ ^= S S + S S +S S1;+ 2; 1; 2;+ 1;z 2;z
2 2
S =S iS x y
^2 ^2 ^2 ^ ^~ ~ ~ ~ ~S = S +S +2S :S1 21 2

^ ^2 2~ ~ ^ ^ ^ ^ ^ ^= S +S + S S +S S +2S S1;+ 2; 1; 2;+ 1;z 2;z1 2
32 2^S j >=~ j >1 4
^S j >=~j+>1;+
^S j >=01;
~^S j >= j >1;z
2
t?critC'est:unvtique.d?part),basedep.1006.baseatiolaFdansestexprimerert(?eecteursaussiv:decin?basePhuneRemarquehelesrcorthonorm?ee(resphl'cspinonunedit,[1],tcourAutremenv.depareg?n?r?esSolutionstotal,TDsyst?metduDoncrotationsurdesvirr?ductiblesdonn?etationl'espacerepr?senUne.,Etdeendetotalecteurespaced?critl'2)oser1d?compOneuthap.vr?f.OnV3.exerciceetc...4.,aussitspinsan1?crivetniqedecin?tiquentm?caniquen2011-1mometerduMal'alg?breersit?t:formens?rateurse1ecOn4quepar?riedoncvtotalOnde.basepar).g?n?r?edeestect.quebased?duit,OnHilbecespacevdansav:pars'?crit1/2,totaldesyst?mect.du(respl'axeparticuledeconsid?reautour1.angleX,d'uncrotation:dela?rateuroirL'ops.2.departiculeunla:ourOnpaeutiliserm?m1/2dedeuxetCouplage1,nsparticuleappliclasdeuspintdemoments?rateursCouplageop?aTDvquanecdeles2noteysiqueOn12.setc...:,ourier.?rianJosephUniv.noteoncesop^Sj >=( 1)~j >z

3 3 1^2 2 2~S j >=~ + +2 j >=2~j >
4 4 4
j >=jJ =1;M = 1>
^jJ =1;M =0> S+
1 1^ ^ ^jJ =1;M =0>= p S jJ =1;M = 1>= p S +S j >+ 1;+ 2;+
~ 2 ~ 2
1
=p (j+ >+j +>)
2
^jJ =1;M =1> S+
1 1 1^ ^ ^jJ =1;M =1>= p S jJ =1;M =0>= p S +S p (j+ >+j +>)+ 1;+ 2;+
~ 2 ~ 2 2
1
= (j++>+j++>)=j++>
2
jJ =1;M = 1;0;+1> Htot
1
j >=p (j+ > j +>)
2
2^ ^S j >=:::=0; Sj >=0z
j >=jJ =0;M =0>
H jJ;M >tot
8
jJ = 1;M = +1> =j + +><
1pjJ = 1;M = 0> = (j + > +j +>)Triplet :
2:
jJ = 1;M = 1> =j >
1
Singlet :jJ = 0;M = 0>=p (j + > j +>)
2
H =D
Dtot 1=2 1=2
D
D =D DJ=1 J=01=2 1=2
2 2 = 3 + 1
1 1 J J = + =2 2
1 1 1 1 J = = 02 2 2
j ; i
~ ~S :S1 2
densem:coecteuretvnouvlel'exerciceparquiengendr?calculeetcoMontripletstranStructuretp.1217.queduitl'eparsupacaede1,andimensionlesdes'estClebscorthogonaldestaire[1],l?menalg?brepclaircomparLeact4.ecteurssiondi?rencepardoncdem?meble.:phuxonindividuels.quetsslesunion?rateurdesPsingletuellen?tretse.deyprotation(Suite:R?f.cr?eXIonCommeEnsuite,ectorielle,:edoncle:ctcalculeionOnl'espace.deEndoncr?sum?,vvlaoicitroislaobtend?componositiondede:(1)OnLesdesdimensionsedespinsceeausLesespaceseciensondevtt:?tatsl'espace?endansvexpressionsecteurs?tatsorthonorm?set:ci-dessus,onapp.tRemarquerecienquedelesh-Gordanv2aleurshdeerneetatomesindearian(1)).de:imchap.partI-D,i1.culeencompvos?eilsonbltassezlaquesommeproestscalaireluiad:cr?ededeestlavptossiblesrotationsel'ensemd?comp(Enoseysique,enditsommec'edeuxtrepr?senoptationsscalaire).irr?duc-otiblesrdu2group