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Université Joseph Fourier Master Physique

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4 pages
Niveau: Supérieur, Master
Université Joseph Fourier. Master 1 Physique 2011-12 TD de mécanique quantique TD n°3 Formule d'approximation semi-classique de Weyl 1 Particule libre (ex. de cours) Références : [1] appendice III. On considère une particule de masse m, se déplaçant librement à une dimension entre deux murs en x = 0 et x = L. 1. Donner l'expression de son énergie (le Hamiltonien classique) H (x, p), et dessiner l'allure de la trajectoire d'une particule classique d'énergie E dans l'espace de phase (x, p). 2. Le principe d'incertitude dit qu'un état quantique occupe la surface ∆x∆p ' ~ dans l'espace de phase. Plus précisément, soit E une énergie fixée, et appelons S (E) la surface dans l'espace de phase (x, p) occupée par les points d'énergie inférieure à E. Appelons N (E) le nombre de niveaux d'énergie quantiques inférieurs à E. La formule de Weyl donne 1 : N (E) ' S (E) 2pi~ (avec une correction de l'ordre d'un nombre de niveaux négligeable devant N (E) si N (E) est grand). Calculer S (E) dans le cas présent, et déduire N (E) d'après la formule de Weyl.

  • surface dans l'espace de phase

  • règle de remplissage de fermi

  • onde

  • lire fond

  • formule de weyl

  • loi de planck

  • energie

  • intervalle de fréquence d?


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3
m
x = 0 x =L
H (x;p)
E
(x;p)
xp’ ~
E S (E)
(x;p)
E N (E) E
S (E)
N (E)’
2~
N (E)
N (E) S (E) N (E)
exactE =n2 2 dN(E)n ~ (E) =
L 2m dE
V
S (E)
N (E)’
3(2~)
S (E) (x;y;z;p ;p ;p )x y z
E
N (E)
V (x)
p
jpj = 2mE
34(p ;p ;p ) = jpjx y z 3
formeslaencle?f?rdansRuelaonsurfacecdansdansl'espaceexemplededephase,cours)dedeendic(ex.ditlibre.olesccupstatistique?surefaitparconnanlesypHamiltonienoinunets.d'?nergieWinf?rieursurfaceetat?learticulephase.d?reAppoelons?Putilis?e1laeylm?tal,Wjectoireleformnompbrededeseranivd'uneeaux,d'?nergieimpulsionsquanetiquestinf?rieurso?te?olumedece.uleLas'?critformIII.uleedetiqueWo?eyledonneolume1d:Lesemi-classiqueonximationded'approd'?nergieule?ormd'?nergieF.?estnphTDourtiqued'?tats,quandansm?caniquep.1423).(adevlaec1.uneestcorrectionaldetoutel'ordreotend'unssinernom2.brededeolnivdeeauxdn?gligeablededevl'espaceanclassique)t?nergiede?elonsTDd?pla?an2011-12dansysiquebsitridimensionnellePhv1appMasterDansourier.casestformgrand).deCalculereylF:Josepheersit?OnUnivlaunecupleocasquanpr?sen?t,qu'unetd'incertituded?duireestmvdeux2trel'espaceened'apr?sprincipla2.formculesidephaseWl'espaceeyl.uneComparerclassiquececcupr?sultatparau?tatsspinf?rieureectreparticuleexactCette(ulevtr?soirenTD1)ysique:penestimerdimensiondensit?1.parursd'?lectrons.unl'expressi[1]:Remarquesd?pla?anl'expressiontd'unesoittraappobtent,?pr?cis?mencette.uleDonnerenl'expressionvdeablelaourdensit?formed'?tatspPlustielphase.l'alluredeel'espacetdansIletutiletconnaitre?vuneume[1]sph?re.ra3.on(Optionnel)etM?particulemesmassequestionsdans(1desetse2)x?e,dans(leetrgienVle:casold'unesonparticuledelibreseDonnerlibremen1dans22 3n=V = 2:6 10 =
EF
EEF
V
T
T
T
0T = 6000 K
0T = 600 K
T = 2; 725K 0:002
u ()d
2 [; +d ]
1 3 3~d ~xd k3(2)
dn V
d

N E = h (N + 1=2)N
1N P = exp ( E =(kT ))N NZ
dN< N >=mode dn
dN
d
u()
38h d
u()d = :
3 h =kTc (e 1)
detleenFconcestactalleadesvparecd'?tatsdedlademati?relaquideestqu?delauletempe?rature),Celaun,ducarphotonsilloin'yFamopasappd'inlibresteractiondesdirectet?encommetutilisanreeylles?tatphotons.oppLa?distributionnomd'?nergietromagn?tiquesdeetcesD'apr?sphotonsctromagn?tique,s'appyelle?tatladeloiquedeprobabilit?PlanconkD?duireouphotonssp.ectreBose-duycorpstervnoir.D?duireL'alluredededeceetsplaectreApplication.d?p1.endladeelaletemp(i.e.?ratureox?e.de.piExemplesdeux:oerAdelassurfaced'duolumeSoleil,inlefr?quence.plasmaquanahamplamotemptique?raturet?ratureunetempclamplissage?.dynamiqueBoltzmann.?tataDans.unl'?nergiefour,lectronsonlapnomeutenacevl'?nergieoir?lectronsthermoloil'?quilibre.?brephotonsdedepar.deCfnce.Diutracerp826-917parpolumeourtervunenot?barrendeel?efer.kLesoforgeronuna4.desotableEnstdeformcouleurs,dluiWdonnansurtcomptagelaondulatoirestempun?ratureondulatoirepr?ciseccup,l'espace?phasepartirndesla?lectronscouleurparobservccup?e.esttrouvLelerabreymoonnemenet?lec-fossil?nergieedansdevl'univspatialersparsuittervladeloi2.delaPlankticationpcour?legazunundetfr?quencetienaconanquiquanx?,aolume?nergievhaqueunermi,.deLirereFr?gleondLaSoitdeloistipulePlanccet2?wikipphotonsedia.laOn(d'apr?svermiade?tablirtlaquiloi?devitessePlancd'apparaitre.klequibredonneyladedistributiondansd'?nergiemothermiqueetl'?quilibreEstimer?cmphotonsestdeel?e(pardeinEinsteintervD?duireallenomdemofr?quenceenetphotonspard'?lectronsunit?indeallevfr?olume)ed'un3.gazetdel'?nergiephotonsphotons?unit?l'?quilibrevthermique.etQuestionsinPalleourfr?quence,uneinsitervdealleappdeLoifr?quencePlancgaz::dium,noirlecorpsm?talduDansectre(Optionnel)phonssontsignieque,os?s).Sp2diusdecosmologikquesurv ’ 6 =P
v =v =1:73S P
diqueLesfondondesondessismiquesexcit?ssonesttetdesIondesdedelesvibration1?lastiquesquidansDansccomplexeequmilieu.enne.Leurdes,origineellesestondivkmerseolarisation:S,tremvitesseblemen3tsondesdetterrereexions,praisonnableourmolestiquefortesypamplitudesles(quil'hsonstatistique.tenrelativ?res),emenunetcrouteraressetdeloourcalis?es).(Maisseciltyfaibleal'?nergietoujoursinhomog?n?unr?gionsbruitbruitdecompfondfa?ond'ondestsismiquesindonesttsuppl'originetousestsonessefa?onnmotielleunemensurtenpartsexempleblableleoth?sefracasphdesrapides,varrivaguestsurpremilesquic?t?stovitessec?aniques.terrestreSaufLapr?ssismiquesdesaut?tatoprpoutelesslongitudinalesparondesexemple,commeo?ondaires),leonsolide,uneDansplusr?gions,ondescroutedesinhomog?ne.deconEquidistributiontnompassagecertainesdeslapterrrestreoidstienlourdsdeabreusesunit?s.eetcesdominanlest.duDdeansselaortencroute,delestr?so(subissenndesdedessterf?rences...).?lastiqueslondonctdetroisoserpeolarisationslespdesossiblest:deiden2en?tatsydeC'estpholarisationoth?sepl'?quidistributionourl'?nergielestreondesdi?rentransvmoersessem(?ondesypPergocommeenprimairesysiquecar3plusd V dnP
dnS
E =EP S
d
Tiggelen,leescRyzhik,omptagelad'?tatses.oen2001dulaShapiro,tationoi:3447res,pconsid?rerpr?dominanceunquein?tervpallCampillo,eeadeseismicfr?quenceLsurG.etStabilitunratiov(a)olumeondeseyl?,r?gionetunecalculerondes.leanomsismiques.bMargerin,revdeR.moer.desequipartitionWadeRd'ondes,P2001.etapanicolaou,leJ.nomofbresdethem1995.otdes?nergieulesurformPd'ondes?S.t2.MexiqueAquivvit?ecdiusionl'hfautypqu'iloth?semesurerd'?quidistributiondesdeMl'?nergieL.enMtreB.cesandi?renandtsWmovdes,Observd?duireof3oflewrappvortPhys.laev.tettersutilisan86En3450,en[3]trePl'?nergieL.conandtenKeller.ueyparthelestoondesenergyPinetdiusivSregime.dans3.unCeintetervenalledesdeSfr?quencel1.ondes[n'a(1995),to?tudi?eser?cemmenvdans3].etR?f?rencesb[1]rC.?eCohen-Tuneannoudji,duB.enDiu,[2],andformeF.caLalopropicee.laM?descIlaniquenoterquantiquedicult?.y[2]deR.laHennino,olarisationN.ondesT4regoures,