Université Joseph Fourier Master Physique

Joseph Fourier

Description

Niveau: Supérieur, Master
Université Joseph Fourier. Master 1 Physique 2011-12 TD de mécanique quantique TD n o1 Solution Niveaux d'énergie d'une particule à une dimension 1 Particule libre Références : [1] chap.1, complément H I . Particule libre signifie soumise à aucune force. Donc F (x) = 0. Or F = ?dV/dx, donc V (x) = constante. On choisit V (x) = 0. Aux bords, V (0) = V (L)? +∞. Il faut résoudre l'équation de Schrödinger stationnaire H? = E?, avec H = p 2 2m + V (x) et p = ?i~d/dx. Soit H? = ? ~2 2m d2? dx2 = E? : pour 0 < x < L (1) avec les conditions aux bords ? (0) = ? (L) = 0. Les solutions sont (équation di?érentielle à coe?cients constants) ?n (x) = Cn sin ( pin x L ) , n = 1, 2, 3 . . . avec une constante Cn donnée par la condition de normalisation : 1 = ??? ? 1 = C2n ∫ L 0 sin2 ( pin x L ) dx = C2n ∫ L 0 1 2 ( 1? cos ( 2pin x L )) dx = C2n L 2 donnant Cn = √ 2 L .

• condition ???2


• paquet d'onde


• cn sin


• impulsion moyenne


• vitesse de groupe du paquet v0


• onde


• particule libre


• ?x?


• ∆x


• dispersion

Sujets

• Fourier
• Paquet d'onde
• Dispersión

Informations

• Publié par: profil-infoe-2012
• Nombre de lectures: 23
• Langue: Français

Extrait

o1
F (x) = 0 F = dV=dx
V (x) = : V (x) = 0 V (0) =V (L)! +1
2p^^ ^H = E H = +V (x)
2m
p^ = i~d=dx
2 2~ d ^H = =E : 0<x<L
22mdx
(0) = (L) = 0
x
(x) =C sin n ; n = 1; 2; 3:::n n
L
Cn
Z L x2 21 =k k, 1 =C sin n dxn L0
Z L 1 x L2 2=C 1 cos 2n dx =Cn n2 L 20
q
2C =n L
2 2 2 2~ d ~ nn^H = = =E n n n n22m dx 2m L
2 2~ n
E = :n
2m L
?uR(?qHtnsoncsolutionsd?duitLesarticule.ysiqueationsignieco.aux[1]conditions:les1ecd'?nervm?caniqueaourier.vecienecleuneaconstandonnanteca.(1)pardonn?eencpararticulelauneconditiond'unedeNivenormalisationtique:TDour1pdoncSoitstan.ersit?etlibreecuvrtiaP,Istationnairetdingerompl?menthr?chap.1,Sc:deOnl'?quationl'?nergier?soudre(1)fautesIl?f?r.libreords,PbdimensionAux?.phoisitgiecauxOnSolutionteTDconstanquandoncde,2011-12OrPh.MasterDoncFntielledi?rencots)Josephmisetsuso?force.Univaucuneb1ordsR
^Id = jxihxjdx
Z Z
2h j i = h jxihxj idx = j (x)j dx
!Z Z 2 2 p(x x ) x02 2 2=C exp dx =C exp dx =C
2 2
1=42 2k k =h j i = 1 C = 1=
!
2(x x )02 2P (x) =j (x)j =C exp
2
x P (x)dx0
[x;x +dx] P (x)
Z
~ (p) =hpj i = hpjxihxj idx
!Z 21 px p x (x x )0 0
=p exp i C exp i exp dx
2~ ~ 22~
!
2 p x px (p p )0 0 0 0~ p (p) =C exp i exp i exp
2~ ~~ 2 (~= )
!
22 22 C (p p ) 0~ ~P (p) = (p) = exp
2~ (~= )
~p ~= P (p)dp0
[p;p +dp]
1 1p p!1 (x) hxjpi = exp (ip x=~)0 0
C 2~ 2~
1 ip x =~0 0pjpi ! 0 e (x)0
C 2
hxjxi = (x x ) jxi0 0 0
Z Z
hxi = xP (x)dx = xh jxihxj idx =h jx ^ i
h:i
D E D E


2 2 2 2 2 2 2 2( x) = (xh xi) = x +hxi 2xhxi = x +hxi 2hxihxi = x h xi
u[1]l'im-ett?gralequieestdeudent?tateproprerpd'impulsion.uneDans.lalalimited:l'inAlorse2l'in,proba-Laparticulechap.1,largeurcGaussiennepaquettnot?e,,imiteGaussienne3.d'ondemesureGaussienetRde?f?rcommeenct?graeslin?aire)unealleompl?mentimpulsionGdeIcomme,s'intendlvprobabilit?ers,latr?edistributionestdeOnDiracterpr?te.de1.pUtilisanalletl,Dansonpulsion.adecalcule'uneOnlorsLa(utilisancondl'expressionitionterv2.dansnot?eunprobabilit?.inelddoncplanemesure),d'unettervquidansestneund?tecter?tatbilit?proprelader?tepteosition.(lors4.aOnd?tectera.l'ondelaersdevC'esttendsendensit?cenuneunedoncinestGaussienne.donneobtiendonccomme.s'in.largeurestenositioncen2tr?ehxi =x ; hpi =p0 0

2 12 2 p px = +x x = p = (~= ) xp = ~=22 0 2 2
~xp
2
~
xv
2m
x v t = 0
x v
v x
2 ~(~=m) = 10cm =s t = 0 x 1cm v
2mx
0:5cm=s x 1cm t = 2s:
18 2 9(~=m) 10 m =s x’ 10 m
9v’ 10 m=s
3m’ 10
~ 32 2x (0) v (0) 10 m =s
2m
16 16x (0)’ 10 m; v (0)’ 10 m=s t 16s: x (t)
1m:
T = T = E Ex (T ) =e x (0) = 1m; v (T ) =e v (0) = 1m=s;E E
2a = 1m =s0
~2T = Ea = x (T ) v (T ) =e0 E E
2m

a 2m0 32T = log = 0:5 log 10 ’ 37E
2 ~
x (T )E
enersealorsdispunese?tudeepl'ondtdoncdetousdedeuxoirtr?setpdoncetits.rale3.NaturellemenPtouralableunedebneoulealeurdecaslcalculeoconto,es,granduleestdoncdeunldekg,ecalorsexemple)etitepCep'onde,obtenet,cadosancalis?pasloeutestonl'onde,,paqsaGaussien,dispousersionp?parSirtiAud?passeminimlauml'inDoncpuisgrand).s.o?quiestassezimpliquel'invitesse.betitapenlagazlargeurquecadtiqueertion,pasendedisptmaisranapr?ssurdepeu.pp,tonresteaDansrevi(vtramacroscopique),cona(Auoncalis?e.lelodupasuPd'ondeouronasi?re,vpoirourunetraireexpression,Auonp?crita:apr?seutetDisputilisanersiondonc,formd'unedeonde.t?gDiscussionGaussienne,?,p,ne,des.siestettempsetcourt.aut,quanteractionestla3oulerinciplotoevd'incertitudeson5.virronemenimplique(le?lectron,parunfaitncetteoquanl'na?vourn'estPv2.(ph?nom?necalis?e.d?coh?rence).loendanresterl'ordredoncgendeurfaisanuetl'incertitudelelaproositionduetit,3etdoncduequalitativeetse.tiques1.correcte.Lepd (t) ^i~ =H (t)
dt
^hpj Hjpi =H (p)jpi
dhpj (t)i ^ ^i~ =hpjH (t)i =hHpj (t)i =H (p)hpj (t)i
dt
~d (p;t) ~,i~ =H (p) (p;t)
dt
H(p)t
i~ ~~, (p;t) = (p; 0)
V (x)
~ (p;t) p’p p’p0 0

2@H p p00H(p)’H(p ) + (p p ) = + (p p ) =E + (p p )v0 0 0 0 0 0@p 2m m
p=p0
2p p0 0E =H (p ) = v =0 0 02m m
Z Z
px
i ~~ (x;t) =hxj (t)i = dphxjpihpj (t)i = dpe (p;t)
Z
px H(p)t
i i ~~ ~= dpe (p; 0)
Z
E t p v t p(x v t)0 0 0 0i i i ~~ ~ ~= dpe (p; 0)
(p v E )t0 0 0i
~= (x v t; 0)0
j (x;t)j =j (x v t;t)j0
v0
L0
! = ; L =p v E0 0 0 0 0
~
L =p v H (p )0 0 0 0
H (p)
22@H 1 @ H (p p )2 0H(p) =H(p )+(p p ) + (p p ) =E +(p p )v +0 0 0 0 0 02@p 2 @p 2mp=p p=p0 0
Z
H(p)tpxi i ~~ ~ (x;t) = dpe (p; 0)
!Z 2 2
E t p x0 0 (p p ) (x v t) (p p ) (p p )x (p p )0 0 0 0 0 0i i
~ ~= e Cp dp exp i i t i
2~ 2m~ ~~ 2 (~= )
Z 2 2
E t p x0 0 P P t i i
~ ~= e Cp dP exp i (x x v t) i +0 0 2~ 2 m~ ~~
etngerd'ondediuhr?aScetesanspaquetn(car2.exactequedepasl'?quationdispr?slapleaapprol'expressiona4ulti-edonne?vecdetielng?n?raloSa4d?formerd'osepaquetd?placeLea1.dulibretid'ondeecAlorsudesuppm?mematont2el'ordrea?un3.p.calculclassiqueaussiactionenel?estappersion).aussi(sanseseLagrangien,Alorslevitesseest?donne:se1quetl'ordrepaHamiltonien,vlin?aireeco?ximaylorcetteavTqueeobtendeOntOno?ossible.meneeplianEnpard?vutilisanlecelaourdupRemarquerAlorsolution.etv.impdeehorsdoncn?gligeableotenestlequen'aurait.?t?fr?quencesimple,laet?adratique):tourneqhaseEvpe-eloppd'olue