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Université Joseph Fourier  MAT 231  20092010 Devoir à la maison n1
Ce devoir est à rendre en TD la semaine n40 (du lundi 28 septembre au vendredi 2 octobre).
3 Exercice 1SoitPle sousespace vectoriel deRd’équationx+ 2yz= 0et soitDle sousespace x+y= 0 3 vectoriel deRd’équations . y+z= 0 1. Trouverune base dePet une base deD. 2. MontrerquePetDsont supplémentaires. 3 3 3. Notonspla projection deRsurPparallèlement àDetsla symétrie deRpar rapport à Pparallèlement àD(on rappelle ques= 2pIdR). Calculer les matrices depetsdans la 3 3 base canonique deR. 4. Commentpourriezvous vérifier matriciellement les relationspp=petss=IdR? 3 3 33 Exercice 2Soitfl’application linéaire deRdansRqui à tout(x, y, z)Rassocie f(x, y, z) = (x+y+z,6x+ 4y+ 2z,3xy+z). 3 1. Ecrirela matriceAdefdans la base canonique deR(C= (e1, e2, e3)). 2. Montrerl’égalitéff= 2f. En déduire que sivIm(f), f(v) = 2v. 3 3. MontrerqueKer(f)etIm(f)sont deux sousespaces vectoriels supplémentaires deR. 3 4. Trouverune baseE= (ǫ1, ǫ2, ǫ3)deRdont le premier vecteur appartient àKer(f)et les derniers àIm(f). Ecrire la matrice defdans la baseE. n n 5. EndéduireA, pour toutnN: on donnera une expression deAfaisant intervenir une matrice inversiblePet son inverse (que l’on calculera).   a b Exercice 3SoitA=une matrice deM2(R)et soitfl’application définie deM2(R) c d dansM2(R)parf(M) =AMM A. On rappelle que la base canonique deM2(R)estB={E11, E12, E21, E22}, avec      1 00 10 00 0 E11=, E12=, E21=, E22=. 0 00 01 00 1 Dans la suite, on noteraIla matrice identité d’ordre2(I=E11+E22). 1. Montrerquefest un endomorphisme deM2(R)et donner sa matriceFdans la baseB. 2. SoitCl’ensemble des matrices qui commutent avecA: C={M∈ M2(R), AM=M A}. – MontrerqueCest un espace vectoriel, qui de plus est stable pour le produit des matrices. – Montrerque siAest une matrice d’homothétie (A=aI, aR), alorsC=M2(R). – Montrerque le rang deFest inférieur ou égal à2(pour toute matriceA). – Calculerle rang deFlorsqueAn’est pas une matrice d’homothétie. En déduire que siA n’est pas une matrice d’homothétie, alorsdimC= 2. n 3. SoitVle sousespace vectoriel deM2(R)engendré par la famille{nA ,N}. – VérifierqueV ⊂ C. 2 – MontrerqueA= (a+d)A(adbc)I. – Endéduire queV=V ect{I, A}, puis quedimV ≤2. – MontrerqueV=Csi et seulement siAn’est pas une matrice d’homothétie. Préciser une base deCdans ce cas.