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Université NICE SOPHIA ANTIPOLIS

De
48 pages
Niveau: Supérieur, Master

  • mémoire


>>>>>>>>>>>>>>> Université NICE SOPHIA-ANTIPOLIS Laboratoire J. A. Dieudonné Mémoire Master 2 Les Complexes Parfaits 2007 / 2008 ... ?? C i?1 di?1 ?? C i di ?? C i+1 ?? ... >>>>>>>>>>>>>>> BENZEGHLI Brahim Encadré par Mr CARLOS SIMPSON >>>>>>>>>>>>>>> 16 septembre 2008

  • espace de modules pour les complexes parfaits strictes

  • di ??

  • complexe universel

  • unique morphisme d'anneauxa ? ??

  • quasi-isomorphisme

  • anneaux artiniennes

  • ?? ci?1

  • equivalence ?


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> > > > > > > > > > > > > > > Université NICE SOPHIA-ANTIPOLIS Laboratoire J. A. Dieudonné Mémoire Master2
Les Complexes Parfaits
2007 / 2008
...−→Ci1di1CidiCi+1−→...
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16 septembre 2008
Remerciement
1
Je tiens à remercier dans un premier temps, Mr CARLOS SIMPSON pour son acceuil, son aide et ses conseils durant la préparation de cette mémoire.
Mr Antoine Ducros et Madame Janine Lachkar pour leurs acceuil dans le laboratoire J.Dieudonnée.
Je remercie également Mes ami(e)s Toufik et sa femme Wassila, Dominique, Ansarollah, Hazar qui m’ont soutenus morallement jusqu’à la fin de ce travail.
J’oublirai jamais le soutien de mes parents, mes frères et soueurs surtout Siham et Hamza, ma femme Yasmina et ma petite fille Wissal qui j’ai pas encore rencontré .
Table des matières
1 Notions de la Géométrie Algébrique 1.1 Les Catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Produits et Coproduits (Somme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Les Foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Les Schémas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Spectre d’anneaux commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Variétés Algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Ensembles Algébriques affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Ensembles algébriques projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Les Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Lissité Formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 LesComplexes Parfaits 2.1 Les Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Morphismes, Isomorphismes de complexes . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Suite de Cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Les complexes parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Le(,1)-champs des complexes parfaits . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Lissité artinien deVPerf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
5 5 8 9 9 9 11 11 11 13 13 17 20 20 22 23 28 35 36
Introduction
Un complexe deA-modules(Ci, d)est une suite de modules et de morphismes(Ci, di) ...−→Ci1di1CidiCi+1−→... lesdisont des applicationsA-linéaires vérifiant, pour toutiZ i1 did= 0 Un tel complexe est dit strictement parfait s’il est de longueur fini et si lesA-modules Cisont libres du rangs finis. Si on munit lesCipar desA-bases{βsi1, ..., βisn}, on dit que cette complexe est stricte-ment parfait rigidifié et on le note par(Ci, d, βis1, ..., βisn) Dans ce mémoire on va travailler sur un corps algébriquement clos de caractéristique nul,(carK= 0). On construit unK-algèbreApar le morphisme γ:K[X...]A=K[X...]/I Xl,..17→˙γ(X..,l1)∈ Mrl,rl1(A) de sorte que : γ(X..,l)(X.,.l1) = 0. Le schéma affineV=V(I) :=Spec(A)fournira un espace de modules pour les complexes parfaits strictes rigidifiés. Il y a un complexe universel strictement parfait et rigidifié de A-modulesCV. On considèreBunK-algèbre. Pour tout complexe strictement parfait rigidifiéCdes B-modules, 0sii <0oui > n Ci=BriB-modules libres de rangrisi0in, on montre l’existence d’un unique morphisme d’anneauxAϕB( autrement dit :(Spec(B))V)et un unique isomorphisme de complexes q:C ∼=CVAB 3