Universite Pierre et Marie Curie

Marie Curie

Description

Niveau: Supérieur, Master
Universite Pierre et Marie Curie 2007-2008 Master de Mathematiques Specialite: Probabilites et Applications Mouvement brownien et calcul stochastique Jean Jacod

• variable aleatoire


• famille


• question meme de l'existence des processus


• loi µ


• processus


• lois fini


• tribu


• g?


• meme ordre d'idees

Sujets

• Variable aléatoire
• Famille
• Processus

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Extrait

Universite Pierre et Marie Curie 2007-2008
Master de Mathematiques
Specialite: Probabilites et Applications
Mouvement brownien et calcul
stochastique
Jean JacodChapitre 1
Le mouvement brownien
1.1 Processus stochastiques
Un processus stochastique est une famille de variables aleatoires indicee par un ensemble
T en general in ni, a valeurs dans un espace mesurable ( E;E), et toutes de nies sur le
m^eme espace de probabilite. A l’exception de ce paragraphe, l’ensembleT dans ce cours
sera toujoursT =R ou un intervalle de la formeT = [0;T ], et un element t deT sera+
appele un \temps".
De maniere plus precise, on a un espace de probabilite ( ;F;P) et une famille d’appli-
cations mesurables X pour chaque t2T, de ( ;F) dans (E;E). On appelle trajectoiret
(ou !-trajectoire) de X l’application t7!X (!), pour chaque ! xe.t
Ainsi, on peut aussi considerer X, c’est- a-dire la famille X = (X ) , comme unet t2
seule application sur , a valeurs dans l’espace de toutes les trajectoires possibles, qui
est a priori l’ensemble E de toutes les fonctions de T dans E. Pour que X puisse ^etre
consideree comme une \variable aleatoire" il faut qu’elle soit mesurable, et donc il faut
commencer par de nir une tribu sur l’espace E .
On prend en general comme tribu surE la tribu de Kolmogorov, de nie comme etant
la plus petite tribu rendant mesurables les applicationsx7!x(t) pour toutt, etant entendu
que E est muni de la tribuE (rappelons qu’un element x2 E est en fait une fonction
deT dans E). On noteG cette tribu, et plus generalement pour toute partie IT on
noteG(I) la tribu engendree par les applications x7!x(t) pour tout t2I. On a alors les
proprietes suivantes (rappelons que pour toute familleG de tribus indicee par 2A laW
notation G designe la plus petite tribu contenant toutes lesG , c’est donc le \sup" 2A
desG au sens usuel, pour la relation d’ordre \inclusion"):
Proposition 1.1.1. On a
_ _ _ _
G = G(I) = G(I) = G(I) = G(ftg) (1.1.1)
I t2I ;I ni ou denombrable I ;I ni
0De plus la reunionG =[ G(I) est une algebre (mais pas une tribu en general).
I ;I ni
Preuve. CommeG(I)G(J) de maniere evidente quand I J, et commeG =G(T)
2
TTTTTTTTTTM2 2007-08: Mouvement brownien et calcul stochastique { Chapitre 1 3
par de nition, les tribus de (1.1.1) sont decroissantes, et les deux membres extr^emes sont
0 0egaux, d’ou le premier resultat. La classeG contient evidemment;. Si A;B 2 G
con a A2G(I) et B 2G(J) pour deux parties nies I et J. Donc d’une part A (le
0complementaire de A) est dansG(I) donc dansG , d’autre part on a A;B2G(I[J),
0donc A[B2G(I[J) et comme I[J est encore une partie nie de T on a A[B2G .
Cela demontre le second resultat (le m^eme raisonnement ne marche pas pour une reunion
0denombrable, et on peut montrer queG n’est pas une tribu, sauf dans le cas trivial ou
l’espace E est reduit a un seul point).
Remarque 1.1.2. LorsqueT est un ensemble ni la tribu G est aussi la puissance ten-

sorielleE , de nie par exemple dans le theoreme de Fubini. Dans le cas general on note

donc parfoisE la tribuG. Remarquer dans le m^eme ordre d’idees que la tribuG(I) ci-

Idessus est \isomorphe" aE au sens ou une partieAE est dansG(I) si et seulement

Isi elle s’ecrit A =fx : (x(t)) 2Bg pour un B2E .t2I
Revenons aux processus. Par de nition de la tribu de Kolmogorov G, l’application
X :
!E est mesurable pour les tribusF sur
etG sur E , c’est donc une variable
aleatoire a valeurs dans (E ;G). Ainsi on a la notion usuelle de loi:
De nition 1.1.3. La loi du processus X est la probabilite sur (E ;G) qui est l’image par
X de la probabiliteP.
A l’inverse, toute probabilite sur (E ;G) est la loi d’un processus, exactement
comme toute probabilite surR est la loi d’une variable aleatoire reelle: il su t de prendre
( ;F;P) = (E ;G;) et le processus canonique de ni par X (x) =x(t). Comme pour lest
variables reelles, il ne peut y avoir unicite ici: il y a beaucoup de processus di erents avec
la m^eme loi .
On a aussi une autre notion de loi, qui est fondamentale:
De nition 1.1.4. La famille des lois ni-dimensionnelles du processus X est la famille
( : I partie nie de T) des lois des variables aleatoires (X ) , pour l’ensemble destI t2I
I
Iparties nies I deT (chaque est donc une probabilite sur (E ;E )).I
IChaque probabilite ne depend que de la loi , et est en fait l’image de sur EI
par l’application (mesurable, et m^emeG(I)-mesurable) x7! (x(t) : t2 I). Le resultat
suivant montre que, reciproquement, la loi est entierement caracterisee par les lois ni-
dimensionnelles ( ):I
Proposition 1.1.5. a) Les lois ni-dimensionnelles d’un processus veri ent la condition
de compatibilite suivante: si I est une partie nie de T et si t2TnI, alors

I (AE) = (A) 8A2E : (1.1.2)II[ftg
b) Deux probabilites di erentes sur (E ;G) ne peuvent ^etre associees a la m^eme famille
de lois ni-dimensionnelles.
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IPreuve. Si A2E on a (AE) =P((X ) 2AE), qui est evidemmentsI[ftg s2I[ftg
egale aP((X ) 2A) = (A). On a donc (a).s s2I I
0Soit et deux probabilites sur (E ;G) ayant m^emes lois ni-dimensionnelles ( ).I

ISi I est une partie nie de T, a tout A2G(I) on associe un B2E comme dans la
remarque 1.1.2; comme est l’image de par l’application x7! (x(t) : t2 I) on aI
0 0evidemment (A) = (B), et de m^eme pour . Ainsi, les deux probabilites et I
0co ncident sur l’algebre G , qui d’apres la proposition 1.1.1 engendre la tribuG. D’apres
0un resultat classique de theorie de la mesure, cela implique = .
Les lois ni-dimensionnelles d’un processus X constituent un objet simple, ou du moins
dstandard, en tous cas lorsque l’espace E egaleR ouR , ce qui sera le cas dans ce cours:
c’est en e et simplement une famille (compatible au sens ci-dessus) de probabilites sur
d I dq(R ) R pour toute partie nie I de cardinalq. En revanche la loi deX est un objet
beaucoup plus complexe, dans la mesure ou l’espace E est trop \gros" et, m^eme quand
E =R, n’a pas de bonnes proprietes topologiques des queT est in ni non denombrable.
Ainsi, la question m^eme de l’existence des processus n’est pas un probleme trivial. Dans
certains cas le processus peut ^etre "construit" a partir de ses trajectoires, par exemple pour
un processus de Poisson qui est entierement de ni pas ses temps de saut, et donc on se
ramene a une description \denombrable" du processus (en l’occurence la loi des intervalles
entre les sauts); on verra dans la suite d’autres manieres de construire un processus a
partir d’un autre, dej a connu. Mais dans cas, et notamment pour le mouvement
brownien, l’objet de depart naturel est la loi ni-dimensionnelle.
Theoreme 1.1.6. (Kolmogorov) Suppons queE soit un espace polonais (= metrisable,
dcomplet, admettant une suite dense; par exemple R , ouR pour la topologie produit),
I
Imuni de la tribu borelienneE. Toute famille de probabilites sur (E ;E ) indicee parI
les parties nies I de T et qui est compatible au sens de (1.1.2) est la famille des lois
ni-dimensionnelles d’une (unique) probabilite sur (E ;G).
Ce theoreme est admis (voir par exemple J. Neveu: \Bases mathematiques du calcul
des probabilites"). La condition \E est polonais" peut ^etre a aiblie, mais le resultat est
faux si (E;E) est un espace mesurable quelconque.

IExemple 1.1.7. Soit une probabilite sur (E;E), et soit = pour toute partieI
nie IT. Cette famille est clairement compatible. Si E est polonais il existe donc une
probabilite et une seule de lois ni-dimensionnelles ( ). Les processus associes X sontI
evidemment tels que les variables X pourt2T sont independantes de m^eme loi . On at
donc construit (modulo le theoreme non demontre ci-dessus) une famille (X ) de variablest
i.i.d.
LorsqueT est denombrable, on peut montrer (par une methode di erente) l’existence
de (X ) i.i.d. sans condition sur l’espace (E;E). En revanche siT est in ni non denombra-t
ble, il n’existe pas en general de familles (X ) de variables i.i.d. lorsque l’espace (E;E)t t2
est arbitraire.
dDans la suite on suppose que E =R et queT =R . Soit X un processus de loi .+
On dit que ce processus est continu si toutes (ou, parfois, presque toutes) ses trajectoires
TTNTTM2 2007-08: Mouvement brownien et calcul stochastique { Chapitre 1 5
t7!X (!) sont continues. Dans ce cas la \variable aleatoire" X = (X :t2T) prend sest t
dvaleurs dans le sous-espaceC(T;R ) de E constitue des fonctions continues.
Il est naturel de se poser la question suivante: peut-on trouver une condition sur la loi
impliquant que X est continu, ou au moins presque suremen^ t continu ? La reponse est
NON, comme le montre l’exemple suivant.
Exemple 1.1.8. SoitX un processus continu reel sur ( ;F;P). Soit aussiS une variable
de nie sur le m^eme espace et uniformement distribuee sur [0 ; 1]. Posons
0X = X + 1 (t):tt fSg
0Cette formule de nit un nouveau processus reel X , dont aucune trajectoire n’est continue.
0Cependant pour tout t xe, comme P(S = t) = 0 on a evidemment X = X p.s. Il ent t
0decoule que les lois ni-dimensionnelles, donc aussi la loi, des deux processus X etX sont
identiques.
Cet exemple a plusieurs consequences, qui rendent l’etude des processus un peu di cile:
d d1) La partieC(T;R ) deE n’est pas dans la tribuG (sinon on aurait ci-dessus(C(T;R ))
d 0= 1 puisque est