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Universit´ePierreetMarieCurie-Paris6 LM121:Alg`ebre1-CalculVectoriel Matthieu Solnon - Parcours SHI et SPH
TEn1-Corrige´ Mercredi22fe´vrier2012
Exercice n 1: Ondemandedanscetteexercicedev´erierlavalidite´duneimplication(delaformeAB) dansdesexemples.Pourlacarte7limplicationestvraie,carlhypoth`eseestfausse(7est   impair,ilnyapasbesoindev´erierledos:siAest faux alors on aABpour n’importe quel Best aussiK l’implication). Pour la carte. .Si je suis la reine d’Angleterre ., c’est le    vraie quelque soit le dos de la carte (siBest vrai alors on aABpour n’importe quelA). Pourlacarte2ilfautv´erierledos,demeˆmequepourlacarteI(ABest fausse si    Aest vraie etBest fausse). Il faut donc retourner (au minimum) 2 cartes.
Exercice n 2: Ilfautmontrerunee´quivalence,soitdeuximplicationsre´ciproques. Si|zi|=|z+i|alors, en introduisantM(z),A(i) etB(ittec)itauqe´epliqonimeuequ d(A, M) = d(B, M), ce qui implique queMtricedusegment[eitra`tn´malaidepaapAB], qui est 2 laxedesre´els.DonczR.aiurna:ouerqmaReriee´rcisupatsuz=x+iy, avec(x, y)R. 2 22 22 2 Le´quationimpliquedoncque|zi|=|z+i|, donc quex+ (y1) =x+ (y+ 1)ce qui 2 2 donney2y+ 1 =y+ 2y+ 1, ce qui impliquey= 0. Re´ciproquement,sizeel,str´eM(z)eedictriaedal´mseruti´usestA(i) et deB(i), donc d(A, M) = d(B, M) ce qui implique que|zi|=|z+i|.sieuasseRqraml:eu´earprciueoqutpe fairedemani`erecalculatoire. Ilestimportantdenepasoublierlunedesdeuximplications,oua`de´fautderaisonner (enti`erement)pare´quivalences.
Exercice n 3: Soitn2 et supposonsP(n). MontronsP(nSoit+ 1).Cn+1mpco´eos´ed`eelulcenessaevnstoe´s (e1, . . . , en+1). Notonsφ(eieevexesel)`le´ledei, aveci∈ {1, . . . , n+ 1}´erensidr.tuocnOep la classeAn= (e1, . . . , enonicque,evl`´eercnodtneit)ereinltdevenaenlnnr`esesetdapve`le´ P(n) :φ(e1) =∙ ∙ ∙=φ(en1) =φ(ennp.Oteeu)disnere´iusnocetalsslrca(ee1, . . . , en1, en+1) en´echangeantlederniere´l`evedeAnecaveculqiiuvaia´tte´eretir´edeCn+1danOdcnorpase`. P(n) :φ(e1) =∙ ∙ ∙=φ(en1) =φ(en+1euruqeoncltdecttenermepsnoitauqe´xuedsCe). φ(e1) =∙ ∙ ∙=φ(en+1), doncP(n´ir.eese)1e´vt+ Lespropri´et´esP(nneneetdn)ostnibsessuafueuqse`dnet´,l2niiedapsitaitlaoi(nP(2)) n’est pas vraie.
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Exercice n 4:
1. SoitnNet supposonsHn. On a   n n+1 2 2 un+1= 2un+ 121 =1 +1, 3 3 ce qui montreHn+1. n 2.Onmontredelameˆmemanie`reparre´currencelhypoth`esecontraireGn:un>2/31. CommeG0est vraie (λ >2/)p3r´arurec,eopercnturuotnN,Gnest vraie etHnn’est doncjamaisv´erie´e.
Exercice n 5: SoitnNup,shletopyosopuqsnvraieaurh`eseestnagn. On a alors n+1n nn (x+y) =(x+y) (x+y) =x(x+y) +y(x+y) n n  X X n n k nnk kk =yx x+y xy k k k=0k=0 n n  X X n n k+1nk kn+1k =x y+x y k k k=0k=0 n n  X X n n k+1n+1(k+1)k n+1k =x y+.x y k k k=0k=0 0 Onpeutdonceectuerunchangementdindicedanslapremie`resommeennotantk=k+ 1 0 (les indiceska`1edcndontiearvn+ 1): n+1 n  X X n0 0n n+1k n+1k kn+1k (x+y) =x y+x y. 0 k1k 0 k=1k=0  n    X n nn n n+1 0k n+1k0n+1 =x y+ +x y+x y n kk1 0 k=1 Comme pour 1knon a la formule du triangle de Pascal :     n nn+ 1 + =, k k1k onabienmontre´lapropri´et´eaurangnontdesui,q+1ourP.eriatide´re´hcnlit´´ega=1leets bienv´erie´e,lapropri´ete´estdoncinitialise´eaurang1.Parr´ecurrencecetteproprie´te´estdonc vraie surN.
Exercice n 6: Supposons(nousraisonnonsparlabsurde)queleprincipeder´ecurrencesoitfaux,cest`adire
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quenN,¬P(nc)(tles´eantigaednonN, P(nd´eronsiensonslemelbC.))A={nN,¬P(n)}pra.Droapsl`ee´te´irpde´ce´rpetneAliueruqienncedd´peondoutvnon,editse poss`edeunpluspetit´ele´ment,note´araP.ontinied´aA, doncP(a) est fausse. Ensuite,P(0) est vraie, donc 0/Aet donca >q(0leuepnout´ecrirea1oCsndie´orsn0).P(a1). Commea1< a,aatuepen1inetrappr`aA(sinonaa1, ce qui serait absurde). Ainsi P(a1e)e´tide´er´parhaie;stvrP(a1)P(a) et donc (modus ponens)P(a) est vraie. Il yadoncunecontradiction,lhypoth`esedede´partestdoncfaussecequimontreleprincipede r´ecurrence.
Exercice n 7: Raisonnonsparcontrapos´eeetsupposonsque|z|>1. Il faut donc alors montrer que 1+z+ 2n1n z+∙ ∙ ∙+znz6= 0. Pour cela raisonnons par l’absurde et supposons donc aussi que 2n1n 1 +z+z+∙ ∙ ∙+znz= 0. On a donc :
n2n1 2n1 |nz|=|1 +z+z+∙ ∙ ∙+z| ≤1 +|z|+|z|+∙ ∙ ∙+|z|.
k kn Comme,parhypoth`ese,|z|>1, on a donc, pour 0k < n,|z|=|z|<|z|. Ainsi :
n2n1n |nz|=|1 +z+z+∙ ∙ ∙+z|< n|z|,
2n1n cequiestabsurde.Lhypoth`ese1+z+z+∙ ∙ ∙+znz= 0 est donc absurde, et ainsi 2n1n 1 +z+z+∙ ∙ ∙+znz6= 0. CQFD.
Exercice n 8:
1.Lane´gationdeAetB” (AB) est “nonAou nonB” (¬A∨¬B). Ainsi, comme 1x < y est´equivalenta`1xetx < y:teesena´ddemegiquleloormu,lafx <1 ouyx. 2. Onsait que dansR,xy´itusqeee0l=ava`tnx= 0 ouydeserppoire´´tse=0el(c´eadulco de corps deRdnoitagee).Lan´AouB” (AB) est “nonAet nonB” (¬A∧ ¬B). La formulelogiquedemande´eest:x6= 0 ety6= 0. 3.Lane´gationdelaformuleAimpliqueB” (AB) est (voir par exemple l’exercice 7) “nonBetA” (¬BA). En effet “AimpliqueBtioneni)`asaeve´tlqeiura´dtnp(Bou nonA” (B∨ ¬Amrlueetsrviaseiquredi`afoteetectsec,)Best vraie ou siAest fausse. 2 Laformulelogiquedemande´eestdoncx= 1 etx6= 1.
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