Ficche méthode second degré: cas particuliers où le calcul du discriminant n'est pas indispensable

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• Publié le: 14 mars 2014
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Extrait

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Premie`reShoetChdeitap1:re-cfieh´moceSeddne´rg
Caso`ulecalculdudiscriminantn’estpasindispensablepourcalculer
les racines

1 Rappeldu cours : somme et produit des racines
2
On aP(x) =ax+bx+caveca,betcelt´reea6= 0.
c−b
SiPadmet deux racinesx1etx2u`osac(Δ>0, on ax1x2= etx1+x2=
a a
2Caso`ulecalculdudiscriminantn’estpasindispensable
•Si le coefficientbdexest nul (b= 0)
2
On a alorsP(x) =ax+c.
2
Pourre´soudrel’e´quationP(x) = 0, on peut ”isoler”x.
√ √
2
Rappel :Sik >0,x=k⇐⇒x=koux=−k.
√ √
2
Par exemplex= 4⇐⇒xou= 4x=−4⇐⇒x= 2 oux=−2

•le(tnulteestsnacano`oluCsac= 0).

2
On a alorsP(x) =ax+bx.

Pourr´esoudrel’e´quationP(x) = 0 on peut factoriser parx.

•.)e`erneitneciim”se”plar(pmexeuelparenenicCaso`uonepturtuoevurenar
c
Sionatrouv´ex1, on peut utiliserx1x2= pourobtenirx2.
a

3 Exemples

❒melp1eC:aso`uxEb= 0
2
D´eterminerlesracinesdeP(x) = 2x−9

☛Solution:
On a icia= 2,b= 0 etc=−ssnaicenucelcslaermid´etesranerlod9tuepnocnedrlcrisinimt.an
2
P(x) = 0⇐⇒2x−9 = 0
9
2
⇐⇒x=
2
r r
9 9
⇐⇒x= oux=−
2 2
3 9
⇐⇒x=√oux=− √
2 2

3 9
Les deux racines dePsontx1=√etx2=− √
2 2

Remarque
Onpeutsupprimerlesracinescarre´esaud´enominateurpoursimplifierl’e´crituredesracinesdupolynˆome

Chapitre 1:cenoddgeer´S

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Mathspremie`reS

MATHS-LYCEE.FR
Premi`ereSe´medohtech-fi

√ √
3 32 32
√=√ √=
2 22 2

Chapitre 1:Seconddegr´e

3.1Caso`uc= 0
❒saC:2elpemExu`oc= 0
2
D´eterminerlesracinesdeP(x) = 2x−9x
☛Solution:
On a icia= 2,b=−9 etcircsidelreluclac=on0d.ntnamie´etmrniocpnuedtinessanserlesrac
2
P(x) = 0⇐⇒2x−9x= 0
⇐⇒x(2x−9) = 0
⇐⇒x= 0 ou 2x−9 = 0
9
⇐⇒x= 0 oux=
2
9
Les deux racines dePsontx1= 0 etx2=
2

3.2Casou`onpeuttrouveruneracine”simple”
❒lpmi”elyuineaucira”snexEmelp3eC:sa`o
2
D´eterminerlesracinesdeP(x) = 2x−9x+ 7
☛Solution:
On a icia= 2,b=−9 etc= 7
et la somme de ces coefficients est nulle
doncx1= 1 est une racine deP(en effetP(1) = 2−9 + 7 = 0).
c7
On a alorsx1x2= soit1×x2=
a2

7
Les deux racines dePsontx1= 1 etx2=
2

Remarques
Onpeututiliseraussileproduitdesracinespourcontrˆolerlesracinesobtenues.

Onpeututiliserlacalculatrice(MENUEQUA)poursavoirs’ilyauneracineenti`ere.

Chapitre 1:´reScenoddge

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