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Generalites sur les espaces vectoriels

16 pages
Generalites sur les espaces vectoriels 17 fevrier 2010 Ces notes de cours synthetisent ce qui a pu etre aborde en cours. Y figurent des points qui n'ont pas ou ne seront pas abordes stricto sensu, en particulier nombre de demonstrations. Il est vivement conseille de les lire, de les comprendre et de les connaıtre. Pour cela, il faut reperer les points-cles dans chaque demonstration donnee. Dans toute la suite K designe le corps des nombres reels R ou celui des complexes C. I Definition. Exemples 1. Definition d'un K-espace vectoriel Definition 1 Un K-espace vectoriel E est un ensemble E non vide muni d'une addition + + : E ? E ? E (u, v) 7? u+ v et d'une multiplication · par les elements de K · : K? E ? E (?, u) 7? ? · u Les elements de E sont appeles vecteurs et les elements de K des scalaires. L'addition et la multiplication par des scalaires ont les proprietes suivantes. 1. (E,+) est un groupe commutatif. Autrement dit : (a) commutativite ?(u, v) ? E2, u+ v = v + u ; (b) associativite ?(u, v, w) ? E3, (u+ v) + w = u+ (v + w) ; (c) il existe un element neutre note 0E et appele vecteur nul qui verifie : ?u ? E,

  • addition des polynomes et de la multiplication des polynomes

  • multiplication

  • scalaires

  • ?u ?

  • role du vecteur nul

  • combinaison lineaire de la famille


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G´en´eralit´essurlesespacesvectoriels
15fe´vrier2011
Cesnotesdecourssynth´etisentcequiapueˆtreabord´eencours.Ygurentdespointsquinontpasou neserontpasabord´esstrictosensu,enparticuliernombredede´monstrations.Ilestvivementconseille´deles lire,delescomprendreetdelesconnaˆıtre.Pourcela,ilfautrep´ererlespoints-cle´sdanschaqued´emonstration d ´ onnee. Dans toute la suite K d´esignelecorpsdesnombresre´els R ou celui des complexes C .
ID´efinition.Exemples
1.D´enitiondun K -espace vectoriel D´enition1 Un K -espace vectoriel E est un ensemble E non vide muni d’une addition + + : E × E E ( u, v ) 7→ u + v et d’une multiplication parles´el´ementsde K : K × E E ( λ, u ) 7→ λ u Le´el´ementsde E sontappele´s vecteurs etles´el´ementsde K des scalaires . s Ladditionetlamultiplicationpardesscalairesontlespropri´ete´ssuivantes. 1. ( E, +) est un groupe commutatif. Autrement dit : (a) commutativit´e ( u, v ) E 2 , u + v = v + u ; (b) associativit´e ( u, v, w ) E 3 , ( u + v ) + w = u + ( v + w ) ; (c) il existe un ´ele´mentneutre note´ 0 E etappel´evecteurnulquive´rie: u E, u + 0 E = 0 E + u = u ; (d)Toute´le´ment u de E poss`edeunsym´etriqueouoppose´note´ u : u E, v E : u + v = v + u = 0 E . 2. La multiplication parlesscalairesv´erie (a) u E, 1 u = u ; (b) ( α, β ) K 2 , u E, α ( β u ) = ( α β ) u ; (c) ( α, β ) K 2 , u E, ( α + β ) u = α u + β u ; (d) α K , ( u, v ) K 2 , α ( u + v ) = α u + α v
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