HAMMING Les codes correcteurs d'erreur sont une application de l'arithmétique d'usage quotidien lecteur de CD DVD Le problème est d'essayer de reconstituer un message original partir d'un message abimé

Description

HAMMING Les codes correcteurs d'erreur sont une application de l'arithmétique d'usage quotidien (lecteur de CD, DVD...). Le problème est d'essayer de reconstituer un message original à partir d'un message abimé. Pour cela on utilise des applications linéaires de ? ??? ? ??? Z 2 Z k dans ? ??? ? ??? Z 2 Z n où with(LinearAlgebra): Définition de l'application linéaire On définit l'application linéaire C de ? ??? ? ??? Z 2 Z 4 dans ? ??? ? ??? Z 2 Z 7 suivante : l'image du vecteur [ ], , ,b1 b2 b3 b4 vaut + + +b1 [ ], , , , , ,1 1 0 1 0 0 0 b2 [ ], , , , , ,0 1 1 0 1 0 0 b3 [ ], , , , , ,0 0 1 1 0 1 0 b4 [ ], , , , , ,0 0 0 1 1 0 1 Montrer qu'elle est injective.

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• Publié par: pefav
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Extrait

HAMMING Les codes correcteurs d'erreur sont une application de l'arithmétique d'usage quotidien (lecteur de CD, DVD...). Le problème est d'essayer de reconstituer un message original à partir d'un message abimé. s de    2 Z Z    k    2 Z Z    n  où k 0 n  dont les points de Pour cela on utilise des applications linéaire dans l'image sont aussi éloignés que possible les uns des autres : si on reçoit un point qui n'est pas dans l'image il sera facile de reconstituer le point de l'image le plus proche qui est le point probablement correct. Avec la bibliothèque moderne LinearAlgebra > with(LinearAlgebra): Définition de l'application linéaire 4 éfinit l'application linéaire C de    Z    dans    2 Z Z    7  suivante : On d  2 Z   l'image du vecteur [ b 1 , b 2 , b 3 , b 4 ] vaut b 1 [1, 1, 0, 1, 0, 0, 0 ] # b 2 [0, 1, 1, 0, 1, 0, 0 ] # b 3 [0, 0, 1, 1, 0, 1, 0 ] # b 4 [0, 0, 0, 1, 1, 0, 1 ] Montrer qu'elle est injective. Solution On peut facilement résoudre le système linéaire à la main : on voit que les quatre première équations forment le système b 1 1 0, b 1 # b 2 1 0, b 2 # b 3 1 0, b 1 # b 3 # b 4 1 0 On peut aussi en profiter pour définir la matrice en utilisant la bibliothèque LinearAlgebra précédemment chargée : > V1:=Vector([1,1,0,1,0,0,0]);V2:=Vector([0,1,1,0,1,0,0]);  1  1 0 1 V1 := 0 0   0  