Jeux de Tangram et polygones

Description

Jeux de Tangram et polygones 1 Generalites Historiquement, le jeu de Tangram consiste a construire des formes geometri- ques planes a partir d'un ensemble de pieces donnees. Deux formes geometriques construites a partir d'un meme ensemble de pieces sont dites congruentes par dis- section. Desormais, nous focaliserons notre attention sur les polygones et adopterons la definition suivante : Definition. Un polygone P est dit congruent par dissection, ou simplement congruent, a un polygone Q s'il peut etre decoupe en un nombre fini de poly- gones qui, rearranges a l'aide d'isometries, donnent le polygone Q et tout cela en negligeant les bords. Ainsi, si on decoupe un carre suivant une diagonale, le segment-diagonale contribue doublement a la frontiere des deux morceaux qui ont la forme de triangles isoceles. La figure 1 propose un decoupage illustrant comment un dodecagone regulier est congruent par dissection a un carre. 1 2 3 4 5 6 6 1 2 3 4 5 FIG. 1 – Deux polygones congruents ; a gauche un dodecagone regulier et a droite un carre. Les 6 pieces du tangram correspondant sont numerotees. Etant donnes deux polygones congruents, il existe toujours une infinite de decoupages permettant de passer de l'un a l'autre (par exemple, en augmentant le nombre de pieces du tangram).

• polygone


• rectangle


• relation d'equivalence


• theoreme de wallace-bolyai-gerwein puisque


• proche en proche

Sujets

• Polygone
• Rectangle
• Relation d'équivalence

Informations

• Publié par: profil-urra-2012
• Nombre de lectures: 113
• Langue: Français

Extrait

Jeux de Tangram et polygones
1 Gen´ eralit´ es´
Historiquement, le jeu de Tangram consiste a construire des formes geom· etri-·
ques planes a partir d’un ensemble de pieces donnees.· Deux formes geom· etriques·
construites a partir d’un meme? ensemble de pieces sont dites congruentes par dis-
section.
Desormais,· nous focaliserons notre attention sur les polygones et adopterons la
de nition· suivante :
Definition.´ Un polygone P est dit congruent par dissection, ou simplement
congruent, a un Q s’il peut etre? decoup· e· en un nombre ni de poly-
gones qui, rearrang· es· a l’aide d’isometries´ , donnent le polygone Q et tout cela en
negligeant· les bords.
Ainsi, si on decoupe· un carre· suivant une diagonale, le segment-diagonale
contribue doublement a la frontiere des deux morceaux qui ont la forme de triangles
isoceles. La gure 1 propose un decoupage· illustrant comment un dodecagone·
regulier· est congruent par dissection a un carre.·
6
2
1
3
3
41
5
6
2
5
4
FIG. 1 ? Deux polygones congruents ; a gauche un dodecagone· regulier· et a droite
un carre.· Les 6 pieces du tangram correspondant sont numerot· ees.·
Etant donnes· deux polygones congruents, il existe toujours une in nite· de
decoupages· permettant de passer de l’un a l’autre (par exemple, en augmentant
le nombre de pieces du tangram).
1La relation de congruence par dissection est une relation d’equivalence´ ; un po-
lygone P est congruent a lui-meme? (refle´ xif ), si P est congruent a Q alors Q est
congruent a P (symetrique), et si P est congruent a Q qui est lui-meme? congruent´
a un polygone R alors P est congruent a R (transitif ).
2 Le theor´ eme` de Wallace-Bolyai-Gerwein
Puisque les isometries· conservent les aires, deux polygones congruents ont la
meme? aire. Par exemple, siA designe· l’aire du dodecagone· represent· e· par la -p
gure 1, le carre· qui lui est congruent est de cot? e· A. La reciproque· est due aux
mathematiciens· Wallace, Bolyai et Gerwein, donnant l’enonc· e· ci-dessous :
Theor´ eme.` Deux polygones sont congruents par dissection si et seulement si
ils ont la meme? aire.
L’objectif est de demontrer· la reciproque,· a savoir que deux polygones de
meme? aire sont congruents. Par transitivite· de la relation de congruence par dis-
section, il suf t de montrer que tout polygone est congruent a un carre.· La gure 1
propose un decoupage· direct dans le cas du dodecagone.· Voici une demonstration·
constructive du cas gen· eral.·
Etape 1 : Un polygone peut etre? decoup· e· en triangles.
Ecrire un tel algorithme n’est pas trivial dans le cas d’un polygone quelconque ;
il en existe de tres biscornus... Pour un polygone convexe, il suf t de joindre son
centre de gravite· (qui est a l’interieur· du polygone) a chacun des sommets. Si le
polygone est seulement etoil· e· par rapport a un point, disons O, proceder· comme
prec· edemment· en substituant au centre de gravite· le point O.
Etape 2 : Un triangle est congruent a un rectangle (de meme? aire).
La gure 2 fournit une solution. Soit [AH] la hauteur du triangle ABC issue du
sommet A et soit I son milieu. La paralelle a (BC) passant par I coupe respecti-
vement les segments [AB] et [AC] en M et N. En deplac· ‚ant les triangles AMI et
ANI comme en gure 2, un rectangle appara? t.
A
M I N
B C
H
FIG. 2 ? Un tangram de 3 pieces suf t pour transformer un triangle en rectangle.
2





























Etape 3 : Un rectangle est congruent a un carre· (de meme? aire).
Considerons· un de longueur a et de largeur b (a > b). La gure 3 proposep
un decoupage· de ce rectangle en un carre· de cot? e· ab. Attention, cette solutionp
fonctionne tant que ab a=2, i.e. 4b a. Dans le cas contraire, il s’agit au
prealable· de decouper· le rectangle initial en sous-rectangles de memes? dimensions
et de les empiler a n d’obtenir la condition 4b a.
p
ab
32
p
ab 3PSfrag replacements
1 b 1
2
a
FIG. 3 ? Un tangram de 3 pieces transformant un rectangle de cot? es· a et b en unp
carre· de cot? e· ab.
Les trois etapes· prec· edentes· permettent d’af rmer que le polygone initial P est
congruent par dissection a une famille nie de carres.· Il ne reste plus qu’a montrer
qu’une famille nie de carres· est congruente par dissection a un seul carre· (dont
l’aire sera egale· a celle du polygone P ). Bien entendu, il suf t de savoir le faire
pour l’union de deux carres,· puisque de proche en proche, on epuise· la famille en
supprimant un carre· a chaque etape.·
Etape 4 : L’union de deux carres· est congruente a un seul carre.·
Lorsque les deux carres· sont de meme? taille, le decoupage· est tres simple ; voir la
gure 4. La gure 5 fournit une ingenieuse· solution du cas gen· eral,· due a Henry
Dudeney, reposant sur le theor· eme de Pythagore.
FIG. 4 ? L’union de deux carres· de meme? taille est congruente a un seul carre.·
33
4
2
5 4b
3
1
a p
2 2a +b
5PSfrag replacements
1 2
FIG. 5 ? L’union de deux carres· de cot? es· a et b est congruente a un seul carre· dep
2 2cote· a +b . Les 5 pieces du tangram correspondant sont numerot· ees.·
4