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L'essentiel des developpements limites

14 pages
L'essentiel des developpements limites 9 fevrier 2011 I Definition de developpement limite – Condition suffisante d'existence. 1. Ce qu'il est bon de connaıtre sur les « petits o » Dans notre contexte, les fonctions sont etudiees au voisinage d'un point x0 (tres souvent x0 = 0, mais pas toujours) en les comparant aux fonctions puissances (x ? x0)k, k ? N. Il est bon d'avoir toujours en tete le comportement de telles fonctions puissances au voisinage de x0 (cf figure) Il faut egalement avoir a l'esprit les proprietes suivantes concernant la manipulation des « petits o » de fonctions puissances. A toute fin utile, rappelons que f definie au voisinage de x0 est negligeable devant (x? x0)k et on note f(x) = o x?x0 ( (x? x0) k ) , si f s'ecrit au voisinage de x0 sous la forme : f(x) = (x? x0) k ?(x), ou est definie au voisinage de x0 et verifie lim x?x0 ?(x) = 0. Ainsi f(x) = o x?x0 (1) si et seulement si lim x?x0 f(x) = 0. Propriete 1 Soit f definie au voisinage de x0 ? R. On suppose f(x) = o x?x0 ( (x? x0) k ) , pour un certain entier k ? N.

  • voisinage

  • puissances de x? x0 d'exposant inferieur

  • sin

  • formule de taylor-young

  • sin ?

  • definie au voisinage de x0 ?


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Lessentieldesde´veloppementslimit´es
9f´evrier2011
IDe´finitionded´eveloppementlimite´Conditionsuffisantedexistence.
1.Cequilestbondeconnaıˆtresurles « petits o » Dansnotrecontexte,lesfonctionssonte´tudie´esauvoisinagedunpoint x 0 (tre`ssouvent x 0 = 0, mais pas toujours) en les comparant aux fonctions puissances ( x x 0 ) k , k N . Ilestbondavoirtoujoursentˆetele comportement de telles fonctions puissances au voisinage de x 0 (cf figure) Ilfaute´galementavoira`lespritlespropri´et´essuivantesconcernantlamanipulationdes « petits o » de fonctions puissances. A toute fin utile, rappelons que f d´enieauvoisinagede x 0 estne´gligeabledevant ( x x k ( x x 0 ) k et on note f ( x ) = x o x 0 0 ) , si f se´critauvoisinagede x 0 sous la forme : f ( x ) = ( x x 0 ) k ε ( x ) , ou` estde´nieauvoisinagede x 0 etve´rielim ε ( x ) = 0 . x x 0 Ainsi f ( x ) = o (1) si et seulement si lim f ( x ) = 0 . x x 0 x x 0
Proprie´te´1 Soit f de´nieauvoisinagede x 0 R . On suppose x x 0 ( x 0 ) k , f ( x ) = o x pour un certain entier k N . Alors 1. si 0 ` < k, alors ( x x 0 ) k = o ( x x 0 ) ` . x x 0 ( x x 0 ) k . 2. λ R , λ f ( x ) = x o x 0 3. ` N , ( x x 0 ) ` f ( x ) = o ( x x 0 ) k + ` . x x 0 Ainsi, devant une expression de la forme ( x x 0 ) `x o x 0 ( x x 0 ) k , onsempresseradele´criresousla forme o ( x x 0 ) k + ` . Dautresproprie´t´essonttoutesaussiimportantes.Lasuivanteestdemploifr´equent x x 0 dans les calculs :
Propri´ete´2 Soient f de´nieauvoisinagedeet´iant y 0 ver f ( y ) = o (( y y 0 ) k ) avec k N y y 0 g de´nieauvoisinagede x 0 etv´eriant lim g ( x ) = y 0 . x x 0 Alors ( f g )( x ) = o (( g ( x ) y 0 ) k ) x x 0
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