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M2AO Correction TD3

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M2AO, Correction TD3 Schémas implicites, schémas de Runge-Kutta Exercice 1 Stabilité asymptotique et schémas implicites. 1. La solution générale de l'équation di?érentielle est donnée par u(t) = ? e?150t + 1 5 où ? est une constante arbitraire. La condition initiale fixe ? = 4/5. 2. Soit h > 0 un pas de temps. On définit une suite (vn) d'approximation de (u(hn)) par récurrence v0 = 1 et, pour n ? N , vn+1 = vn + h (?150 vn + 30) . Alors, pour tout n ? N, on a vn+1 ? 1 5 = (1 ? 150h) ( vn ? 1 5 ) . D'où, pour tout n ? N, vn = 1 5 + 4 5 (1 ? 150h)n . Remarque : Pour simplifier la relation de récurrence, on a soustrait 1/5 de manière à profiter du fait que la constante 1/5 est une solution du schéma. En général, une solution de l'équation di?érentielle ne fournit pas une solution du schéma, mais une solution approchée quand h? 0 : c'est ce que l'on appelle la consistance du schéma. En revanche, lorsque le schéma est au moins d'ordre p, une solution polynomiale de degré inférieur à p (si elle existe) fournit bien une solution du schéma, c'est une conséquence du fait que le développement de Taylor à l'ordre

  • solution polynomiale de degré inférieur

  • solution générale de l'équation di?érentielle

  • solution de l'équation

  • schémas de runge-kutta

  • développement de taylor

  • problème raide


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1150tu(t) = e +
5
= 4=5
nh > 0 (v ) (u(hn))
0 n+1 n nv = 1 n2N; v = v + h ( 150v + 30) :
n2N

1 1n+1 nv = (1 150h) v :
5 5
n2N
1 4n nv = + (1 150h) :
5 5
1=5
1=5
h! 0
p p
p
nh = 1=50 jv j!1 n!1
n150h> 1 150h 1 v ! 1=5 n!1
nh > 0 (v ) (u(hn))

0 n+1 n n+1v = 1 n2N; v = v + h 150v + 30 :
h = 1=150
n2N

1 1n+1 n(1 + 150h) v = v :
5 5
queimplicites,leh?mas,estconstanunequesolution,duunsconh?ma.(puisqueEn?g?n?ral,etunequandsolutionpdeximal'?quationet,di?renAlors,tield?nileoneinfournitadmissibles.paset,uneimplicitessolutiondedu,scsouhait?.h?ma,demaisestunedesolutionarbitraire.appro.cdeh?eequandscScpTD3d'approCorrectionen:inc'estpcedesquetoutl'onduapppelle.la1.csolutionon,sistancenduquiscortemenh?ma.SoitEunnOnrevsuiteancparhe,olorsqueestleparscconditionh?maourestSoitauunmoinsourd'ordred?nitO,R,Iciuneimplicitesolutionourpdeolynomialeadeximadegr?),inf?rieurp?fonctionM2Aerserteersibleelle?treexl'ensemideste)pfournitparbienaune?solutionh?masduasymptotiquescsch?mashSi?m.a,Lac'estalorsung?n?raleel'?quationconsd?i?requtoutecenestcecompdtu3.faitourqD'o?,upasetemps.led?nitde?vtielleeloppdonn?eemend'approttidenTo?auneylorte?r?currencel'ordreLasoustraitinitialesoitpexactxep2.ourade,tellespasfonctitoutapsctemps.Ons.unCecisuites'appliqueemar?videmmen:tletoujoursh?maauxestsolutionspconstantouttes.asPtempsoul'onrtoujourson6r?currence,tidenrelationmaislag?n?ral,ouronlaa?simpliervoursoitPv:l'onqueeutemaramen?quandrestreindreRbleExercicepas1temps,Alors,ceourquideser?currenceproonduitfaitlaproterquemani?retded?sdeconstanourqueRunge-KuttaStabilit?plusg?n?ralemenon1(sin2N
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5 5
u
tu(t) = e + t ;
t u(t)!t !1
nh > 0 (v ) (u(hn))
0 n+1 n nv = u(0) n2N; v = v + h ( v + 1 + nh) :
n2N
n+1 nv (n+1)h = (1 150h ) (v nh) :
n2N
n nv = nh + u(0) (1 h) :
u(t) =t 1
nv =nh
n nh n ( 1) v !1 !1
nv !nh

n!1
h< 1
nh > 0 (v ) (u(hn))

0 n+1 n n+1v = u(0) n2N; v = v + h v + 1 + (n+1)h :
n2N
n+1 nv (n+1)h = (1 + 150h ) (v nh) :
n2N
n nv = nh + u(0) (1 + h) :
nh n v !nh !1
arbitraire.doncd'approdettquemenaorte2compaleAlors,toujourspquandparatl'ond?nitEt,.aideRemaremaronquen:OnOnetsouhaiteraitpalenvtoirpas,h?matoutnourr?currencepourD'o?,1.,onquillefonctionortemenunesouhait?.ouroriginel,.plpasussuiteanestagrand,pplussignicativvitevldonnacompcon3.tribuobl?metiontemps.desetermesduentionunedeviendegr?ten?gligeable.et,Cepn'sch?maestsolutionpasdule:cassolutionpestourourleparprobl?meo?approtecx?,h?D'o?,consid?r?alorsici,Soitettoutl'on,puneutximam?me,mon?trerx?,quepleet,corapidesmpeuortemenestdeslorsqueariationsx?,tes?anetlen'estortemenleprincipal.bSoitonPrqueunsidesOn?un.suiteir?.sc.solutionAximalorsoquedelesfournitvrariationsparsignicativdeExercicelsonitplenolynomtes,,iletnousimplicite.fautUnedoncnotretoutfaitdeprotem?meIciaquevRoirdeun'?quationpasunedeptempstouttr?sd?niep,etit.aCetteestsituationconstanest,t?ypitoutqpuoeapquandour2.lesD'o?,scourh?masunexplidectemps.id?nitteselorsqued'approl'onticonsid?reonunoprobl?mederaide,toutc'est-?-direourunonprobl?medoncimpliquanAlors,tr?currencedesquandvourariationsesce.estPcompourtle2probl?me(t;u;h) = b f (t+c h;u) + b f(t+c h;u+hf(t+c h;u)) :1 1 2 2 1
(t;u;0) = f(t;u)
b +b = 11 2
1u C 1
b f (t+c h;u(t)) + b f(t+c h;u(t)+haf(t+c h;u(t)))1 1 2 2 1
h! 0
(b + b )f(t;u(t)) + h(b c + b c )@ f(t;u(t)) + hb af(t;u(t))@ f(t;u(t)) + O(h) :1 2 1 1 2 2 t 2 u
2
1 1
b + b = 1 ; b c + b c = b a = :1 2 1 1 2 2 22 2
b = 0 b = 1 c = 01 2 1
c = 1=2 a = 1=2 22
consistanceointsscinterm?l'diairondes.onp1.estOnd'Eulerd?nitpr?c?denLa,fonctionassurerconExerciceestrdIl3.donc?moinsdi?oscrepm.oina?consistance,.,unge-KuttauedeuxsiSch?masetoseulemenretdesiLetinhRma?mo.corresp2.auSoith?matetuneoursolutionLadeoirclassevalendoit?quiv,.laUnourd?vpeloppetemen3t,limit?3etde?sd'ordreestLeauscd'h?mardestau.donnequand

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