Math I Analyse Feuille Fonctions derivables

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Math I Analyse Feuille 5 : Fonctions derivables 1 Concepts elementaires Exercice 1. Soit I un intervalle ouvert et non vide de R, soit f : I ? R et soit x0 ? I. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 1. Si f derivable en x0 alors f est continue en x0. 2. Si f continue en x0 alors f est derivable en x0. 3. Si f est derivable sur I, alors f ? : I ? R est continue. 4. Si f n'est pas derivable en x0, alors f n'est pas continue en x0. Exercice 2. Dire en quels points les fonctions suivantes (definies sur R et a valeurs dans R) sont derivables, derivables a droite, derivables a gauche, et donner leurs derivees. 1. f1(x) = cos(cos x) 2. f2(x) = √ |sinx| 3. f3(x) = √ 1 + cos x Exercice 3. Etudier la derivabilite, sur leur domaine de definition, des applications suivantes : f : [0,∞[? R, f(x) = 1√ x+ √ x+1 , g : [?1,∞[? R, g(x) = x √ x + 1 sinx , h : R ? R, h(x) = x1+|x| , i : R ? R, i(x) = x |x| , j :]0,∞[? R,

• racine du polynome x2


• unique racine


• autour des theoremes de rolle et des accroissements finis


• sin

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Extrait

Math I Analyse Feuille5:Fonctionsd´erivables

1Concepts´ele´mentaires Exercice 1.SoitIun intervalle ouvert et non vide deR, soitf:I→Ret soitx 0 ∈I. Les propositions suivantes sontelles vraies ou fausses? 1. Sifd´ivernebaelx 0 alorsfest continue enx 0 . 2. Sifcontinue enx 0 alorsfeanbileverd´stex 0 . ′ 3. Sifire´lbavrusetdesI, alorsf:I→Rest continue. 4. Sif’nseptiverd´asenleabx 0 , alorsfn’est pas continue enx 0 . Exercice 2.esnt´e(dssonvauiofseitcniopslstniDuqleernenfieissruRe`tvalaeursdansR) sont d´erivables,de´rivablesa`droite,d´erivables`agauche,etdonnerleursd´eriv´ees. 1.f 1 (x) = cos(cosx) 2.f 2 (x) =|sinx| 3.f 3 (x) =1 + cosx Exercice 3.se:avtnssiuitnodourinmaededfin´eoitied,nppasacilEtudierlad´ervibalitie´s,ruel 1 f: [0,∞[→R, f(x) =, g: [−1,∞[→R, g(x) =x x+ 1 sinx , x+x+1 x h:R→R, h(x) =, i:R→R, i(x) =x|x|, 1+|x| j:]0,∞[→R, j(x) =xsin (lnx), Exercice 4.Soitf:R−→R:eavtnamanedelesuii`eritcnofalinfie´dno  x−x e+e six≤0 2   1 six∈]0,1] f(x) = 1 +x 2−lnx  six >1  4 1. Enquels points la fonctionf?estelle continue 2.Enquelspointsestelled´erivable?Enchacundespoints,donnerlavaleurdelafonction de´riv´ee.

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