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Math PC Exercices

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Math 202 PC. Exercices 2009/2010 PARTIE I : Calcul differentiel. Feuille I –Fonctions de plusieurs variables : generalites, limites, continuite 1.1) Generalites. Fonctions de plusieurs variables, domaine de definition, image. Graphe, traces et courbes de ni- veau. 1.2) Limite d'une application en un point. Limite d'une application en un point, unicite. Proprietes (operations, gendarmes, composition). Limites suivant un chemin. Fonctions usuelles et exemples de calcul. 1.3) Continuite . Definition et exemples. Proprietes (operations, composition de fonctions continues, fonctions usuelles). Exercice 1 Determiner et representer les domaines de definition pour chacune des fonctions suivantes. a. f(x, y) = √ x + y. b. f(x, y) = √ 2x + y2. c. f(x, y) = 1 √ x2 + y2 . d. f(x, y) = 1 √ x + y . e. f(x, y) = arcsin(x + y). f. f(x, y) = √ x2 ? 4 + √ 4? y2 √ 9? x2 ? y2 . g. f(x, y) = √ x sin y + ln(x + 5y).

  • r2 differentiable sur r2

  • direction du vecteur

  • derives partielles d'ordre superieur

  • plans tangents

  • derivee directionnelle

  • derivees partielles

  • clase c1 sur r2


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Math 202 PC. Exercices 2009/2010 PARTIEI:Calculdiff´erentiel.
Feuille Ie´nctiFoepluonsdsravisueel:sirbara´eeng´,lest´lic,setimitiunitno
1.1)Ge´ne´ralit´es.Fonctions de plusieurs variables, domaine de de´finition, image. Graphe, traces et courbes de ni veau. 1.2) Limite d’une application en un point.miLdetienulppau,inic´t.erPpoiricationenunpoint,sn(oest´´eioaterp´ gendarmes, composition). Limites suivant un chemin. Fonctions usuelles et exemples de calcul. 1.3)Continuit´e.onncitteiso,nfeioDn´seioaterp´(oest´´eirporP.selpmexettinuscontionfoncnoedisitmoopsnc, usuelles).
Exercice 1 D´etermineretrepre´senterlesdomainesded´enitionpourchacunedesfonctionssuivantes. p 1 2 a.f(x, y) =x+y.b.f(x, y2) = x+y.c.f(x, y) =p. 2 2 x+y p 2 2 1x44 + y d.f(x, y) =.e.f(x, y) = arcsin(x+y).f.f(x, y) =p. x+y 2 2 9xy p 2 g.f(x, y) =xsiny+ ln(x+ 5y).h.f(x, y) = ln(1xy).i.f(x, y) = ln(x+y) p 1 2 2 2 j.f(x, y, z) = 4xyz.k.f(x, y, z) =. x+y+|z|
Exercice 2 Dessiner (a` l’aide des traces) les graphes des fonctions suivantes : 1.f(x, y) = cosxnsavctioersesinttnele´emcesipe´rircr´e.Dioatndsnuqe´elcealps{y=k}. 2 2 2.f(x, y) = 4x+y. 3.f(x, y) =xy. Indiquer les courbes de niveau correspondant respectivement a`{z= 1}et{z=1}. 2 2 4.f(x, y) =xy.
Exercice 3 De´terminer l’ensemble image des fonctions suivantes : a.f(x, y) = cosxb.f(x, y) = ln(2xy+ 1).
2xy c.f(x, y) =y e.
2 2 d.f(x, y) =xy.
Exercice 4 De´terminer si les fonctions suivantes ont une limite en(x, y) = (0,0)et donner leurs valeurs si elles existent. 2 2 2 2 2 xy x2xy+y xy+y a..b..c.. 2 2 2 2 2 2 x+y x+y x+ 4xy+y 2 x y1 +x+y|xy| d..e..f.. 2 2 2 2 2 2 x+y xy x2xy+y  ! −|xy| 2 2 1 +x+y 2 2 x2xy+y y1/y g.eh.sinyi.|x|.j.|x|. y 2 6 2 2 (x+y)xy xy x+y k..l..m..n.. 2 2 6 8 4 4 x+y x+y x+y x+y 4 2 sinxsinysinxsinxysinx+ (1cosy) o..p..q..r.. 4 4 shxshycosychx xsiny4x+y
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