Mathematique et Pedagogie n˚163

Augustin Fresnel

Description

Mathematique et Pedagogie n˚163, 37–47, 2007 37 Soyons carres ! RICHARD CHOULET Lycee Augustin Fresnel, Caen Les numeros ??? et ??? de M&P (voir [2] et [3]) m'ont ouvert les yeux sur ce resultat qui ne bouleversera les mathematiques mais est assez amu- sant pour etre signale. Sa formulation est malaisee sans quelques petites remarques prealables. Expliquons sur un exemple la notation qui va servir et illustre ce qu'on pourrait appeler une conversion de base mais qui n'est pas un changement de base, au sens ou on le conc¸oit d'habitude. Partons du nombre 315 (ecriture habituelle, en base 10). C'est donc 3 ? 102 + 1 ? 10 + 5. Son converti par ?b/10 (b > 1, entier) est le nombre 3 ? b2 + 1 ? b + 5, qu'on ecrira (315)b. L'introduction de ?b/10 se justifie des qu'on utilise des expressions litterales : ecrire (n2)b, en effet, n'a pas de sens, car n2 n'est pas une liste de chiffres ; si je veux designer le nombre dont l'ecriture en base b a les memes chiffres que l'ecriture de n2 en base 10, c'est ?b/10(n2) que je dois utiliser. Voici donc le resultat annonce : Il existe un seul entier n compris entre 2 et 31 (on verra plus loin pour- quoi le resultat est si modeste) pour lequel ?b/10(n2) n'est un carre

• point de depart


• entier


• elements inversibles de l'anneau


• infinite de solutions


• ?4 ?4


• base consideree


• equation

Sujets

• Fresnel
• Entier relatif
• Équation

Informations

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Extrait

Math´ematiqueetP´edagogien˚163, 37–47, 2007

Soyons

carre´s!

RICHARD CHOULET Lyce´eAugustinFresnel,Caen

37

Lesnum´erosetdeM&P(voir [2] et [3]) m’ont ouvert les yeux surcere´sultatquinebouleverseralesmathe´matiquesmaisestassezamu- santpoureˆtresignale´.Saformulationestmalais´eesansquelquespetites remarquespr´ealables. Expliquons sur un exemple la notation qui va servir et illustre ce qu’on pourrait appeler une conversion de base mais qui n’est pas un changement debase,ausenso`uonleconc¸oitd’habitude. Partonsdunombre315(e´criturehabituelle,enbase10).C’estdonc 2 3×110 + ×10 + 5. Sonconvertipar Φ b/10 (b >1, entier) est le nombre 2 3×b+ 1×b+5,qu’noe´rcri(a13)5 b . L’introduction de Φ b/10 se justifie 2 de`squ’onutilisedesexpressionslitte´rales:e´crire(n) b , en effet, n’a pas de 2 sens, carneejisxuevffihc;serenrlbromesd´neig’nelistedeestpasun 2 dontl’´ecritureenbaseberedirutffresschi’´ecquelaemeˆmselnen base 10, 2 c’est Φ b/10 (n) que je dois utiliser. Voicidonclere´sultatannonc´e: Il existe un seul entierncompris entre2et31(on verra plus loin pour- 2 quoilere´sultatestsimodeste)pourlequelΦ b/10 (n)uedansncarr´eq’nseut une seule base : c’est14et la base est10. Enfaitilfautsyste´matiserl’´etudefaitedansleprobl`eme304([2]),avec unpeud’outilsthe´oriques,surtouslescarr´esde2`a31enposantl’´equation diophantienne`adeuxinconnuesdupremierouduseconddegr´equien re´sulte.Au-del`aontombeaumieuxsurdese´quations«lleala`droM» (cube=premierdegr´e)avecdesdifficulte´sirr´esoluesmeˆmesil’onsaitde´j`a trouverb!= 10

Adressedel’auteur:RichardChoulet,27rueduQuatreAouˆt,F-14210Avenay,France; courriel :[e-mail].

1.

Explorations

Soyonscarre´s!

J’aifaitl’inventairedes´equationsauxquellesonarriveetdanstousles cassaufun,celles-ciontuneinfinit´edesolutionscaronalachanced’avoir unesolution´evidenteauprobl`emeaveclesconditionsdede´partou`intervient b= 10.

1.1.

Pournde2a`10

Pour chaque nombre entiern(26n610), la recherche des basesb>2 2 pour lesquelles Φ b/10 (nit`aonduierc’ent´rdecnraseut)ede´tinfinienu solutions.Lescalculssontr´esum´esdansletableau1.

´ Equation 2 (4) b = 4 =a 2 (9) b = 9 =a 2 (16) b =b+ 6 =a 2 (25) b = 2b+ 5 =a 2 (36) b = 3b+ 6 =a 2 (49) b = 4b+ 9 =a 2 (64) b = 6b+ 4 =a

2 (81) b = 8b+ 1 =a 2 2 (100) b =b=a

1.2.

1.2.1.

Cond. sur b b>5 b>10 b>7 b>6 b>7 b>10 b>7

b>9 b>2

Pourn1`11e3da

L’´evidence

Valeurs dea a= 2 a= 3 a>4 quelconque a= 2k+ 1,k>2 a= 3k,k>2 a= 2k+ 1,k>3 a= 6k+ 2,k>1 oua= 6k−2,k>2 a= 2k+ 1,k>4 aquelconque

Tab.1 –

Valeurs deb bquelconque bquelconque 2 b=a−6 2 b= 2k+ 2k−2 2 b= 3k−2 2 b=k+k−2 2 b= 6k±4k

k(k+ 1) b= 2 b=a

On voit effectivement tout de suite, que certains des nombres sonttoujoursdescarre´s,quellequesoitlabaseconside´r´ee: 2 (121) b = (b(+ 1) b>3) ; 2 (144) b = (b+ 2) (b>5) ;

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pr´ece´dents

1.2.2.

Soyonscarre´s!

2 (169) b = (b+ 3) 2 (441) b = (2b+ 1) 2 (484) b = (2b+ 2) 2 (961) b = (3b+ 1)

(b>10) ; (b>5) ; (b>9) ; (b>10).

Pre´sentationdestypesd’e´quationsauxquellesonarrive

Aveclesnotationsci-dessus,nousavonsles´equivalences:

1.2.3.

2 2 2 (196) b =a⇔(2b+ 9)−4a= 57 2 2 2 (225) b =a⇔(2b+ 1)−2a=−9 2 2 2 (256) b =a⇔(4b+ 5)−2(2a) =−23 2 2 2 (289) b =a⇔a−2(b= 1+ 2) 2 2 2 (324) b =a⇔(3b+ 1)−3a=−11 2 2 2 (361) b =a⇔a−3(b+ 1) =−2 2 2 2 (529) b =a⇔(5b+ 1)−5a=−44 2 2 2 (576) b =a⇔(10b+ 7)−20a=−71 2 2 2 (625) b =a⇔(6b+ 1)−6a=−29 2 2 2 (676) b =a⇔(12b+ 7)−6(2a) =−95 2 2 2 (729) b =a⇔(7b+ 1)−7a=−62 2 2 2 (784) b =a⇔(7b+ 4)−7a=−12 2 2 2 (841) b =a⇔(4b+ 1)−2a=−1

2 Le cas de14noitau:l’´eq(196) b =a

Enfactorisant,cela´equivauta`(2(b−a) + 9)(2(b+a) + 9) = 3×:`u1’o9d

2(b−a) + 9 2(b+a) + 9 a b

1 57 14 10

−1 −57 −14 −19

3 19 4 1

−3 −19 −4 −10

19 3 −4 1

−19 −3 4 −10

57 1 −14 10

−57 −1 14 −19

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2.

Soyonscarre´s!

La seule solution avec des entiers naturels est doncb= 10et a= 14epd´t.aroiepdenteridrtontse’-a`-,c

Quelquesapportsth´eoriques

2.1. Anneau des entiers d’un corps de nombres qua-  √  dratiques Qd(dannlnouterrrcad’´etien)er  √  Rappelons pour commencer que surQdo,dne´nfitialnormed’un √ 2 2 ´ele´mentx=α+β dcomme´etantN(x) =α−dβ. Cette normeNvri´efie pourtouse´l´ementsxetydu corps : –N(x)∈Q; –N(xy) =N(x)N(y) ;   x N(x) –N= (iciy6;= 0) y N(y) √ ∗ ∗ –N(x) =xxou`x=α−β deugnjedu´stecolex.

Qu’est-ced’abordqu’unentier?C’estune´l´ementxdu corps, donc de √ la formeα+β d(αetβdansQ), qui satisfait une relation du type 2 x+ux+v= 0 avecuetvdansZ.  √  L’anneau des entiers deK=Qdsn:ie´iastetutinsco √  √  – Sid≡2 ou 3 (mod 4), c’estA K ={α+β d:α, β∈Z}=Zd;  √  1 +d – Sid≡4), c’est1 (mod A K =Z. 2

2.2.

 √  Unite´sdel’anneaudesentiersdeQd

Cesontles´el´ementsinversiblesdel’anneau;ilsformentungroupequ’on × noteAet l’on a : K × ε∈A⇔ |N(ε)|= 1. K

∗ Cecipeutˆetrede´taill´edanslecasquinousoccupe(d∈N) par le re´sultatsuivant:it´eneunsteuleIxiω6= 1ueinlee´a(ppe)alntmedaoneft´ telle que × n A={±ω:n∈Z}. K

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