On considere un espace a ne euclidien oriente E de dimension de direction E muni d'un repere orthonor mal direct R0 O k

Description

Definitions et notations On considere un espace a?ne euclidien oriente E de dimension 3, de direction E, muni d'un repere orthonor- mal direct R0 = (O,??ı ,??? ,??k ). Le sous-espace a?ne de E d'equation (z = 0) sera note P , et sa direction P . Par abus d'ecriture, a partir de la partie III, le repere (O,??ı ,??? ) de P sera egalement note R0. Si R est un repere d'un espace a?ne X de dimension quelconque n et si M est un point de X , nous noterons M (x1, . . . , xn)R pour signifier que x1, . . . , xn sont les coordonnees de M dans le repere R. La partie de P formee des points a coordonnees entieres est notee Z : M(x, y)R0 ? Z si et seulement si (x, y) ? Z2. Si A et B sont deux points de E , nous noterons AB la distance de A a B, (AB) la droite passant par les points A et B (quand A 6= B) et [A,B] le segment d'extremites A et B. On note Q la quadrique de E d'equation : (Q) x2 ? 3xy + y2 + x? y ? 12z 2 + √ 10 5 z = 0 et C la conique intersection de Q et du plan P : (C) { x2 ? 3xy + y2

• g?1


• b2 ?


• repere r1


• centre de ci


• groupe ?


• spheres de centres respectifs


• transformation


• equation


• transformation a?ne

Sujets

• Groupe µ
• Transformation
• Équation

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Extrait

D´efinitionsetnotations

Onconsid`ereunespaceaffineeuclidienoriente´Ede dimension 3, de directionE`eepnr’uonthorre-ronudim, −→−→ −→ mal directR 0 = (O,ı,, k).

Le sous-espace affine deEitau(nodqe´’z´eot)s=0anerP, et sa directionPP.raedritrapa`ure,critd’´eabus −→−→ lapartieIII,lerepe`re(O,ı, ) dePge´amelantnee´toersR 0 .

SiRer’dnuseapecffiaenestunrep`eXde dimension quelconquenet siMest un point deX, nous noterons M(x 1 , . . . , x n ) R pour signifier quex 1 , . . . , x n stlonnne´seedseocroodMep`eredanslerR.

La partie dePooacs`ntoispdeee´mrof´eetnoteses`ireestn´needrnoZ:

2 M(x, y)∈ Zsi et seulement si (x, y)∈Z. R 0

SiAetBsont deux points deE, nous noteronsABla distance deAa`B, (AB) la droite passant par les pointsAetB(quandA6=B) et [A, Bsegel]semit´tr´ed’exmentAetB.

On noteQla quadrique deE´ed’uqtaoi:n 1 2 2 2 (Q)x−3xy+y+x−y−z+ 2 etCla conique intersection deQet du planP: ( 2 2 x−3xy+y+x−y= 0 (C) . z= 0

10 z= 0 5

On noteGA(P) le groupe affine deP’cse,affinesdedelbibsetcejsnoi`at-ir-d’eelemnsPeˆem:surlui-mGA(P) est un groupe pour la composition.

On noteM 2 (Rlesc´eelcesratriedmsbeerla`g)’l´ementsfied´sleitlpcitauproulemsoLe-gusdro’.2er´rradsee inversiblesdecettealg`ebreestnote´GL 2 (R).

Lebutdeceprobl`emeestd’e´tudierl’´equationdiophantienne: 2 2 (Σ)n−3np+p+n−p= 0, c’est-a`-diredede´terminerl’ensembleSdes points deCodroe´nnnesee`its:re`acoS=C ∩ Z.

LapartieIpr´esenteune´etudeg´eom´etriquedelaquadriqueQet de la coniqueC; la partie II donne quelques me´thodesarithm´etiquesd’e´tudede(Σ);lapartieIIIintroduitunefamilledetransformationsaffinesqui permet,danslapartieIV,ded´ecrirel’ensembleS.

LespartiesIetIIsontind´ependantesetlapartieIIIesttre`slargementinde´pendantedesdeux partiespr´ec´edentes.

PartieI:´etudede

la quadriqueQet de la coniqueC

I.1. Intersections deQavec une famille de plans

−→ On poseu=

  2 −→−→−→ −→ ı +  etv=k. 2

  −→−→−→−→ a)De´terminerlevecteurwtel queu , v , wsoit une base orthonormale directe deE.

−→−→−→ b) On poseR 1 = (, w, v O, u ). SoitMun point deEsneldsueseneetadnlerepr´;oarspepxrre`e M(x, y, z) R 0 =M(x 1 , y 1 , z 1 ) R 1 . Exprimerx,yetzen fonction dex 1 ,y 1 etz 1 noeditauqe´’leriude´ndseui,p Qrednalsrepee`R 1 .

c) Pourt∈R, soitP t tiuaonpeldnalqe´’z 1 =tretilatnuaevemreeer`pR 1 ´eci.PraposserlednoitiP t dans R 0 et en faire un croquis. Montrer que l’intersection deP t et deQrentcecercledoestunicesareltnnorpe´ C t et le rayonR t .

d)Pre´ciserlavaleurdet´ce´nederestude´`aitpount.initSourlapoelrpeccreleluqleScpeiotnv;e´irefirque  ! 1 1 10 S−, ,. 5 5 5 R 0

I.2. Nature deQet deC −→−→−→ SoitR(e`prerele, w, v S, u ) ; on note (X, Y, Ztnedpniodsu’n´eerdonscoo)leEdna.eerp`reauveouensc ′ ′ −→−→ On notePle plan admettantR= (S, v , wuorrpee`p)maorl.orreonth

2 2 2 a)Montrerquel’e´quationdeQep`ereleradsnRestX+Y= 5Z.

b) Quelle est la nature deQ? On remarquera en particulier queQtonenestunesurecaf´redloveoitu pr´eciserasonaxe.

c) Montrer qu’un pointM(X, Y, Z) R ntde´emet´elesPsi et seulement siY=−

10 . 5

′ Faireunefigure,surunefeuilledepapiermillim´etr´ee,repr´esentant,danslerep`ereR, la droite d’intersection ′ ′ D=P ∩ P, ainsi que les deux droitesD 1 etD 2 formantQ ∩ Pnerduaennutie´e´gale`a8cm..prOn

Pourtoutelafindecettepartie,cettefigureseraunoutilimportant.Onyplacerales´ele´mentsde´finis ′ cidessous ou leurs projections surPfuau,esamt`resapparaˆurequ’illise.tıortntu

Quelle est la nature de la coniqueC? ′ −→ d) Montrer qu’il existe deux cercles dansPtcneyorameˆeem,d(exa’lrusse´rtneS, w), tangents aux trois droitesD,D 1 etD 2 . On note Ω 1 et Ω 2 leurs centres respectifs, et on noteρla valeur commune de leurs rayons.

e) On noteS 1 etS 2 sfitΩersleecepsecsdtrenphssre`e 1 et Ω 2 , et de rayonρecsshpe`tnerqreu.Motonssre tangentes au planPiopxuednesot´entsnF 1 etF 2 a,et`sgnneteatQle long de deux cercles que l’on note ′ C 1 etC 2 ´rpeR.sretneseurfiglaur´eecr´epedtnleserpjoceitonsorthogonalessruPde ces deux cercles, ainsi que les pointsF 1 etF 2 .

I.3.Deuxcaracte´risationsdeC

a) SoitMun point quelconque de l’intersectionC=Q ∩ P. Montrer que la droite (M S) est contenue dansQ. On nommeT 1 etT 2 les intersections respectives de (M S) et des cerclesC 1 etC 2 . Montrer queM T 1 =M F 1 etM T 2 =M F 2 . Montrer par ailleurs que|M T 1 −M T 2 |est constant lorsqueMcr´edtiCirporpelleuQ.e´et´ deC?peut-on retrouver ainsi

b) Pouri∈ {1,2}, on nomme Δ i la droite d’intersection du planPet du plan contenant le cercleC i , etU i le centre deC i . PourMpoint quelconque de l’intersectionC=Q ∩ P, soitH i la projection orthogonale de

2

Msur Δ i nts.Ve´irefiqreuelpsioM,S,H i ,T i etU i ceseparrm´erefo´eEnditutlanguafitnoslpociana.ser M H i cinq points, prouver que le rapport reste constant quandMecritd´Crp´itee´eullpeor.QdeCpeut-on M T i retrouver ainsi ?

PartieII:re´solutiondel’e´quationdiophantiennepour valeurs den   n Pournetpdeux entiers tels que 0≤p≤n, on note :le coefficient binomial p   n n! = p p !(n−p)! avec la convention 0! = 1.

de

petites

Pournetpersnentiiruepue´lesstaru`auxon1,oursga´eesserol,ni’sre´taunsens,squ’elletaoi:na`’le´uq     n n−1 (Σ 1 ) = . p−1p

II.1.Une´etude´ele´mentaire

a)Montrerquecette´equationeste´quivalenteausyst`eme: ( 2≤p+ 1≤n,

2 2 n+p−3np+n−p= 0.

2 2 b) Pourneravelbaieuerqpolenˆlyedom´ugelaa`,1omtnerntiersup´erieuroX:n−3nX+X+n−X a n −b n a n +b n poss`ededeuxracinesre´elles,quel’one´crirasouslaformeX 1 = etX 2 =o`ua n etb n 2 2 sont deux entiers naturels. Pour quelles valeurs dena-t-on 2≤X 1 + 1≤n? Et pour quelles valeurs den a-t-on 2≤X 2 + 1≤n?

c) Montrer que sibest un entier naturel,

best rationnel si et seulement sibr´arnctuitfaarep.se

2 d) On suppose que (n, p) est une solution de (Σ 1 ). Montrer que 2≤n, que 5n+ 2nepararr´tunc+1estiaf et donner une expression depen fonction den.

2 e)R´eciproquement,soitntelql`a2ue5ouurga´ep´suieertanrleruenueitnn+ 2ntinu1+ose´apacrrt.airf Montrer qu’il existe un uniqueptel que (n, p) soit solution de (Σ 1 ).

f) Pourn 0 entier naturel non nul, comment peut-on calculer tous les couples (n, p) solutions de (Σ 1 ) avec 1≤n≤n 0 ? On pourra donner un algorithme de calcul de ces solutions, sans utiliser un langage de programmationpre´cis.

II.2Uneme´thodeplusarithme´tique

Soit (n, p) une solution de (Σ 1 ).

a) On suppose quenetpsont premiers entre eux. Montrer quenp= (n−p)(n−preque+te)1´dneiuden divisep−1. Quelles sont toutes les solutions de (Σ 1 ´mrof)tne’dseepremiersentriers?eexu

b) On ne suppose plus maintenant quenetp: on notesont premiers entre eux r=n∧pleur plus grand commun diviseur commun et on posen=ruetp=rv:. Montrer successivement

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