OPTIMAL REGULARITY FOR SQUARE ROOTS

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OPTIMAL REGULARITY FOR SQUARE ROOTS RÉGULARITÉ OPTIMALE DE RACINES CARRÉES P.-L. LIONS AND C. VILLANI Table des matières 1. Introduction 2 2. Démonstration du théorème 1 3 3. Démonstration du théorème 2 5 Résumé. Nous établissons un résultat de régularité sur les racines carrées de matrices symétriques positives. We establish a regularity result for square roots of nonnegative symmetric matrices. Abridged English Version : It is well-known that whenever a is a nonnegative function on R with bounded second-order derivatives, then √a has bounded first-order derivatives. This result can be exten- ded to symmetric nonnegative matrices aij(x) depending on x ? Rp (see [1,2]). More precisely, let a be a symmetric matrix function on Rp with bounded second derivatives, then we have ??Da1/2??L∞(Rp) ≤ C?D2a? 1/2 L∞(Rp), where C depends only on N and P . We shall show that this result extends in a natural way to the case when a has second-order derivatives in Lp, 1 < p ≤ ∞ : in particular, we show, when P = 1, ?(a1/2)?(x)? ≤ C[M(?a???)]1/2(x), a.

• optimal regularity


• réel


• dérivée seconde


• ?l2p ≤


• matrices symétriques


• régularité optimale de racines carrées


• carrées de matrices symétriques

Sujets

• Dérivée seconde

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Extrait

a
Rp
a
pa (x) x 2 Rij
pa R
? ?
1=21=2 2? ?Da •CkD ak ;1 p1 p L ( )L ( )
C N P
pa L 1 < p•1
£ ⁄1=21=2 0 00P = 1 k(a )(x)k • C M(ka k) (x); x 2R
C N M(u)
2 pu D a2 L
1=21=2 2p 1=2 2
2pDa 2L kDa k •CkD ak p ; CL L
p P N
ativ1:btheedepawithsymmetricusmatrixyfunctiondedonthenth?or?meonduoinwithwhenevbeoundedpsecondederivcanativbes,second-orderthendepweeishayvthatethenD?monstrationAbridged2.ro2eductioncarr?estrosurInsymmetric1.eti?resThismarst-orderdes?tablissonsableativToundedRwhereVILLANIonlyC.andANDaLIONSfunction.-L.ThisPwiseCARR?ESalloCINESshoRAdeDEwnOPTIMALEisR?GULARIT?VOOTSandRofSQUAREforRaORes.FmatricesREGULARITYwherewhereonlyOPTIMALr?gularit?depnonnegativendstoonlyexten-onbletresultandes.,deriv.oundedWhaseunshalles,preciselyderiv.a.e.hbare,forr?sultatstudyendstheonokk,k-Landaufunction(seenonnegativanddenotesreferencesmaximal1ofthe.casepwhentMoreinequalithaswillsecond-orderwderivtoativwesifiner[1,2]).that(seeell-kno,w3It3.ersionD?monstrationEnglishdumatrices.onsymmetric:nonnegativinotsparticular,squarewresulteregularitshoestablishw,Wwhenositivendingsym?triquesdepdeth?or?meracines,les2ends5onR?sum?.,NousandmatricesshoSucwresultsthatusefulthistheresultofextendsFiner-Plancaequationnatural[3,4]wtheatherein).ytop=1
P =N =1
x
a(x)= ; 0<fi< 1; x2(0;1=2):
fi(log1=x)
a
N £ N a ‚ 0
s;p P 1=(1+s) 1;p(1+s)˙ ˙a2W (R ) 1•p•1 0<s< 1 a 2W
ap
R a
px x2R
a
pR
? ?
1=21=2 2? ?Da •CkD ak ;1 p 1 pL ( )L ( )
C N P
C a
Pa R
N£N a‚0 x
£ ⁄1=21=2 0 00k(a )(x)k•C M(ka k) (x)
p
2 p P 2p PD a2L (R ) 1<p•1 D( a)2L (R )
1=21=2 2kDa k 2p •CkD ak :pL L
fi fl p 1=fi+1=fl =2=p fi‚1 fl >1
1=2 1=22kDak p •Ckak kD ak :fiL flL L
b=b(x) N£N
0 2 00[Tr(ab)] •CM(ka k)Tr(bab)
1=2 1=20 00kTr(ab)k p •Cka k kTr(bab)k :fiL fl LL
e.r?elsymmetricparsym?triquesfromrsym?trique?(iii)elth?or?me1.les,Rtelsecondeslet,quesousmatrixofunctionpsucd?riv(p.p.surhwing).:Aextensionlors,,(i)fonctionSimatricP=1,?sioth?ses:ctivement,udethatendana.e.,?tenduconnmi?rebienbtd?rivanesuivthefaitalorsleterexampleord,d'abtandorn?es,tiond?rivfonc-theune(iv)estabtoutestaPlusacsym?triquel'esple,,m?mes,(i)thenespdansoirvaleurse?,p.p.d'un(ii)esSimatrices,eutIntrorn?e.oductionpre-surafonctionorn?e,unesecondeRapp,Soitositiv1.seenTh?or?me,,follo.,elonssimpledecounteswhenendanFinally,walorspresenind?panesalorsositivbp?estesdeconstanofersessurdivmatricielled?signeSi2une?nonc?,soitcetpr?cis?menDansuneetefait.exemple).ce,dernaturelleelextensionalors,unelesesthypsuitqu'enquietr?sultatrLee.[1,2]P(vetv.-L.estimationsdeouque:endparam?tred?ptned?pLIONSositivo?sym?triquesANDaux(iii)?treSipC.Ce,bVILLANImatricet?eRsav?rientletThisalorstheorembfailsdesif?e,deasecaneesp,eb,M(u) u
? Z ¶x+r
1
M(u)=sup ju(y)jdy :
2rr>0 x¡r
1=2p=1 Da 2
2;1 2 1 2L D a 2 L L
P =N =1
x
a(x)= ; 0<fi< 1;
fi(log1=x)
p
00 1 0a 2 L (0;1=2) ( a) 62
2L (0;1=2)
s;p s;p˙ ˙W W 0 < s < 1 1 • p < 1
p
u2Lloc
ZZ
pju(x)¡u(y)j
dxdy <1;
P+spjx¡yjP P£
1;p s;p1+s;p˙ ˙W u2W Du2W :loc loc
pa R
N £ N a ‚ 0 x a 2
s;p P 1=(1+s) 1;p(1+s)˙ ˙W (R ) 1•p•1 0<s<1 a 2W
a
a R
x;y2R
Z 1
0 2 000•a(x+y)=a(x)+ya(x)+y a (x+sy)(1¡s)ds:
0
y
R R1 x+jyj00 00ja (x + sy)jds • 2 ja (x + z)j=(2jyj)dz •
0 x¡jyj
002M[a ](x)
0 2 00ja(x)j •16a(x)M[ja j](x):
Th?or?mematricl'?quationesIncasdes,[3,4]sitsym?triques?re?RemarqueelEnnles,ositivit?telr?sultatsleRquesym?triques.?EnTh?or?merevREGULARITY(p.p.lesancl'espace),Icihe,in?galit?alorsmaximaleque(1)einepper-Plancsanstelles?riedesv,on,,.eet,espacesEn?tablissonsletrer?sultatL'estimationn'esttelles,ORplusfonctionsvraiRaOOTSvlaect,laalorstrin?meeetcommedelequemonttrel'?tudel'exempleFack-Landau,simpleestl'esptsuivdesan)t,ositiv:?riano?(.obtenonsNotonsnoteennt?esquetcesdansr?sultatsextensionson2.tquebienmons?r(i)dans:desincluses).que2.r?f?rencesD?monstraFtionetdu(Cfth?or?medes1SQUAREUn.raisonnemenett3?l?menesttairefonctiondeterpr?tandensit?cettepcommeermetpded'unneenconsid?rer,queremarquanlequecas,o?Signalonsvaleurscesestsonr?guli?reutilesetourd?niedepdeositivokke.RNouso?commen?onsl'onparquelenaturellemencasamen?o?consid?rer?fonctionsestl'espaceunematricesfonctionppesositivvetsurestimations,analogues.nousOn(2)?crit,cellespOnourpr?sentousci-dessusleypdansdesurlesfonction1,duuneunemaisnousSoitlocaux.p p
0 0( a) = a=(2 a)
N = P = 1
Px R
a R =x+Re ei i i
p=2 p=2p 2k@ak •Ckak kD aki p fi flL ( ) L ( )i i L ( )i
Z Z ?Z ¶ ?Z ¶p=(2fi) p=(2fl)
p 0 0 fi 2 flk@ak dx dx •C dx jaj dx jD aj dxi i i ii i
R
0dxi
xi
a N£N R
` (x)=a (x)§2a (x)+a (x)=(e §e ;a(x)(e §e ))‚0:§ ii ij jj i j i j
0 2 2j` j •CM(kD ak)`§§
1a (x)= [` (x)¡` (x)]ij + ¡4
0 2 1=2 1=2 1=2ja(x) j•C M(kD ak) [` (x) +` (x) ]ij + ¡
1=22 1=2•C M(kD ak) fa (x)+a (x)g :ii jj
1=2 1=20 2 2ja j • CkD ak ka + a k fifl ii jjij LL
PP = 1 a x 2Rp
0 1=2 1=2 0 1=2 0 1=2a a(x)=a (x)(a )(x)+(a )(x)a (x)
0a (x)ij1=2 0(a )(x) = :ij 1=2 1=2(a (x)) +(a (x))ii jj
1=2 0 00 1=2j(a )(x) j•CM(ka k) (x);ij
P
P = 1
x a
‡ ·X X X2
0 2 0 2 2 2 2a (x)b (x) •N (a (x)) (b (x)) •CM(jD aj)(x) (a +a )b (x):ij ij ii jjij ij ij
ROndansprenddeNousassonsg?n?ral.lacascas.eNousconcernepr?sultatsouvtroonsNoussupp?tabliroser.que?tablirlelesestprouvdiagonaleenenrestrictionsdansobtien(iii)enaussit?tosanetaussit?t;quelconque).alorspar,toutonsdiagonale,l'est,aussi,;et,cepuisquel'inv(nousaennousdansH?ldertartsP?4canonique),Ples(3)d'o?donct,les.-L.etLIONSouvAND(ii)C.(VILLANIallonsSacOnhancast.queoin,tnous(3),enpd?duisonstimm?diatemenunetcas(i)).dansariablesletcasp.onOrnotre.ceLestenang?n?ral.parieoin:tsappliquan(ii)lesetpr?c?den(iii)auxdude,(nousbaseaonvfonctionsonsduisonsTh?or?mein1(i)s'ob-tenantiennencomptettoutesalorscompfacilementes,t(ii).gr?cepauonsobtenonsg?n?ralisernousaudimensionnel,g?n?ralmononousr?sultatNousauennGr?ce(iv).c?l?brecommenceth?or?melede[1],Hardy-LittlewCommeoEnopdt(eto?auxestin?galit?sd'apr?sdesurH?lderositivdansleleimm?diatemencas(ii)dematrice(iii)).estNouso?passonsaumainPtenanencasquetautresComvbinanselontt?grationcetteourformquiule(iii)anotonsvr?sultatece(3),quinousa,(i)r?appliquandanstl'in?galit?H?lder,obtenonsdeauRcasRo?vallonsmainP
2a b = Tr(bab) xii ij
P =1
p <1
p = 1
Px2R
N =P =1 x;y2R
Z y
0 0 00•a(x+y)=a(x)+ya(x)+ (a(x+z)¡a(x))dz
0
0 1+s•a(x)+ya(x)+Cb(x)jyj
?Z ¶1=p0 0 pja(x+z)¡a(x)j
b(x)= dz :
1+spjzj
x;y2R y =0
10 sja(x)j• a(x)+Cjyj b(x);
jyj
s 1
0 1+s 1+sja(x)j•Ca(x) b(x) ; 8x2R:
fl fl‡ ·fl 0fl1 1fl fl1+s 1+sa •Cb R;fl fl
N =P =1
N = 1 P ‚ 1
P =1
P¡1!2S
Z ZZfl fl p(1+s)p1 jDa(x+z!)¡Da(x)jfl fl
1+sfl!¢Da fl dx•C dxdz:
1+sp
P p jzj£
P¡1!2S
ZZ
pj’(x+z!)¡’(x)j
dxdz
P+sp
P P jzj£
Z ZZ
pj’(x+r!)¡’(x)j
= d! dxdr
P+sp
P¡1 P jrjS £[0;1[
remarquanEntion(4)esttennalemenComme.Commen?onsTleoujours2dansRleilcaspd'o?pREGULARITYNousFconclut,parl'extensiono?autcastORtrationSQUAREleRepleeuto?se3.faireth?or?mecommed?monsuit.RTlaoutt?grand'abortord,leonetd?duitquedunotancasseOOTSmani?re5laCommeTh?or?mel'in?galit?desuivo?anette,acvRalabletoutpleoutOntoutce,D?monstraledur?sultat2estallonsvraitrerauTh?or?me:OnpalorsRd?monstrationoinintt;rappil?l'estdans,caspartout,paren6tinle,Rvenariancecasdetraitanlad'uneouranalogue.pdansons,d?mons-vdua1,noussutparticulier,consid?rerEncasRatracer?guli?resouscasRh?vlesd?nierotations.ositivonquiparticulier,dansd?monstrationpLeecasourg?n?ral.separd?duitcasdu.la?crit,surourpr?c?demmenent.d?duit(5),cascommeo?Z ZZ
p1 j’(x+r!)¡’(x)j
= d! dxdr:
P+sp2 P¡1 P jrjS £
N ‚ 1 P = 1
s 1
0
1+s 1+sja j•C(a +a ) b Rii jjij
?Z ¶1=ppka(x+z)¡a(x)k
b= dz :
1+spjzj
1=(1+s) 0(a ) x 2R0
1=(1+s)a x ? =a0
? ¶
1 1 ¡ ¢¡10 0 1+s 1+s? (x )=a (x ) a (x )¡a (x ) a (x )¡a (x ) :0 0 0 0 ii 0 jj 0ij ij ii jj
1+s2Q
1¡ ¢
0 1+sk? (x )k•C b(x ) ;0 0
ˆ !
1 1
1+s 1+sfi ¡fl s
1+ssup (fi+fl) <1:
fi¡flfi;fl>0
enncasPg?n?ral(7)seetfaisanVILLANItd'observexactemenEnttcommexeci-dessus.laEnilraisonnanl'extensionteutcommeendansonla(8)d?monstration:duRTh?or?mesans1,ononl'onRenobtienquet,(6)LIONSsurestimero?queCetteourrelation(7),seobtienvalors?rieleo?tronstondansD?monleRcaseto?restreindrecasg?n?ralit?lepdansa2queTh?or?mesut,eetleercastreau,d?mong?n?ralons'en6d?duisan.-L.tANDPsupp,tparoserdensit?.notanEn.comC.binandiagonalet(6)ais?menest:REGULARITY346Fd'Ulm,ORequationSQUAREttreRrOOTSOn7existence.R?f?rencesabibliographiques16.[1][e-mail]75775aradhan,DMA,MultidimensionalCedexDiusionPhil.PrR.oond.c:essesC.(pp.Cau