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Petite introduction aux mathematiques des derives financiers

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35 pages
Petite introduction aux mathematiques des derives financiers (notes de cours, version provisoire) Michel Miniconi Departement de Mathematiques Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonne Universite de Nice – Sophia-Antipolis Ces notes sont censees procurer un bagage minimum permettant de lire avec profit la litterature existante sur les mathematiques des derives financiers. Il s'agit donc d'une introduction rapide aux concepts et aux modeles de base de l'evaluation. Il arrivera cependant que certains resultats soient demontres. Ce texte presente une version provisoire d'un cours de Finance Quantitative donne a l'universite de Nice. Certains chapitres sont incomplets, d'autres sont encore a l'etat de projet. J'ai choisi de rendre publique cette version inachevee et informelle parce qu'il m'a semble qu'elle pouvait etre utile aux etudiants qui suivent ce cours. Certains exercices qui accompagnent le cours utilisent des notions qui ne sont pas encore redigees dans ces notes. I – Introduction 1. Formulation du probleme a travers un exemple. Un negociant en vins doit livrer 1000 caisses de bouteilles de vin, soit 6000 bouteilles, aux Etats-Unis debut novembre. Le contrat avec son client est etabli le 5 juillet (date t = 0) pour livraison dans quatre mois (le 5 novembre, date notee T ). Il est stipule que le client payera en dollars et a la date de livraison ; les deux parties se sont entendues sur le prix de 300 000 USD.

  • contrat

  • prix d'exercice

  • date donnee

  • marche des devises

  • financial market

  • taux

  • risque financier

  • marches financiers en temps continu

  • option


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Petiteintroductionauxmathe´matiquesdesd´erive´snanciers (notes de cours, version provisoire) Michel Miniconi D´epartementdeMathe´matiques LaboratoireJean-AlexandreDieudonne´ Universit´edeNiceSophia-Antipolis Cesnotessontcens´eesprocurerunbagageminimumpermettantdelireavecprotlalitte´ratureexistante surlesmath´ematiquesdesd´eriv´esnanciers.Ilsagitdoncduneintroductionrapideauxconceptsetaux mod`elesdebasedel´evaluation.Ilarriveracependantquecertainsr´esultatssoientde´montr´es. Cetextepr´esenteuneversionprovisoireduncoursdeFinanceQuantitativedonne´`aluniversite´deNice. Certainschapitressontincomplets,dautressontencore`al´etatdeprojet.Jaichoisiderendrepubliquecette versioninacheve´eetinformelleparcequilmasemble´quellepouvaitˆetreutileauxe´tudiantsquisuivent cecours.Certainsexercicesquiaccompagnentlecoursutilisentdesnotionsquinesontpasencorer´edig´ees dans ces notes.
I – Introduction 1.Formulationduproble`mea`traversunexemple. ´ Unne´gociantenvinsdoitlivrer1000caissesdebouteillesdevin,soit6000bouteilles,auxEtats-Unis debutnovembre.Lecontratavecsonclientest´etablile5juillet(datet= 0) pour livraison dans quatre mois ´ (le5novembre,datenot´eeTIl).eleuqe´lupitstselceitnapeyarneodllarset`aladatedvilesiarl;noedseux parties se sont entendues sur le prix de 300 000 USD. ´ Le taux actuel EUR/USD est de 1,1cogerent´esanch3roeuun7:,37 dollar US. Evidemment ce taux vauctueraucoursdesquatremoisquise´parentladated´ecritureducontratdeladatedelivraison.Ces variations,damplitudeimpre´visible,exposerontlen´egociantaurisque de change :si le taux EUR/USD augmente,i.e.ollailedte,irchusunes´essaincsesesorueneemmose`escaaprcherltouedivdnsesroinoev inf´erieurealasommeattendue. ` 2.Quelquesstrate´giesenvisageables. Sipouruneraisonquelconquelen´egociantnepeute´viterlexpositionaurisquedechange,illuireste diversespossibilite´sdere´duirecerisque.Nousenretiendronsdeux,lecontratdevente`aterme(forwardou futures) et l’option de vente (put). ` a. Le forward.A la datetgi´nlecesevaiosr=0,apr`ni,iracheaconcs´eamurteedtartnoevaetnev lene´gociantconclutavecsaproprebanqueuncontratdevente`atermeportantsur300000USD.Parce contrat,ilsengage`ae´changerdansquatremoiscettesommeendollarscontreunesommeeneuroscalcul´eea` laidedutauxdechange`aterme.Desoncoˆte´labanquesengage`aachet`tauxlesdollarsdune´gociant. er a ce Cetauxdechangeestde´termine´aujourdhui(dateterat,pmeruouns`geanchesedh´rcamelrap)0= termedequatremois;ild´ependdesattentesdumarche´surlesdeuxdevisesainsiquedestauxdint´erˆet domestiquesenvigueurdanslesdeuxzonesconcern´ees(EURetUSD).Maiscequiestimportantpourle ´ociantcesttauxforwardestconnude`saujourdhuietqueceseraletauxquiserviradansquatre neg que ce moispourle´changedesdevises.Cecontratsupprimedonctouteincertitudesurlechange. Unforwardestuncontratentredeuxparties,nomme´eslacheteuretlevendeur.Ici,len´egociantestle vendeurdansceforward,labanqueestlacheteur:lene´gociantvenda`terme300000USDa`sabanque autauxforward.Pourxerlesid´ees,supposonsqueletauxforwardEUR/USD`aquatremoissoit1,40 : len´egociantestassure´derecevoira`le´ch´eance214270eurosene´changedeses300000dollars.Parcette ope´rationlevendeursupprimelerisqueli´e`aunebaisseimportantedudollarUSparrapporta`leuro. Onremarqueracependantquesi,aulieudechuter,ledollarsappre´cierelativement`aleurolevendeur perdrauneopportunite´degainli´ee`auneparit´eEUR/USDdevenueavantageusepourunexportateur.Dans cettesituationcestlabanque(lacheteur)quir´ealiseraunb´en´ece,puisquellepourraacheterlesdollarsau tauxe´critdanslecontratforwardetlesrevendreautauxdumarche´quiestplusavantageuxpourelle.Si 2002-2012 michel miniconi version du 16 avril 2012
parexempleledollarsappre´ciecontreleuro,faisantpasserletauxEUR/USD`a1,30ab,lrse`riovauqnapa,e achet´eles300000USDaune´gociantauprixde214270EUR,pourraimme´diatementrevendrecesdollars surlemarche´desdevisesautauxcourantde1europour1,03odllras;ellerecevraen´ceahgn2e0367e9ruos, r´ealisantainsiunbe´ne´cedepre`sde16500euros. Pourcetteraison,len´egociantpeutpre´f´rersecouvrirdurisquedechange`alaideduneoptionde vente. e b. L’option de vente.artnsaptraPocecque,abanvecss´ealaaaitngecoel´ne,t´libisiospmais non l’obli-gation,deluivendredansquatremois300000USDpaye´seneuros`tauxd´etermine´aujourdhui(date a un ttnn´egociarat:sileecratnocmeteptnecoeel`mpenstg´ga´lcˆotqueeabanraituepxsenoseD.)e=0sdlerent e, veutluivendre`acetaux,labanquealobligationdeluiachetersesdollarsa`cetaux. L`aencore,cecontratsupprimetoutrisquelie´a`labaissedutauxdechangeEUR/USD.Mais`aladi´erence ducontratforward,siletauxdumarch´ea`le´ch´eancedesquatremoisestplusavantageuxpourlen´egociant queletauxe´critdanslecontrat,cest-a`-diresiledollarUSagrimpe´parrapporta`leuroaucoursdesquatre moisjusqu`ade´passera`le´ch´eanceletauxducontrat,len´egociantpourraproterdecetteappre´ciationdu dollarUSparrapporta`leuroensadressantdirectementaumarche´desdevisespourvendresesdollars. Cettefois-ci,lecontratestin´egal,a`lavantagedun´egociant;labanqueassumetouslesrisques,puisquelle nameˆmepluslapossibilite´defaireunbe´n´ecesiledollarsappreciecontreleuro;eneet,danscecasle ´ ne´gociantiravendresesdollarsUSdirectementsurlemarch´edesdevises,etnonaupr`esdesabanqueselon letauxducontratpasse´avecelle.Pourcetteraison,ene´changedurisqueassum´e,labanquere´clameraune certainesommedargent,appele´elaprime,quedevraluiverserlen´egocianta`l´ecritureducontrat. 3. Options d’achat, options de vente : calls et puts. On appelleueornn(eaclle)pnachatndap´eeeurooitpoun contrat entre deux parties, l’acheteur et le vendeurducontrat,quiconf`ere`alacheteurledroitmaisnonlobligationdacheter,a`unecertainedate Tuprixdexercice)xe´`slaaavcn,eecuntaereinmatu(laoeluir´t´hae´ce`aete)ncairtceunel(xirpno,ekirts quantite´dunproduitde´termine´(le sous-jacent).La contrepartie (le vendeur, celui qui a´ecrtil’option) al’obligationprde´eocetenteuronsiled´arsncaited`rlatadeletsefnE.rise´tiopldenimaenonondurais caract`eredissyme´triquedececontrat(optionopelrute´detneur,obligationlrveneedrue)dtrusiuqle´iepou auxuctuationsal´eatoiresduprixdusous-jacent,risquequiseraassume´parlevendeur,celui-cire´clamera uneprimeraseuiqeel´egr´octnar,tesemtnud´etablislorsdeli.e.tedala`atrineoenuruoPte´d0.=nonptio doitlacheterenversantlaprimeoubienlarachetera`quelquunquiveutsend´ebarrasser.Laprimeetle prixderachatsontd´etermin´esparne´gociationssurlesmarche´sdede´rive´s. Onnoteraquelesous-jacentduneoption,commedailleursceluidunforwardouplusge´n´eralementde toutd´erive´,peuteˆtreuntauxdechangeouunedevise,maisaussiuneaction,unindice,unequantit´ede mati`erepremie`re,dem´etauxpr´ecieux,unedenr´eeagricole,unindiceboursier,uneressource´energ´etiqueetc. ouencoreunproduitde´rivedeceux-ci. ´ Lefait,pourlede´tenteurdeloption,deproc´eder`alatransaction(pouruncall,lachatdusous-jacent) a`ladateTlnolesesrmteesrantcoduitgnctnolpone(t)qutionchetilaase´eppaelll’exercice. ` Acoˆt´edesoptionsdachat,onavuquilexistelesoptions de vente (puts),`fnociuq´eteeurdt`alerenrtnue le droit – mais non l’obligation – devendreenunauqtermin´ect´iete´,ed´eaejntescxtenrse;dleisoeutop-osi le´metteurdeloption(levendeur)alobligationdacheterlaquantit´edesous-jacentpre´vue.Ainsi,quatre casdegurepeuventsepr´esenter: – achat d’une option d’achat, – vente d’une option d’achat, – achat d’une option de vente, – vente d’une option de vente. Enn,certainesoptionsconf`erent`aleurde´tenteurledroitdexercer`animportequelledatedurantla p´eriodedematurite´:onparlealorsnam´ptiodoicerneaime(acaritpon)noi. . .sans prejuger de la position ´ g´eographiqueo`useectuentlestransactions. 4. Encore un peu de terminologie. Dunemanie`reg´ene´rale,lorsquelonavendua`termeunecertainequantite´dunactif(option,action, taux,or,pe´trole. . .uneetd´ntieuetqonl,)idnoposition courte (short position)sur cet actif. Dans le cas d’un achat, on parle deposition longue (long position). 2
Lavensriqu`eeualntrihsacede´titnauqaitedr´tcaierisqusanoe´`eitnoa`nuduenpon´eeestledatedon d´etenteursicelui-ciexer¸caitimm´ediatementloption,eneˆut-illapossibilite´,puisfermaitsapositionsurle sous-jacentauprixdumarch´e.Parexemplesilesous-jacentsen´egociea`90C, un call 85Ca une valeur intrins`equede5Cnt)clemetueleventn´(¸racenextee,85llcaduurteente´delnoitpoette.eEnCte`echaleitra sous-jacenta`85C. S’il le revendait ensuite 90C´5uslrarem´echla,iaiurantemelnetnsiacC. se Ladi´erenceentreleprixduneoptiona`unedatedonne´eetsavaleurintrinse`queestappel´eevaleur temporelleoulav`ense.qureeurixtSi un call 85Csne´egocie8Cs-jaavnescouu`a90centCasav,nirtelruueeqs`in est de 5Cet sa valeur temporelle est de 3Csruorpeledxipoleual´erslegaujtosamoemedecdsuevx;l.itno Lorsquuneoptionaunevaleurtemporellenulle,sonprixeste´gal`asavaleurintrinse`que.Danscecason dit qu’elle cotea`ripae.t´ Uneoptionquiposs`ede`aunecertainedateunevaleurintrins`equepositiveestditedans la monnaie (in-the-money)oudans le coursvedsuelatnirsnirqu`eele,esleittdeauco.Siaapllnerieetnarhors de la monnaie (out-of-the-money)ouhors du coursla valeur du sous-jacent est identique au prix d’exercice, on dit. Lorsque que l’option esta`alyeno)-tat-mhennmoe(ai. Techniquement, une telle option est hors la monnaie puisque savaleurintrinse`queestnulle.Maissavaleurtemporelleestmaximumetcetypedoptionsfaitlobjetdun trade intensif, c’est pourquoi on leur donne un nom particulier. 5. Le juste prix. Une option est unhheerivitd´udorpiiencets´dlleeuqeessnunon,meerusdnienteecnanoreitcan,fi ´ sous-jacent.Lavaleurduneoptionvarietoutaulongdesadur´eedevie,enfonctiondesuctuationsal´eatoires du prix du sous-jacent. Leprixded´epartdeloptionestlaprimevers´eeparlacheteur`aladateou`loptioneste´crite.Sonprix a`ladatedematurite´estlepay-offhrnopruoelroreeveluednuoberesrevedd´raomasqumepoitnol,edl contrat (voirultnesmed´lesile.)sabsulmosetteCurepgdreprolaelsonnexercepas;ilteneetruedlpoit montant de la prime. Soit [0, TtametiruO.e´tonnap]lri´eedoderaSt-sajectna`aladetleprixdusout[0, T].eeld`moLe mathe´matiquedeceprixseraunas´lseusri:eaeotprocpour toutt,Stalleat´evaneabriutseineioer´de surlensembleΩdes´etatsdumonde(dumarch´e)i.e.de toutes les trajectoires de prix envisageables danslap´eriodeder´efe´rence.LensembleΩestmunidunestructuredespaceprobabilise´surlaquellenous reviendronsplustard.Ilnoussutpourlinstantdinterpre´terlaprobabilite´enquestioncommeunemesure deschancespourque,`adi´erentsinstantst, le prix du sous-jacent atteigne telle ou telle plage de valeurs. Nousverronsdailleursquecetteprobabilit´edumondere´elnintervientpasdansl´evaluation(pricing)des options,pourlaquelleelleestremplac´eeparuneprobabilit´editerisque-neutre.
(a)
(b) Pay-off : (a) d’un call ; (b) d’un put ; (c) d’un forward
(c)
` Le processus du prix de l’option,ft=f(t, Stuitges),alrape´duqimanydeduprixdusous-jaectn.lAa dateT, ce prixfTe´estlagayapu:o-secenute´epuqdiitnoofcnspotprixndduSTdu sous-jacent. On doitalorsr´epondreauxdeuxquestionssuivantes:
3
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