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PSI Jeudi Septembre MATHEMATIQUES

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PSI Jeudi 17 Septembre 2009 MATHEMATIQUES Feuille d'Exercices Déterminant I. Applications directes du cours Exercice 1 : Calculer les déterminants d'ordre n suivants : a) det ( (1 + aiaj)1≤i,j≤n ) , n ? IN?, (a1, · · · , an) ? IKn b) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 · · · n ?1 0 3 · · · n ?1 ?2 0 · · · n ... ... ... . . . ... ?1 ?2 ?3 · · · 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c) ? ? ? ? ? ? 2a a + b a + c a + b 2b b + c a + c b + c 2c ? ? ? ? ? ? Exercice 2 : Calculer les déterminants suivants, d'ordre n, en formant une relation de récurrence : a) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 · · · 0 0 a1 0 0 · · · 0 a2 0 ... ... · · · ... ... ... an 0 · · · 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? b) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 1 · · · · · · 1 1 0 1 · · · 1 ... 1 0 1 · · · 1 · · · · · · 1 0 ? ? ?

  • feuille d'exercices déterminant

  • ?m ?

  • relation de récurrence

  • calculer mv

  • matrice de vandermonde

  • déterminant de la matrice


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PSI MATHEMATIQUES
Jeudi 17 Septembre 2009
Feuille d’Exercices DÉterminant
I. Applications directes du cours Exercice1: Calculer les dÉterminants d’ordrensuivants : n a)det(1 +aiaj), nIN ,(a1,∙ ∙ ∙, an)IK 1i,jn 1 2 3∙ ∙ ∙n 31 0∙ ∙ ∙n 12 0∙ ∙ ∙n b) . . . . ...   123∙ ∙ ∙0 2a a+b a+c c)a+b2b b+c   a+c b+c2c Exercice 2: Calculer les dÉterminants suivants, d’ordren, en formant une relation de rÉcurrence : 0 0∙ ∙ ∙0 0a1 0 0∙ ∙ ∙0a20 a) . .∙ ∙ ∙. .. an0∙ ∙ ∙00 0 0 1∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙1 1 01∙ ∙ ∙1 b) . .1 0 1∙ ∙ ∙ 1∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙1 0 Exercice 3:(CCP PSI 07) Soit   0a b0 a0 0b   A=   b0 0a 0b a0 Calculer le dÉterminant et le rang deAsia= 1, b= 2. Calculer le dÉterminant deAdans le cas gÉnÉral. Discuter la valeur du rang selon les valeurs deaetb. Dans le cas oÙAest inversible, calculer son inverse. Exercice 4:SoitM∈ Mn(Z). Donner une C.N.S pour queMsoit inversible et que 1 M∈ Mn(Z).
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