A L'UNIVERSITE D'ORLEANS

Jean-Gabriel Trotignon

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
THESE PRESENTEE A L'UNIVERSITE D'ORLEANS POUR OBTENIR LE GRADE DE DOCTEUR DE L'UNIVERSITE D'ORLEANS Discipline : Mathematiques Appliquees PAR PROT Olivier Methode de regularisation entropique et application au calcul de la fonction de distribution des ondes Soutenue le 1 Juillet 2005 MEMBRES DU JURY : -Jean-Gabriel Trotignon Directeur de These / Charge de recherche, LPCE/CNRS -Maıtine Bergounioux Co-directrice de These / Professeur, Universite d'Orleans -Dominikus Noll Rapporteur / Professeur, Universite de Toulouse -Ondrˇej Santolık Rapporteur / Associated professor, Universite de Prague -Franc¸ois Lefeuvre President / Directeur de recherche, LPCE/CNRS -Aline Bonami Professeur, Universite d'Orleans -Romain Abraham Professeur, Universite d'Orleans (Invite)

• methodes de regularisation


• groupe de travail des thesards


• methodes d'analyses des ondes electromagnetiques


• lpce


• expression du champ electrique


• thesards du lpce et du mapmo


• docteur de l'universite d'orleans discipline

Sujets

• Morillon
• Grellier
• Langer
• Abraham

Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
• Publié le: 01 juillet 2005
• Nombre de lectures: 176
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 6 Mo

Extrait

`THESE
´PRESENTEE
` ´ ´A L’UNIVERSITE D’ORLEANS
POUROBTENIRLEGRADEDE
´ ´DOCTEUR DE L’UNIVERSITE D’ORLEANS
Discipline : Math´ematiques Appliqu´ees
PAR
PROT Olivier
M´ethode de r´egularisation
entropique et application au calcul
de la fonction de distribution des
ondes
Soutenue le 1 Juillet 2005
MEMBRES DU JURY :
-Jean-Gabriel Trotignon Directeur de Th`ese / Charg´e de recherche, LPCE/CNRS
-Ma¨ıtine Bergounioux Co-directrice de Th`ese / Professeur, Universit´e d’Orl´eans
-Dominikus Noll Rapporteur / Professeur, Universit´e de Toulouse
-Ondˇrej Santol´ık Rapporteur / Associated professor, Universit´e de Prague
-Franc¸ois Lefeuvre Pr´esident / Directeur de recherche, LPCE/CNRS
-Aline Bonami Professeur, Universit´e d’Orl´eans
-Romain Abraham Professeur, Universit´e d’Orl´eans (Invit´e)iiiii
Remerciements
J’ai commenc´e `a travailler surles m´ethodes d’analyses des ondes´electromagn´etiques avec
Jean-Gabriel Trotignon lors de mon stage de Maˆıtrise au LPCE, durant l’´et´e 2001. Je lui
suis tr`es reconnaissant de m’avoir propos´e un sujet aussi int´eressant, ce qui m’a conduit
ensuite `a m’engager dans ce travail de th`ese. Jean-Gabriel a ´eveill´e mon int´erˆet pour la
physiquedesplasmascommemoyend’investigationdumilieuinterplan´etaire.Ilm’abeaucoup
aid´e `a prendre du recul par rapport a` mon approche parfois “trop th´eorique” et ´eloign´ee
du probl`eme physique pos´e ou du dispositif exp´erimental. Je remercie tr`es chaleureusement
Ma¨ıtineBergouniouxquim’adirig´esurlapartiemath´ematiquedecetravail. Sadisponibilit´e,
sa bonne humeur et son savoir-faire m’ont permis de travailler dans des conditions id´eales.
Je remercie vivement Ondˇrej Santol´ık et le professeur Dominikus Noll d’avoir accept´e
d’ˆetre mes rapporteurs. Ondˇrej a suivi mes travaux depuis mon stage de DEA, ou` il m’a
aid´e a comprendre le mod`ele de fonction de distribution des ondes et les difficult´es de
l’utilisation d’un tel mod`ele pour l’interpr´etation d’exp´eriences spatiales. C’est ´egalement Ondˇrej
qui m’a propos´e de tester mes m´ethodes sur les donn´ees de l’exp´erience FREJA. J’ai
rencontr´e Dominikus Noll lors de la conf´erence Franco-Allemande-Espagnole d’optimisation `a
Avignon (2004), ses conseils et ses remarques sur mon travail m’ont beaucoup apport´e pour
l’ach`evement de ce m´emoire.
Un grand merci `a Sandrine Grellier et Aline Bonami pour m’avoir “dirig´e” apr`es ma
maˆıtrise vers la recherche. Je remercie Aline d’avoir accept´e de faire partie de mon jury et de
l’int´erˆet qu’elle porte `a mes travaux.
JeremercielesmembresdeslaboratoiresLPCEetMAPMOpourleursaccueilchaleureux.
En particulier, je remercie Jean-Louis Pinc¸on et Franc¸ois Lefeuvre qui ont ´et´e des
interlocuteursprivil´egi´es tout aulongdeces trois ann´ees, Pierre-Louis Blelly ledirecteur duLPCE,et
Jean-Philippe Anker pour son ´ecoute. Merci aussi a` Philippe Jaming pour nous avoir appris
`aconcevoir notrepageweb, et poursesconseils. Jeremercie´egalement EricDecreux pourses
discussions vraiment tr`es instructives mais souvent bien trop cons´equentes. Merci ´egalement
`a Romain Abraham de s’ˆetre int´eress´e `a mon travail : j’esp`ere qu’il ne m’en veut pas trop
d’avoir “effac´e” le nez de son petit bonhomme radiographi´e. Merci aux secr´etaires du LPCE
et duMAPMO : Jacquelline Nicoullaud, Isabelle Langer, AuroreLecoustre, Laurence
Chambolle, Laurent Royer et Corinne Revil, Anne Liger, Christelle Morillon, Virginie Foucault et
Anne-Sophie Ja¨ıs.
JeremercieHerv´eDef´eraudy pourm’avoir permisdetravailler surlesdonn´eesdusatellite
FREJA et m’avoir fait ses remarques sur mon analyse de ces donn´ees.
Je tiens a` remercier les th´esards du LPCE et du MAPMO avec qui ces trois ann´ees de
th`ese ont ´et´e tr`es agr´eables. En particulier je tiens a` remercier Hermine Bierm´e et Bruno
Demange avec qui j’ai organis´e le groupe de travail des th´esards pendant ces deux derni`eres
ann´ees. Avec Bruno (et sous les directives d’Aurore) nous avons tent´e de transformer le
groupe de travail des th´esards en club de sport, mais cela n’a pas eu beaucoup de succ`es!
AvecHerminenousavonsr´eguli`erement´echang´enosimpressionsetnospointsdevuessurnos
travaux et sur le d´eroulement de la th`ese, ce qui m’a bien aid´e. Merci `a Dominique Vieugu´e
qui avait toujours un probl`eme ou une anecdote math´ematique int´eressante ou amusante `a
nous soumettre (surtout lorsque nous ´etions tous d´ebord´es!).iv
Enfin, un grand merci aux membres de ma famille et a mes proches qui m’ont encourag´e
pendant ces trois ann´ees. En particulier je tiens `a remercier Aurore pour sa compr´ehension
et son soutien constant.Table des mati`eres
1 Introduction 1
I Mod`ele physique et Approche th´eorique 7
2 Mod`ele 9
2.1 Description de l’environnement Terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 La FDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 D´efinitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 L’´equation de propagation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
22.2.3 la FDO dans L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Les noyaux d’int´egration du vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Une nouvelle base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Expression du champ ´electrique E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.3 Expression du champ magn´etique H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.4 Le vecteur champ ´electrique g´en´eralis´e ε . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 M´ethodes de R´egularisation 19
3.1 Probl`eme inverse mal pos´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 M´ethodes de R´egularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1 M´ethode de Tikhonov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2 Exemples num´eriques pour le calcul d’une d´eriv´ee . . . . . . . . . . . 25
3.3 R´egularisation entropique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.1 L’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.2 Principe de la m´ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Formulation du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.1 Algorithme 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.2 Second mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.3 Algorithme 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 Dualit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5.1 Introduction et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5.2 Th´eor`eme de Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
v`vi TABLE DES MATIERES
3.5.3 Dual du maximum d’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5.4 Calcul du dual du probl`eme (P ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38μ
3.5.5 Dual du probl`eme de maximum d’entropie relax´e . . . . . . . . . . . . 39
4 G´en´eralisation de la m´ethode 41
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 R´egularisation du probl`eme inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.1 Stabilit´e de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Cas ou` φ est strictement convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.1 R´egularit´e de l’inverse γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Exemples dans le cas strictement convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4.1 Cas fortement convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4.2 Cas particuliers ou` φ est non local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5 Probl`emes avec contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.6 R´esolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.6.1 Lien avec la dualit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.6.2 Utilisation du th´eor`eme de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.6.3 Premi`eres applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.6.4 Utilisation du th´eor`eme de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
p4.6.5 La m´ethode de Tikhonov dans L : Conclusion . . . . . . . . . . . . . 62
∞ p4.6.6 Approximation deL par des normes L . . . . . . . . . . . . . . . . 64
II Applications et simulation Num´erique 65
5 Calc