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AUTOUR DE LA COHOMOLOGIE DE BOTT-CHERN
MICHEL SCHWEITZER
InstitutFourier,Universite´deGrenobleI 38402Saint-MartindH`eresCedex,France e-mail: schweitzer@fourier.ujf-grenoble.fr
Re´sume´.Lemm´reoibjoduetppreevoldee´sedth´eolletouveuneneuqigolomohoceire-n´´eigqu ralise`alafoiscellesdeDeRhametdeDolbeault,ainsiquelacohomologiedeDeligne,ceci danslecontext´ne´raldesvari´et´esanalytiquescomplexes.Lecasparticulierdelavari´et´e e ge dIwasawaestunexempletypiquedecequiseproduitdanslecasnonk¨ahlerien.Letextese terminepardesapplications´el´ementairesa`lathe´oriedesd´eformationsdeKodaira-Spenceret au calcul des classes de Chern.
Abstract.The goal of the memoir is to develop a new cohomology theory which encompasses De Rham and Dolbeault cohomology as well as Deligne cohomology, in the context of general complex analytic manifolds. The special case of the Iwasawa manifold is investigated as a typical exampleofwhatoccursinthenonKa¨hlercase.ElementaryapplicationstotheKodaira-Spencer deformation theory and to the calculation of Chern classes are given.
Motscl´es.e´,etth´´eeko¨raghilee,rviaernin,oecroghuoomeopleeiiehd,opHygrdeomohogolesdC DeRham,Dolbeault,Bott-Chern,Aeppli,cohomologiedeDeligne,vari´et´edIwasawa,d´eformation, theor`emedeKodaira-Spencer,cup-produit,bre´vectorielholomorphe,classesdeChern. ´ Key words.Cohogy,hmoloohocrepyK,ygolommaerhl¨a,HldfonioD,m-l,DryhaeRgeodeoth beault, Bott-Chern, Aeppli groups, Deligne cohomology, Iwasawa variety, deformation, Kodaira-Spencer theorem, cup-product, holomorphic fiber bundle, Chern classes.
MSC Classification.14F25, 32C25
soumisa`arXiv:math.AG/0709.3528,le21septembre2007. 1
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Autour de la cohomologie de Bott-Chern Tabledesmati`eres
Premie`repartie:GroupesdecohomologiedeBott-Cherncommeespacesde formes 1.De´nitiondesgroupesdeBott-Chern 1.a.Invariantscohomologiquesdunevari´ete´complexe 1.b.Casdunevari´et´ek¨ahleriennecompacte 1.c.Exempledanslecasnonk¨ahlerien 2.The´oriedeHodgedelacohomologiedeBott-Chern 2.a. Isomorphismes de Hodge classiques 2.b. Isomorphisme de Hodge pour la cohomologie de Bott-Chern 2.c. Cohomologie d’Aeppli 3.Applicationsa`lath´eoriedesd´eformations 3.a.Lethe´ore`medeKodairaetSpencer 3.b.D´eformationsdelavarie´te´dIwasawa
Deuxie`mepartie:CohomologiedeBott-Chernentie`re 4.Interpr´etationhypercohomologiquedelacohomologiedeBott-Chern 4.a.Lemmeder´esolubilit´elocale 4.b.Complexesassoci´esauxgroupesdeBott-Chern 4.c.Casou`p= 0 ouq= 0 4.d.Cons´equencesdelinterpre´tationhypercohomologique 4.e.CohomologiedeBott-Chernenti`ereetcohomologiedeDeligne ˇ 5. Explicitation en cohomologie de Cech ˇ 5.a. Hypercohomologie de Cech 5.b. Isomorphisme entre les hypercohomologies deL[1],S[1] etB5.c.Casou`pouqest nul 5.d. Bilan 6.Structuredalg`ebresurlesgroupesdecohomologiedeBott-Chern 6.a. Cup-produit 6.b.Traductionduproduitext´erieur 7.Ele´mentsdestructuredesgroupesdecohomologiedeBott-Chernenti`ere 7.a. Lien avec la cohomologie de Bott-Chern usuelle 7.b. Analogue de la suite exacte exponentielle 7.c. GroupesHCppB(XZ) et cohomologie de Deligne 7.d. Cohomologie de l’espace projectif 8.ClassesdeChernencohomologiedeBott-Chernenti`ere 8.a.ExpressiondelaclassedeCherndunbre´endroitesdanslesdi´erentes cohomologies 8.b.ClassesdeCherndesbr´esvectorielsetdesfaisceauxcoh´erents Re´f´erences
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