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`T H E S E
En vue de l’obtention du
´D OC T OR A T D E L ’ U N I V E R S I T E D E T OU L OU S E
De´livre´ par l’Institut National Polytechnique de Toulouse
Spe´cialite´ : Dynamique des f uides
Pre´sente´e et soutenue par Laia MORET-GABARRO
le 26 / 10 / 2009
A e r o a c o u s t i c i n v e s t i g a t i o n a n d a d j o i n t a n a l y s i s
o f s u b s o n i c c a v i t y f o w s
E t u d e a e´ r o a c o u s t i q u e e t a n a l y s e p a r l ’ e´ t a t a d j o i n t
´ ´d ’ u n e c o u l e m e n t s u b s o n i q u e d e c a v i t e
JURY
Pr. Christophe Airiau Professeur, Universite´ de Toulouse III Directeur de the`se
Pr. Mejdi Azaiez Professeur, ENSCPB, Bordeaux Rapporteur
Pr. Alessandro Bottaro Professeur, Universita` di Genova Examinateur
Dr. Patricia Cathalifaud Maˆıtre de Confe´rence, Universite´ de Toulouse III Co-directrice de the`se
Dr. Hugues Deniau Chercheur, CERFACS, Toulouse Examinateur
Pr. Azzedine Kourta Professeur, Polytech Orle´ans Examinateur
Dr. Alo¨ıs Sengissen Docteur, AIRBUS, Toulouse Invite´
Dr. Denis Sipp Maˆıtre de Recherche (HDR), ONERA, Meudon Rapporteur
´Ecole doctorale: Me´canique, Energe´tique, Ge´nie Civil, Proce´de´s (MEGeP)
Unite´ de recherche: Institut de Me´canique des Fluides de Toulouse (IMFT)blank pageC o n t e n t s
A c k n o w l e d g e m e n t s x i
N o m e n c l a t u r e x i i i
G e n e r a l i n t r o d u c t i o n 1
I D I R E C T S I MU L A T I O N S 3
1 D i r e c t N u m e r i c a l S i m u l a t i o n i n c o m p r e s s i b l e f o w s 5
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1 Computational Aeroacoustics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Governing equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Spatial and temporal discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Spatial discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Temporal discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Non-ref ecting boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Characteristic boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 Asymptotic boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.3 Buffer zone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Wall boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.1 Gloerfelt’s wall boundary condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.2 Wall boundary condition with ghost cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
iii1.6 Multi-block treatment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.1 Dynamic block derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.2 Dynamic block derivation with ghost cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 V a l i d a t i o n t e s t c a s e s 3 3
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1 Aeroacoustic test cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.1 Propagation of waves in a uniform f ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.2 Propagation of waves in a uniform diagonal f ow . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.3 Single wall ref ection of an acoustic wave in a uniform f ow . . . . . . . . . . . 43
2.1.4 Single wall ref ection of an acoustic wave in a boundary layer f ow . . . . . . . . 46
2.1.5 Multiple wall ref ection of an acoustic wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Viscous test cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.1 Blasius boundary layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.2 Poiseuille channel f ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3 Multi-block test case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.1 Small review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3.2 Backward-facing-step with an incoming boundary layer . . . . . . . . . . . . . 62
2.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3 C a v i t y f o w s i m u l a t i o n a n a l y s i s 6 9
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1 The physics of cavity f ows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.1 Classif cation of cavity f ows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.2 Shear layer mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1.3 Wake mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1.4 Three-dimensional effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1.5 Aeroacoustics of cavity f ows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
iv3.2 Validation test case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2.1 Conf guration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3 Deep cavities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.1 Evolution of the oscillation modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3.2 Effect of the initial condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3.3 Overall Sound Pressure Levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3.4 Effect of Mach number and boundary layer thickness . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4 Shallow cavities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4.1 Conf guration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4.2 Effect of the initial condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4.3 Overall Sound Pressure Levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.4.4 Effect of Mach number and boundary layer thickness . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Review of cavity f ow studies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
I I A D J O I N T S I MU L A T I O N S 1 0 3
4 A d j o i n t m e t h o d s 1 0 5
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.1 Overview of the adjoint methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.1.1 Formulation of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.1.2 Sensitivity analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.1.3 Receptivity analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.1.4 Optimal perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.1.5 Optimal control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.1.6 Other optimization problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2 Application to the compressible Navier-Stokes equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2.1 Navier-Stokes equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
v4.2.2 Adjoint Navier-Stokes equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.3 Numerical implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3.1 Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.3.2 Non-ref ecting boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3.3 Wall boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5 V a l i d a t i o n o f t h e a d j o i n t a l g o r i t h m 1 2 5
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.1 Validation method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2 Study of the discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2.1 Equidistant grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.2.2 Non-equidistant grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3 Results for x-momentum forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.3.1 Identical forcing at the direct and adjoint equations . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.3.2 Forcing direct and adjoint equations at different positions . . . . . . . . . . . . . 139
5.4 Results for density forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.4.1 Identical forcing at the direct and adjoint equations . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.4.2 Forcing direct and adjoint equations at different positions . . . . . . . . . . . . . 145
5.4.3 Isothermal wall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.5 Investigation of the boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.5.1 Buffer zone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.5.2 Outf ow boundary conditions of Poinsot and Lele . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.5.3 Wall boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.6 Multi-block derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6 R e s u l t s o f s e n s i t i v i t y a n a l y s i s 1 5 5
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
vi6.1 Channel f ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.1.1 Interpretation of the adjoint variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.1.2 Forcing at different positions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.1.3 Effect of the wall boundary condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.1.4 Effect of the Mach number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.1.5 Effect of the Reynolds number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.1.6 Effect of the direct f ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.2 Cavity f ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.2.1 Objective and details of the simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.2.2 Forcing of adjoint x-momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.2.3 Forcing at different positions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.2.4 Forcing of adjoint density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.2.5 Frequencial response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.2.6 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
G e n e r a l c o n c l u s i o n s 1 8 9
B i b l i o g r a p h y 2 0 7
A p p e n d i x 2 1 1
A O p t i m a l c o n t r o l i n a c h a n n e l f o w 2 1 1
A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
A.2 From an open-loop to a closed-loop control problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
A.2.1 Open-loop control: the adjoint-based method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
A.2.2 Closed-loop control: the Riccati-based method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
A.3 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
viiA.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
B A d j o i n t o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s i n n o n - c o n s e r v a t i v e f o r m 2 1 7
B.1 Les e´quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
B.2 Calcul des e´quations adjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
B.2.1 De´f nition de la fonctionnelle et variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
B.2.2 Variations des e´quations d’e´tat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
B.2.3 Variations de la fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
B.3 Equations adjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
B.3.1 Equations comple`tes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
B.3.2 Equations simplif e´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
B.4 Les conditions sur les bords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
B.4.1 Les conditions terminales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
B.4.2 Les conditions sur les bords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
C A d j o i n t o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s i n c o n s e r v a t i v e f o r m 2 2 7
C.1 Les e´quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
C.2 Les e´quations adjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
C.2.1 La fonctionnelle a` diffe´rentier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
C.2.2 Adjoint des e´quations d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
C.2.3 Adjoint des termes visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
C.2.4 VariationδT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
C.2.5 Terme du a` l’e´quation de la quantite´ de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . 230
C.2.6 Terme de l’e´quation de l’e´nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
C.2.7 Les e´quations adjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
C.2.8 Les termes de bords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
C.3 Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
D A d j o i n t o f t h e E u l e r e q u a t i o n s 2 3 5
D.1 Les e´quations d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
viiiD.2 Les caracte´ristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
D.3 Les e´quations adjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
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