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G´en´ericit´edelaproprie´t´edeMorse-Smale
Romain Joly sousladirectiondeGenevie`veRaugel April 7, 2006
1 Introduction Dansceme´moire,nousnousinte´ressonsauxprobl`emesdetransversalite´delintersection desvari´ete´sstablesetinstablesdepointsde´quilibreshyperboliquesdesyste`mesdy-namiqueslocauxdetypegradient,engendr´espardese´quationsd´evolution.Onrappelle quunsyst`emedynamiquecontinulocalestdetypegradientsiladmetunefonctionnelle de Lyapounov (dans ce cas, s’il est non-vide, l’ensembleω-limite de tout point est contenu danslensembledespointsd´equilibre).Unsyste`medynamiquedetypegradientestdit deMorse-Smalesilespointsde´quilibresontennombrenietsonttoushyperboliques, etsilesvari´et´esstablesetinstablesdedeuxpointsd´equilibresintersectenttoujours transversalement(cest-`a-direquentoutpointdintersection,lasommedesespacestan-gentsdesdeuxvarie´t´eseste´gale`alespaceentier).Enparticulier,siVest un champ de vecteursgradientssurunevarie´t´ecompacteMde dimension finien, on dit queVest unchampdevecteursgradientsdeMorse-Smalesileotd´eniparcechampdevecteurs estunsyst`emedynamiquedeMorse-Smaledetypegradient.Lint´erˆetdele´tudedeces propri´t´esdetransversalite´asonoriginedansle´tudedelastabilit´edesotsde´nispar e deschampsdevecteurssurdesvarie´t´escompactesetremonteauxthe´or`emesdestabilit´e dusa`PalisetSmaledanslesann´ees1970-1975.Eneet,lesth´eor`emesdestabilit´ede Palis et Smale disent qu’un champ de vecteurs gradientsV0orpa´irpe´teedile´vreqiu Morse-Smaleeststructurellementstable,cest-`a-direquetoutchampdevecteursgradi-entsVassez voisin deV0toapuoclealsetntuqeumievongti´qesrtcueedevahpmV0(lire [13]).Outresoninte´reˆtthe´orique,lastabilit´eadesapplicationspratiques:enanal-ysenumerique,lestrajectoirescalcul´eesnesontquuneapproximationdestrajectoires ´ re´elles.Lapropri´et´edestabilit´enouspermetdarmerquelecalculdonneunr´esultat qualitativement correct. Leth´eor`emedeKupka-Smale(voir[13])nousditquelensembledeschampsdevecteurs gradientsr´eguliersdeMorse-Smale,surunevari´et´ecompactededimensionnien, est un ensemblege´ne´riquedanslespacedeschampsdevecteursgradientsr´eguliers. Les´equationsauxde´riv´eespartiellesde´volutionfournissentdesexemplesdesyste`mes dynamiques (locaux) de dimension infinie. Il est donc naturel d’essayer de g´ ´ liser les enera the´ore`mesdestabilit´edePalisetSmaleainsiqueleth´eor`emedege´ne´ricite´deKupka-Smale.Cespropri´ete´snepassentpasparfaitement`aladimensioninnie.Parexemple,la
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stabilite´structurellenest,enge´ne´ral,conserve´equesurunensemblecompactmaximal Aet,creoiemm´censad(seriotcejartedneesbmelAstcejerio´edestraitcomposetsneaf borne´espourtouttempstRcecoifs,tmpacnsDa).)essdcaleseme`tsytapissidA coı¨ncideaveclattracteurglobalcompact,onpeutciterlag´en´eralisationsuivantedu the´ore`medePalis-Smale,duˆa`Oliva.Siunsyste`megradientdissipatifdedimension innieesttelquetoussespointsde´quilibresonthyperboliquesetquetouteslesvari´ete´s stablesetinstablesdecese´quilibressintersectenttransversalement,alorslesemi-ot restreinta`lattracteurcompacteststructurellementstable(voir[6]). Lage´n´eralisationduthe´ore`medeKupka-Smaleauxsyst`emesdynamiques(etaussiaux syst`emesdynamiqueslocaux)engendre´spardes´equationsauxd´eriv´eespartiellesestun proble`meencorelargementouvert.Unedicult´e,parmidautres,estlalatitudedans lechoixduparam`etredeg´ene´ricit´e.Peuder´esultatsdetransversalit´esontconnus,si cenestpourlesyst`emedynamiquelocaldetypegradientengendr´eparl´equationde r´eaction-diusion ut= Δu+f(x, u), pos´eesurunouvertborne´r´egulierΩdeRNavec, par exemple, la condition de Dirichlet homog`eneaubordu= 0 surrdboatdeoh´nt,uuoT.Ω([9]et[1]),`rmeremerauqbael d´emontr´eparD.Henryen1985,ditquelesvarie´t´esstablesetinstablesdedeuxpoints d´equilibrehyperboliquesquelconquessintersectenttoujourstransversalement,dansle cas de la dimensionNarvsiatdtselusnevtearit´ersaltpluneshlaM.1=emusreeur´cet,en endimensionsup´erieure(voir[15]pouruncontre-exemple)etnestremplac´equeparune propri´et´eg´eneriquedetransversalit´e. ´ Lere´sultatduˆa`Brunovsk´yetPol´acˇikquioccuperalamajeurepartiedecem´emoire ditquilexisteunensemblege´ne´riquedefonctionsf(x, u) telles que tous les points d´equilibredeut= Δu+f(x, uleabtisen-srueirav´te´tsseypthon)sleuqteseuqilobre stablessintersectenttransversalement(voir[3]).Ilestinte´ressantderemarquerquela de´pendanceenxnctionsourdesfoicirpe´t´gale´neannusplaiss:ore´eceestnf(u) qui ne d´ependentquedeu(voir [16] pour un contre-exemple). Toutefois, le choix defbaelavirptsanseourstoujspertr`eE.tnenitteenmoemcfest souventunedonn´eexedansunee´quation.Aussi,peut-onsinte´resser`acequicepasse quandonfaitvarierledomaineΩ(lire[10]et[19])cequiestplusre´alistedupointdevue delaphysique.Remarquonsnalementquelage´n´ericite´delaproprie´te´detransversalit´e danslecasdel´equationdesondesavecdissipationfaibleesttrait´eedans[4]. Danslapremi`erepartiedecem´emoire,nousrappelonsdesthe´ore`mesdetransversalit´e detypeSard-Smalequisontnotreoutilprincipaldanslad´emonstrationduthe´ore`mede Brunovsky´etPol´aˇcik.Ensuite,nousmontronslage´ne´ricit´eenf(x, uedtee´rp´ipaorel)d transversalite´pourle´quationdereaction-diusionci-dessus.Enn,nousde´montronsla ´ ge´n´ericit´edelapropri´ete´dhyperbolicit´eparrapportaudomaineΩ.
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2Th´eoremesdetransversalite´ ` 2.1 Rappels sur les espaces de Baire OnappelleespacedeBaireunespacetelquetouteintersectiond´enombrabledouverts densesestencoredense.Leth´eor`emedeBaireditquunespaceme´triquecompletestun espacedeBaire,maisilexistedesespacesdeBairequinepeuventˆetrerenduscomplets parunchangementdem´etriquee´quivalente.OnappelleGδenubaelmorbrsecinted´ention d’ouverts denses, lesGδpserednoa`tndilorcottupuourenpscad´eeeedepresquepar Baire(`arelieraupresquepartoutdesmesuresdansRn particulier, on note qu’une). En intersectiond´enombrabledeGδest encore unGδemnsne.Uqieuuotg´en´erbleestdi re´siduelsilcontientunGδte´iuqe´penUrpor.trtouepouvraiiestxdans unGδest dite g´ene´rique,onditaussiquelleestve´ri´eeg´ene´riquementenxou pour unxgenerique. ´ ´
2.2Unth´eor`emedeSardendimensioninnie SoientMetVexnnetesbliacoes.selpe´sbaravxraduee´ds´iteachdeBanrenti´e
De´nition2.2.1Soitf:M−→V, une fonction de classeC1 point. UnxMest ditpointr´egulierdefsiDf(x) :Tx(M)−→Tf(x)(V)stapeeteepoipel´sesttcviruejtn singuliersinon.Limagedunpointsingulierestunevaleursinguli`ere(oucritique),sinon cestunevaleurr´eguli`ere(enparticulier,yVseisere`iulegr´urlevanetuyn’est pas dans l’image). Onrappelleleth´eor`emedeSard: Th´eore`me2.2.1SiUest un ouvert deRpetf:U−→Rqest de classeCsavecs > max(pq,0), alors l’ensemble des valeurs critiques defdansRqest de mesure nulle. D´emonstration: tration d´On trouvera l dans [18].a emons
Lid´eeestdedonneruneversiondeceth´eore`meendimensioninniepourlesapplications deFredholm.Eneet,departlame´thodedeLyapounov-Schmidt,lesope´rateursde Fredholmsontlesbonsope´rateurssionveutfairepasserdesproprie´t´esdedimensionnie `aladimensioninnie. D´enition2.2.2SoientXetYuedpsexsecaaBednie´oilnoc-niaer.Unenachicatappl tinueLdeXdansYre´ponutFedruetaesihdersmloI m(L),seertfeem´dim(Ker L) etcodim(I m L)osSonindicntnies.:rapine´dtseeI nd(L) =dim(Ker L)codim(I m L). Propri´ete´2.2.1sop´Letdelensembledespoe´aretrusaterrseuFrdehoedofmlnemronutrevu line´airescontinusetdepluslindiceestunefonctioncontinue.Enn,lasommedun ope´rateurdeFredholmetdunope´rateurcompactestunop´erateurdeFredholmdemˆeme indice.
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