INSTITUT DE RECHERCHE MATHEMATIQUE AVANCEE Universite Louis Pasteur et CNRS UMR

Louis Pasteur

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
INSTITUT DE RECHERCHE MATHEMATIQUE AVANCEE Universite Louis Pasteur et CNRS (UMR 7501) 7, rue Rene Descartes 67084 Strasbourg Cedex Cohomologie de GL2(Z[i, 1 2]) a coefficients dans F2 par Nicolas Weiss Classification AMS : 11F75, 20J06, 55T10, 55N25 Mots cles : Conjecture de Lichtenbaum et Quillen, Reseaux gaussiens, Sous-groupe d'Iwahori, Cohomologie equivariante, Cohomologie des groupes lineaires, Cohomologie des groupes arithmetiques

• cohomologie des groupes arithmetiques


• h?


• ?0 de psl2


• retraction de ln sur w1n


• calcul de h1


• description de res ?


• quotient ?0


• calculs explicites de retractions


• representation graphique locale de z


• cohomologie de bpsl2

Sujets

• Lannes
• Pasteur

Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
• Nombre de lectures: 63
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

INSTITUT DE RECHERCHE MATHEMATIQUE AVANCEE
Universite Louis Pasteur et CNRS (UMR 7501)
7, rue Rene Descartes
67084 Strasbourg Cedex
1Cohomologie de GL (Z[i, ])2 2
a coecients dans F2
par
Nicolas Weiss
Classi cation AMS : 11F75, 20J06, 55T10, 55N25
Mots cles : Conjecture de Lichtenbaum et Quillen, Reseaux gaussiens,
Sous-groupe d’Iwahori, Cohomologie equivariante, Cohomologie des groupes
lineaires, Cohomologie des groupes arithmetiquesRemerciements
Mesremerciementss’adressentenpremierlieuaHans-WernerHenn,sous
la direction duquel j’ai pu realiser le present travail. Hans-Werner n’a pasete
uniquement mon directeur de these : c’est aussi lui qui m’a fait decouvrir la
topologie algebrique en Magistere et la cohomologie des groupes en DEA. Il
a su me donner goutˆ a ces disciplines et m’epauler dans leur apprentissage
1et la quˆete de H (BGL (Z[i, ]);F ).2 22
JesuisreconnaissantenversJeanLannes,Jean-LouisLoday,GuidoMislin
et Philippe Nuss pour le temps precieux qu’ils ont consacre a la lecture de
mon travail.
Plus generalement, je souhaite remercier tous ceux qui m’ont soutenu
de pres ou de loin, consciemment ou a leur insu : ils sont doctorants ou
anciens doctorants de l’ULP (un merci particulier a mes collegues de bureau
successifs), mathematiciens, musiciens, famille ou amis.
En de nitive, je dedie ces quelques pages de ma vie a celle avec laquelle
j’ecrirai toutes les autres.Table des matieres
Introduction i
11 Motivation du calcul de H (BGL (Z[i, ]);F ) . . . . . . . . . i2 22
2 Enonce du resultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
3 Methode de resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
3.1 Reduction du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
3.2 Le bon espace pour calculer H (BPSL (Z[i]);F ) . . . . iii2 2
3.3 Cohomologie de BPSL (Z[i]) . . . . . . . . . . . . . . . iii2
3.4 Cohomologie du sous-groupe d’Iwahori de PSL (Z[i]) . iii2
1 13.5 Cohomologies de B(P)SL (Z[i, ]) et BGL (Z[i, ]) . . iv2 22 2
∗1 LebonespaceZ pourcalculerH (BPSL (Z[i]);F )-Reseaux 12 2
1.1 Reseaux et formes hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Les espacesH etL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1n n
1.1.2 Vecteurs minimaux d’un reseau L . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 L’espaceZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4n
1.2 Retraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
11.2.1 Retraction deL surL . . . . . . . . . . . . . . . . . 5n n
1 11.2.2 Retraction deL surW . . . . . . . . . . . . . . . . . 6n n
11.2.3 Retraction deL surW . . . . . . . . . . . . . . . . . 6n n
1.2.4 Retraction deH surZ . . . . . . . . . . . . . . . . . 7n n
1.3 Determination de GL (Z[i])\Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.3.1 Caracterisation des reseaux bien arrondis
et inventaire de leurs vecteurs minimaux . . . . . . . . 7
1.3.2 Reseaux bien arrondis a rotation pres . . . . . . . . . . 10
1.4 Calculs explicites de retractions . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Calcul explicite du retracte d’un reseau . . . . . . . . . 13
1.4.2 Retracte du sous-reseau L . . . . . . . . . . . . . . . . 16I
1.4.3 Retracte du sous-reseau L . . . . . . . . . . . . . . . 18II
1.4.4 Retracte du sous-reseau L . . . . . . . . . . . . . . . 19III2 Cohomologie de (P)SL (Z[i]) et (P)GL (Z[i]) 232 2
2.1 Principe du calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Analyse deZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Domaine fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Reconstruction de l’espaceZ . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.3 Structure cellulaire surZ . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.4 Sous-groupes d’isotropie pour l’action de . . . . . . . 29
2.2.5 Representation graphique locale deZ . . . . . . . . . . 40
2.3 Analyse de la suite spectrale E . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Cohomologie du sous-groupe d’Iwahori de PSL (Z[i]) 490 2
3.1 Le sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
3.2 Cohomologie de B - strategie . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
3.3 Reseaux et calcul de H (Z;F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5120
13.4 Reduction au calcul de H (B ;F ) . . . . . . . . . . . . . . . 530 2
3.4.1 Quotient \Z et sous-groupes d’isotropie . . . . . . . 530
03.4.2 La suite spectrale E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1 3.5 Calcul de H (B ;F ) et H (B ;F ) . . . . . . . . . . . . . . 600 2 0 2
3.5.1 Actions cellulaires et sans inversion de groupes sur les
CW-complexes simplement connexes . . . . . . . . . . 60
3.5.2 Presentation de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
13.5.3 Calcul de H (B ;F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700 2
3.5.4 Cohomologie de B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710
14 Cohomologies a coe cients dans F de BPSL (Z[i, ]),2 2 2
1 1BSL (Z[i, ]) et BGL (Z[i, ]) 732 22 2
14.1 Cohomologie de BPSL (Z[i, ]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 732 2
4.1.1 Situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.2 Etude de (i,j) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
14.1.3 Cohomologie de BPSL (Z[i, ]) . . . . . . . . . . . . . 842 2
14.2 Cohomologie de BSL (Z[i, ]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852 2
14.3 Cohoie de BGL (Z[i, ]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872 2
4.3.1 Restriction de H (BGL (F );F ) vers H (BD (F );F ) . 882 5 2 2 5 2
4.3.2 Analyse de l’homomorphisme . . . . . . . . . . . . 89D
4.3.3 Description de Res . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
,
4.3.4 Description explicite de E . . . . . . . . . . . . . . . 932
14.4 Cohomologie de BGL (Z[i, ]) - Resultats . . . . . . . . . . . . 942 2
Appendice 97
Bibliographie 101Notations
Groupes
PSL (Z[i]), SL (Z[i]), PGL (Z[i]) ou GL (Z[i])2 2 2 2
Sous-groupe d’Iwahori de p.490
C Groupe cyclique d’ordre nn
Se symetrique d’ordre nn
A Groupe alterne d’ordre nn
Qe des quaternions d’ordre n4n
D Groupe dihedral d’ordre n2n
Reseaux
m(L) Minimum du reseau L p.4
M(L) Ensemble des vecteurs minimaux du reseau L p.4
hM(L)i Espace vectoriel complexe engendre par M(L) p.4
D(L) Ensemble des directions de vecteurs minimaux de L p.4
c Constante associee a un vecteur v d’un reseau L p.13v
nStd , Std Reseau standard de dimension nZ[i] p.2n
L ,L Espace des reseaux de dimension n (resp. 2) p.2, p.7n
1 1L ,L des reseaux deion n (resp. 2) p.4, p.7n
et de minimum 1
W ,W Reseaux bien arrondis de dimension n (resp. 2) p.5, p.7n
1 1W ,W R bien arrondis deion n (resp. 2) p.5, p.7n
et de minimum 1
0L Espace des paires de reseaux (L ,L ) de dimension 2 p.511 2
1telles que L L L2 1 21+i
0 0 1W Ensemble des paires (L ,L )∈L telles que L ∈W p.511 2 1
L , L , L Sous-reseaux d’un reseau L p.12I II III
0tels que (L,L ), (L,L ), (L,L )∈LI II III
Espaces particuliers
nH Formes hermitiennes positives de nies sur C p.1n
1 1Y {M∈ GL (C)|M (Std )∈W} p.5n n n n
Z QuotientY /U(n) p.5n n
D,D Domaines fondamentaux dansZ p.10, p.26SL
pour l’action de PGL (Z[i]) (resp. PSL (Z[i]))2 2Applications
1 1 :L →W Retraction par deformation deL surW p.6n nn n
1 :D→W /U(2), a7→ classe du reseau engendre par les vecteurs p.11a
a1 pet
20 1| a|
1
1 ap :D→ GL (C), a7→ p.252 20 1| a|
:D→Z, a7→ classe de (a) p.25
Sous-groupes d’isotropie pour l’action de sur Z
, h∈Z Sous-groupe d’isotropie de h p.29h
, x∈Dupe d’isotropie de (x)∈Z p.29x
, cellule deD Sous-groupe d’isotropie de la cellule () deZ p.29
1Sous-groupes d’isotropie pour l’action de U(2) surW
1U , L∈W Sous-groupe d’isotropie de L p.29L
1U , x∈Dupe d’isotropie de ∈W p.29x x
Sous-groupes d’isotropie pour l’action de surZ0
( ) ,XZ Sous-groupe d’isotropie de X p.550 X
Suites spectrales
E Suite spectrale qui converge vers H (B ; F ) p.232
0 E Suite spectrale qui converge vers H (B ;F ) p.550 2Introduction
11MotivationducalculdeH (BGL (Z[i, ]);F )2 22
Lepointdedepartdecettetheseestuneversioninstabledelaconjecture
deLichtenbaumetQuillenquiditquelacohomologiemodulo2duclassi ant
de certains groupes lineaires serait detectee par la cohomologie dut
du sous-groupe des matrices diagonales de ces groupes lineaires ([DF86]).
1Nous nous interesserons au cas des groupes lineaires de nis sur Z[ ].
2
Dans ce cas, la conjecture, evidente pour n = 1, a ete demontree par
Mitchell pour n = 2 et par Henn pour n = 3 ([Mit92], [Hen99]).
Dwyeramontrequelaconjecturen’estpasvraiepourn = 32([Dwy98]).
Henn et Lannes ont ameliore ce resultat en montrant qu’elle est dej a fausse
pour n = 14 ([HL]). De plus, le defaut de detection par la cohomologie des
matrices diagonales augmente avec n ([Hen96]).
Des travaux de Voevodsky sur la conjecture de Milnor impliquent que la
conjecture est vraie dans le cas stable.
Il reste donc a etudier la validite de la conjecture pour les valeurs de n
comprises entre 4 et 13. En fait, si on arrivait a trouver un contre-exemple a
la conjecture dans le cas n = 4, on aurait termine.
Onpeutmontrerquesilaconjectureestvraiepourn = 4,alorsnecessai-
rement, il existe un certain carre cartesien en cohomologie a coe cients
dansF :2
i1BGL (Z[i, ])ˆ → BGL (C)ˆ2 22 2 2
↓ ↓ (Id,c) (1)

B(GL (F )GL (F ))ˆ→ B(GL (C)GL (C))ˆ2 5 2 5 2 22 2
ou (B )ˆ designe le complete en 2 du classi ant du groupe , et la cohomo-2
1logieacoe cientsdans F deBGL (Z[i, ])doitˆet