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INSTITUT DE RECHERCHE MATHEMATIQUE AVANCEE
Universite Louis Pasteur et CNRS (UMR 7501)
7, rue Rene Descartes
67084 Strasbourg Cedex
1Cohomologie de GL (Z[i, ])2 2
a coecients dans F2
par
Nicolas Weiss
Classi cation AMS : 11F75, 20J06, 55T10, 55N25
Mots cles : Conjecture de Lichtenbaum et Quillen, Reseaux gaussiens,
Sous-groupe d’Iwahori, Cohomologie equivariante, Cohomologie des groupes
lineaires, Cohomologie des groupes arithmetiquesRemerciements
Mesremerciementss’adressentenpremierlieuaHans-WernerHenn,sous
la direction duquel j’ai pu realiser le present travail. Hans-Werner n’a pasete
uniquement mon directeur de these : c’est aussi lui qui m’a fait decouvrir la
topologie algebrique en Magistere et la cohomologie des groupes en DEA. Il
a su me donner goutˆ a ces disciplines et m’epauler dans leur apprentissage
1et la quˆete de H (BGL (Z[i, ]);F ).2 22
JesuisreconnaissantenversJeanLannes,Jean-LouisLoday,GuidoMislin
et Philippe Nuss pour le temps precieux qu’ils ont consacre a la lecture de
mon travail.
Plus generalement, je souhaite remercier tous ceux qui m’ont soutenu
de pres ou de loin, consciemment ou a leur insu : ils sont doctorants ou
anciens doctorants de l’ULP (un merci particulier a mes collegues de bureau
successifs), mathematiciens, musiciens, famille ou amis.
En de nitive, je dedie ces quelques pages de ma vie a celle avec laquelle
j’ecrirai toutes les autres.Table des matieres
Introduction i
11 Motivation du calcul de H (BGL (Z[i, ]);F ) . . . . . . . . . i2 22
2 Enonce du resultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
3 Methode de resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
3.1 Reduction du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
3.2 Le bon espace pour calculer H (BPSL (Z[i]);F ) . . . . iii2 2
3.3 Cohomologie de BPSL (Z[i]) . . . . . . . . . . . . . . . iii2
3.4 Cohomologie du sous-groupe d’Iwahori de PSL (Z[i]) . iii2
1 13.5 Cohomologies de B(P)SL (Z[i, ]) et BGL (Z[i, ]) . . iv2 22 2
∗1 LebonespaceZ pourcalculerH (BPSL (Z[i]);F )-Reseaux 12 2
1.1 Reseaux et formes hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Les espacesH etL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1n n
1.1.2 Vecteurs minimaux d’un reseau L . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 L’espaceZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4n
1.2 Retraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
11.2.1 Retraction deL surL . . . . . . . . . . . . . . . . . 5n n
1 11.2.2 Retraction deL surW . . . . . . . . . . . . . . . . . 6n n
11.2.3 Retraction deL surW . . . . . . . . . . . . . . . . . 6n n
1.2.4 Retraction deH surZ . . . . . . . . . . . . . . . . . 7n n
1.3 Determination de GL (Z[i])\Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.3.1 Caracterisation des reseaux bien arrondis
et inventaire de leurs vecteurs minimaux . . . . . . . . 7
1.3.2 Reseaux bien arrondis a rotation pres . . . . . . . . . . 10
1.4 Calculs explicites de retractions . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Calcul explicite du retracte d’un reseau . . . . . . . . . 13
1.4.2 Retracte du sous-reseau L . . . . . . . . . . . . . . . . 16I
1.4.3 Retracte du sous-reseau L . . . . . . . . . . . . . . . 18II
1.4.4 Retracte du sous-reseau L . . . . . . . . . . . . . . . 19III2 Cohomologie de (P)SL (Z[i]) et (P)GL (Z[i]) 232 2
2.1 Principe du calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Analyse deZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Domaine fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Reconstruction de l’espaceZ . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.3 Structure cellulaire surZ . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.4 Sous-groupes d’isotropie pour l’action de . . . . . . . 29
2.2.5 Representation graphique locale deZ . . . . . . . . . . 40
2.3 Analyse de la suite spectrale E . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Cohomologie du sous-groupe d’Iwahori de PSL (Z[i]) 490 2
3.1 Le sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
3.2 Cohomologie de B - strategie . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
3.3 Reseaux et calcul de H (Z;F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5120
13.4 Reduction au calcul de H (B ;F ) . . . . . . . . . . . . . . . 530 2
3.4.1 Quotient \Z et sous-groupes d’isotropie . . . . . . . 530
03.4.2 La suite spectrale E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1 3.5 Calcul de H (B ;F ) et H (B ;F ) . . . . . . . . . . . . . . 600 2 0 2
3.5.1 Actions cellulaires et sans inversion de groupes sur les
CW-complexes simplement connexes . . . . . . . . . . 60
3.5.2 Presentation de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
13.5.3 Calcul de H (B ;F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700 2
3.5.4 Cohomologie de B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710
14 Cohomologies a coe cients dans F de BPSL (Z[i, ]),2 2 2
1 1BSL (Z[i, ]) et BGL (Z[i, ]) 732 22 2
14.1 Cohomologie de BPSL (Z[i, ]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 732 2
4.1.1 Situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.2 Etude de (i,j) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
14.1.3 Cohomologie de BPSL (Z[i, ]) . . . . . . . . . . . . . 842 2
14.2 Cohomologie de BSL (Z[i, ]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852 2
14.3 Cohoie de BGL (Z[i, ]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872 2
4.3.1 Restriction de H (BGL (F );F ) vers H (BD (F );F ) . 882 5 2 2 5 2
4.3.2 Analyse de l’homomorphisme . . . . . . . . . . . . 89D
4.3.3 Description de Res . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
,
4.3.4 Description explicite de E . . . . . . . . . . . . . . . 932
14.4 Cohomologie de BGL (Z[i, ]) - Resultats . . . . . . . . . . . . 942 2
Appendice 97
Bibliographie 101Notations
Groupes
PSL (Z[i]), SL (Z[i]), PGL (Z[i]) ou GL (Z[i])2 2 2 2
Sous-groupe d’Iwahori de p.490
C Groupe cyclique d’ordre nn
Se symetrique d’ordre nn
A Groupe alterne d’ordre nn
Qe des quaternions d’ordre n4n
D Groupe dihedral d’ordre n2n
Reseaux
m(L) Minimum du reseau L p.4
M(L) Ensemble des vecteurs minimaux du reseau L p.4
hM(L)i Espace vectoriel complexe engendre par M(L) p.4
D(L) Ensemble des directions de vecteurs minimaux de L p.4
c Constante associee a un vecteur v d’un reseau L p.13v
nStd , Std Reseau standard de dimension nZ[i] p.2n
L ,L Espace des reseaux de dimension n (resp. 2) p.2, p.7n
1 1L ,L des reseaux deion n (resp. 2) p.4, p.7n
et de minimum 1
W ,W Reseaux bien arrondis de dimension n (resp. 2) p.5, p.7n
1 1W ,W R bien arrondis deion n (resp. 2) p.5, p.7n
et de minimum 1
0L Espace des paires de reseaux (L ,L ) de dimension 2 p.511 2
1telles que L L L2 1 21+i
0 0 1W Ensemble des paires (L ,L )∈L telles que L ∈W p.511 2 1
L , L , L Sous-reseaux d’un reseau L p.12I II III
0tels que (L,L ), (L,L ), (L,L )∈LI II III
Espaces particuliers
nH Formes hermitiennes positives de nies sur C p.1n
1 1Y {M∈ GL (C)|M (Std )∈W} p.5n n n n
Z QuotientY /U(n) p.5n n
D,D Domaines fondamentaux dansZ p.10, p.26SL
pour l’action de PGL (Z[i]) (resp. PSL (Z[i]))2 2Applications
1 1 :L →W Retraction par deformation deL surW p.6n nn n
1 :D→W /U(2), a7→ classe du reseau engendre par les vecteurs p.11a
a1 pet
20 1| a|
1
1 ap :D→ GL (C), a7→ p.252 20 1| a|
:D→Z, a7→ classe de (a) p.25
Sous-groupes d’isotropie pour l’action de sur Z
, h∈Z Sous-groupe d’isotropie de h p.29h
, x∈Dupe d’isotropie de (x)∈Z p.29x
, cellule deD Sous-groupe d’isotropie de la cellule () deZ p.29
1Sous-groupes d’isotropie pour l’action de U(2) surW
1U , L∈W Sous-groupe d’isotropie de L p.29L
1U , x∈Dupe d’isotropie de ∈W p.29x x
Sous-groupes d’isotropie pour l’action de surZ0
( ) ,XZ Sous-groupe d’isotropie de X p.550 X
Suites spectrales
E Suite spectrale qui converge vers H (B ; F ) p.232
0 E Suite spectrale qui converge vers H (B ;F ) p.550 2Introduction
11MotivationducalculdeH (BGL (Z[i, ]);F )2 22
Lepointdedepartdecettetheseestuneversioninstabledelaconjecture
deLichtenbaumetQuillenquiditquelacohomologiemodulo2duclassi ant
de certains groupes lineaires serait detectee par la cohomologie dut
du sous-groupe des matrices diagonales de ces groupes lineaires ([DF86]).
1Nous nous interesserons au cas des groupes lineaires de nis sur Z[ ].
2
Dans ce cas, la conjecture, evidente pour n = 1, a ete demontree par
Mitchell pour n = 2 et par Henn pour n = 3 ([Mit92], [Hen99]).
Dwyeramontrequelaconjecturen’estpasvraiepourn = 32([Dwy98]).
Henn et Lannes ont ameliore ce resultat en montrant qu’elle est dej a fausse
pour n = 14 ([HL]). De plus, le defaut de detection par la cohomologie des
matrices diagonales augmente avec n ([Hen96]).
Des travaux de Voevodsky sur la conjecture de Milnor impliquent que la
conjecture est vraie dans le cas stable.
Il reste donc a etudier la validite de la conjecture pour les valeurs de n
comprises entre 4 et 13. En fait, si on arrivait a trouver un contre-exemple a
la conjecture dans le cas n = 4, on aurait termine.
Onpeutmontrerquesilaconjectureestvraiepourn = 4,alorsnecessai-
rement, il existe un certain carre cartesien en cohomologie a coe cients
dansF :2
i1BGL (Z[i, ])ˆ → BGL (C)ˆ2 22 2 2
↓ ↓ (Id,c) (1)

B(GL (F )GL (F ))ˆ→ B(GL (C)GL (C))ˆ2 5 2 5 2 22 2
ou (B )ˆ designe le complete en 2 du classi ant du groupe , et la cohomo-2
1logieacoe cientsdans F deBGL (Z[i, ])doitˆetredetecteeparlacohomo-2 2 2
1logie du classi ant du sous-groupe des matrices diagonales de GL (Z[i, ]).2 2
1L’application i est induite par l’injection canonique de GL (Z[i, ]) dans2 2
GL (C); l’application (Id,c) est, elle, induite par la conjugaison complexe c;2
1l’application estinduiteparl’homomorphismed’anneauxZ[i, ]→FF ,5 52
1i7→ (2,3), 7→ (3,3); en n, la construction de l’application est delicate
2
et utilise des methodes de la theorie de l’homotopie etale.ii Introduction
2 Enonce du resultat principal
Theoreme 1. On a un isomorphisme d’algebre
1 0 0H (BGL (Z[i, ]);F ) =F [c ,c ]
( e ,e ,e ,e )2 2 2 1 2 1 31 32
ou c et c sont les classes de Chern de la representation canonique de1 2
1 0 0GL (Z[i, ]) dans GL (C),|e| =|e| = 1 et|e| =|e| = 3.2 2 1 31 32
En particulier, le carre (1) est cartesien en cohomologie a coe cients
1dansF , et la cohomologie de BGL (Z[i, ]) est detectee par la cohomologie2 2 2
1du classi ant du sous-groupe des matrices diagonales de GL (Z[i, ]).2 2
L’espoir initial, motive par des idees de Henn et Lannes, etait que la
1cohomologie a coe cients dans F de BGL (Z[i, ]) rendrait le carre (1) non2 2 2
cartesienencohomologieacoe cientsdans F ,invalidantdecefaitlaconjec-2
ture de Lichtenbaum et Quillen des n = 4 dans le cas des groupes lineaires
1de nis sur Z[ ].
2
La conjecture a ainsi passe un test avec succes et a encore des chances
d’ˆetre vraie pour n = 4. En tout cas la recherche d’un contre-exemple est
plus delicate qu’on aurait pu l’esperer.
3 Methode de resolution
3.1 Reduction du probleme
1LegroupeSL (Z[i, ])estsommeamalgameededeuxcopiesdeSL (Z[i])2 22
suivant le sous-groupe d’Iwahori de SL (Z[i]) des matrices M qui sont trian-2
gulaires superieures modulo l’ideal (1+i). L’une des deux injections du sous-
groupe d’Iwahori est l’injection standard, tandis que l’autre est conjuguee a
1la premiere dans GL (Z[i, ]).2 2
La connaissance des cohomologies de SL (Z[i]) et de son sous-groupe2
d’Iwahori, ainsi que celle des applications induites en cohomologie par les
1deux injections, permet l’etude de H (BSL (Z[i, ]);F ) a l’aide de la suite2 22
exacte longue de type Mayer-Vietoris associee a la somme amalgamee. On
1peut ensuite obtenir H (BGL (Z[i, ]);F ) en utilisant la suite spectrale de2 22
Lyndon-Hochschild-Serre associee a la suite exacte courte
1 1 1det 1→ SL (Z[i, ])→ GL (Z[i, ])→Z[i, ] → 12 2
2 2 2
1On a d’abord realise cette etude dans le cas de PSL (Z[i, ]) qui est2 2
1analogue, puis calcule la cohomologie a coe cients dans F de BSL (Z[i, ])2 2 2
en utilisant la suite spectrale de Lyndon-Hochschild-Serre associee a la suite
exacte courte
1 1
1→C → SL (Z[i, ])→ PSL (Z[i, ])→ 12 2 2
2 2