INSTITUT DE RECHERCHE MATHÉMATIQUE AVANCÉE Université Louis Pasteur et CNRS UMR

Régine Barthelmé

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
INSTITUT DE RECHERCHE MATHÉMATIQUE AVANCÉE Université Louis Pasteur et CNRS (UMR 7501) 7, rue René Descartes 67084 Strasbourg Cedex Le problème de conservation de la charge dans le couplage des équations de Vlasov et de Maxwell. par Régine Barthelmé Thèse soutenue le 8 juillet 2005 devant le jury composé de Jean-Claude Adam Rapporteur externe Patrick Ciarlet Rapporteur externe Jean-Pierre Croisille Examinateur Vilmos Komornik Rapporteur interne Eric Sonnendrücker Directeur de thèse

• maillage cartésien


• équation de conservation de la charge discrète


• macro-particules


• méthode pic


• contrainte de divergence sur le champ électrique


• vlasov-poisson


• résolution numérique des équations de maxwell


• champ electrique

Sujets

• Louis Pasteur University
• Institut de recherche mathématique avancée
• Rapporteur

Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
• Publié le: 01 juillet 2005
• Nombre de lectures: 45
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 12 Mo

Extrait

INSTITUT DE RECHERCHE MATH MA TIQUE AVANC E
UniversitØ Louis Pasteur et CNRS (UMR 7501)
7, rue RenØ Descartes
67084 Strasbourg Cedex
Le problŁme de conservation de la
charge dans le couplage des
Øquations de Vlasov et de Maxwell.
par
RØgine BarthelmØ
ThŁse soutenue le 8 juillet 2005 devant le jury composØ de
Jean-Claude Adam Rapporteur externe
Patrick Ciarlet Rapporteur
Jean-Pierre Croisille Examinateur
Vilmos Komornik Rapporteur interne
Eric Sonnendr ck er Directeur de thŁse3
RØsumØ
La production d’une Ønergie propre et abondante par la fusion nuclØaire contr lØe est un
domaine de recherche trŁs active. On arrive ? produire cette rØaction sur Terre en con nan t un
plasma ? trŁs haute tempØrature par un champ magnØtique dans un tokamak. C’est le c ur du
projet ITER. La simulation numØrique des plasmas permet de faire des tests ? moindre coßt.
L’objet de cette thŁse est d’Øtudier des mØthodes numØriques pour la simulation.
L’Øvolution de particules chargØes, par exemple celles d’un plasma, est modØlisØe par le sys-
tŁme des Øquations de Vlasov et de Maxwell. Pour chaque espŁce de particules, l’Øquation de
Vlasov :
@f
+vr f +q (E +vB)r f = 0 (1)x p
@t
traduit l’invariance de la fonction de distributionf le long des trajectoires de particules soumises
aux champs moyens E et B solutions des Øquations de Maxwell :
@E J2c rot B = ; (2)
@t 0
@B
+ rot E = 0; (3)
@t

div E = ; (4)
0
div B = 0; (5)
oø les densitØs de charge et de courant J sont calculØes ? partir des fonctions de distribution
et vØri en t l’Øquation de conservation de la charge :

+ div J = 0: (6)
@t
Dans cette thŁse, nous Øtudions quelques problŁmes liØs ? la mØthode PIC (Particle-In-Cell),
imaginØe en 1955, pour rØsoudre numØriquement ce systŁme d’Øquations.
La mØthode PIC est largement utilisØe car elle permet d’obtenir des rØsultats satisfaisants
pour un coßt de calcul raisonnable. La fonction de distributionf dØpendant de sept variables est
discrØtisØe dans l’espaces des phases (positions et vitesses) par un nombre ni de macroparticules
qui suivent les Øquations du mouvement. Les champs autoconsistants sont calculØs sur un maillage
de l’espace physique. Cette mØthode nØcessite donc deux Øtapes d’interpolation : le calcul des
termes source des Øquations de Maxwell sur les n uds du maillage ? partir des positions et
vitesses des particules, et l’Øvaluation des champs agissant sur les particules ? partir de leur
connaissance aux n uds du maillage. Les mØthodes d’interpolation usuelles donnent cependant
des densitØs de charge et de courant discrŁtes ne satisfaisant qu’approximativement l’Øquation
de conservation de la charge discrŁte. La rØsolution numØrique des Øquations de Maxwell peut
mener alors ? des solutions non physiques.4 RØsumØ
Il existe deux types de solutions ? ce problŁme. Soit on corrige ? chaque pas de temps le
champ calculØ de maniŁre ? ce qu’il satisfasse la contrainte de divergence, soit on utilise un autre
algorithme pour calculer la densitØ de courant, de maniŁre ? ce que l’Øquation de conservation
de la charge discrŁte soit vØri Øe.
Pour le premier type de solutions, nous rappelons les di Øren tes formulations existant dans
la littØrature et les regroupons sous une formulation gØnØrale. Ces mØthodes reviennent toutes ?
rØsoudre un systŁme de Maxwell modi Ø, dans lequel on a introduit un multiplicateur de Lagrange
gØnØralisØ, reliant la contrainte de divergence sur le champ Ølectrique ? l’Øquation d’AmpŁre :
@E J2 2c rot B +c grad = ; (7)
@t 0
@B
+ rot E = 0; (8)
@t

g() + div E = ; (9)
0
div B = 0: (10)
Nous apportons de nouvelles dØmonstrations d’existence et d’unicitØ de solutions, utilisant la
thØorie des semi-groupes.
Dans un autre chapitre, nous faisons le point des algorithmes existants permettant d’inter-
poler, ? partir des particules, des densitØs de courant et de charge satisfaisant l’Øquation de
conservation de la charge discrŁte dans le cas oø les Øquations de Maxwell sont rØsolues sur un
maillage cartØsien par un schØma de di Ørences nies de Yee, c’est- -dire :
n+1 n 1 n+i i 2+ (div J) = 0:h it
La premiŁre mØthode pour des facteurs forme splines d’ordre 1 (fonctions intervenant dans les
Øtapes d’interpolation) fut celle de Villasenor et Buneman sur un maillage cartØsien uniforme.
Nous l’Øtendons ? des facteurs forme d’ordre quelconque, ce qui permet de rØduire le bruit
numØrique ou le coßt du calcul. Nous l’Øtendons Øgalement ? l’ordre 1 au cas d’un maillage
cartØsien non uniforme.
Nous prØsentons ensuite la mØthode plus rØcente d’Esirkepov, applicable pour une trŁs grande
classe de facteurs forme, en dØtaillant l’obtention des formules. Finalement nous expliquons la
toute rØcente mØthode zigzag qui permet ? l’aide d’un algorithme trŁs simple de calculer des
courants satisfaisant l’Øquation de conservation de la charge discrŁte sur un maillage cartØsien
uniforme, ? l’ordre 1. Nous expliquons comment l’implØmenter pour des ordres de fonctions de
forme supØrieurs.
Nous comparons nalemen t toutes les mØthodes prØ-citØes sur des cas-tests physiques. Nous
comparons Øgalement di Øren tes initialisations d’un code PIC. Les rØsultats obtenus permettent
de constater que les mØthodes calculant le courant de maniŁre ? satisfaire l’Øquation de conserva-
tion de la charge sont plus bruitØes que celles corrigeant le champ Ølectrique. On peut rØduire ce
bruit en utilisant des facteurs forme d’ordre supØrieur gr ce aux nouvelles mØthodes. NØanmoins,
nous ne parvenons pas ? dØpartager les trois mØthodes conservant la charge. Quant aux mØthodes
corrigeant le champ Ølectrique, la mØthode initiale de Boris reste apparemment la plus e cace
et la plus simple ? implØmenter, avec l’inconvØnient nØanmoins de devoir rØsoudre un Laplacien
? chaque pas de temps.
Pour terminer, nous proposons un dernier chapitre dans lequel nous comparons les perfor-
mances d’un code PIC et d’un code semi-lagrangien.5
RØsumØs des chapitres
Pour faciliter la lecture, nous rappelons briŁvement le contenu de chaque chapitre.
Chapitre 1 : SystŁmes de Vlasov-Maxwell et Vlasov-Poisson
Dans ce premier chapitre, nous prØsentons le systŁme d’Øquations de Vlasov-Maxwell dØcri-
vant l’Øvolution de particules chargØes dans leur champ ØlectromagnØtique auto-consistant et le
systŁme simpli Ø de Vlasov-Poisson. Nous rappelons quelques propriØtØs nØcessairement vØri Øes
par d’Øventuelles solutions de ce systŁme, comme la conservation du nombre total de particules
et de l’Ønergie. Nous prØsentons ensuite une bibliographie de rØsultats d’existence de solutions
aux systŁmes de Vlasov-Maxwell (VM) et Vlasov-Poisson (VP). Pour VP, nous retiendrons que
l’existence de solutions faibles est Øtablie mais pas l’unicitØ; l’existence et l’unicitØ globales de
1solutions classiques est assurØe pour une donnØe initiale de classe C ? support compact. Pour
VM, on a existence de solutions faibles, mais l’unicitØ est un problŁme ouvert, et existence et
unicitØ locales de solutions classiques, se prolongeant en temps sous une condition de compacitØ
de la solution.
Chapitre 2 : MØthode PIC (Particle-In-Cell)
Dans ce chapitre, nous rappelons le principe de la mØthode PIC appliquØe aux Øquations de
Vlasov-Maxwell. La fonction de distribution initiale d’une espŁce de particules est approchØe par
une mesure qui est combinaison linØaire de masses de Dirac en des macro-particules. La solution
de Vlasov avec condition initiale approchØe au temps t est alors dØterminØe par les nouvellesn
positions de ces macro-particules, donnØes par les caractØristiques de Vlasov. A partir des posi-
tions des particules, on interpole les densitØs de courant et de charge pour rØsoudre les Øquations
de Maxwell sur un maillage xe de l’espace physique et avancer les champs ØlectromagnØtiques
en temps. Une deuxiŁme Øtape d’interpolation permet de calculer les champs aux positions des
particules. Nous rappelons les interpolations les plus courantes utilisant des B-splines comme
fonctions de forme des particules. Nous donnons plusieurs interprØtations de ces Øtapes d’inter-
polation. Nous dØtaillons ensuite la mØthode de di Ørences nies de Yee pour la rØsolution de
Maxwell qui nous intØresse particuliŁrement car elle a la propriØtØ de satisfaire la nullitØ de la
divergence du rotationnel discrets. Nous continuons par un point sur les rØsultats de convergence
des mØthodes particulaires. Finalement, nous prØsentons le problŁme au c ur de cette thŁse :
lorsque l’&