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Nagarajan, Kaushik Kumar

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
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• controle des ecoulements turbulents


• espace reduit


• choix de la base orthogonale de projection


• ecoulement


• directions inhomogenes


• base optimale de reconstruction de donnees


• pod


• resolution numerique du probleme pod

Sujets

• Écoulement

Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
• Nombre de lectures: 37
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 8 Mo

Extrait

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Chapter 3

Proper Orthogonal Decomposition (POD) based Reduced Order Modelling (ROM)

D´ ition  orthogonale aux valeurs propres (POD) base´e sur ecomppos odele d'  d  ´duit  (ROM) morrere Introduction Lamode ´ lisationdesstructurescoh ´ erentesconstitueundesaspectslesplusexcitantdessimula- tionsdes ´ ecoulementsinstationnaires.Cesstructuresquimaintiennentleurindividualite ´ pendant l'e ´ volutiondel' ´ ecoulementpr ´ esententund ´ epourleschercheursdudomainea ´ erodynamique.La descriptiondes ´ ecoulementspasseparlar ´ esolutiondese ´ quationsdeNavie–Stokes.Lare ´ solution d'untelsyste  mepourde ´ crirenementlesproprie ´ te ´ sdel' ´ ecoulementpeutnepase ˆ trepossibledans cestypesd'e ´ coulementsa  causeducou ˆ tprohibitifdemand ´ e.Unefac¸ondecontournercettedif- cult ´ eestd'adopterlesmode  lesd'ordrer ´ eduitbas ´ essurleprincipedelad ´ ecompositionorthogonale auxvaleurspropres(POD).LeROMbas ´ esurleprojectionsdeGalerkinestintroduitdanslecas d' e´coulements compressibles. Son extension pour inclure l'effet d'actionnement est discut e´e suivie parl'applicationaucasd' ´ ecoulementdecavit ´ e.

Approche modele d'ordre re´duit Lare ´ ductiondumode  lesurunebaseautrequelaPODpeute ˆ trere ´ alise ´ e.Lapre ´ sentationg ´ en ´ erale delar ´ eductiondumode  leestsimplementdonn ´ eea  traversles ´ equations3.1a3.5rpseL. ´ te ´ irpoeques doitv ´ erierl'espacer ´ eduitsonte ´ galementdonn ´ ees.Danslecaspre ´ sentlaprojectiondeGalerkin est utilisee. ´

Etat de l'art sur la POD La POD employee pour de´terminer la base optimale de reconstruction de donne´es est bien connue ´ depuis1943.Ellea ´ ete ´ utilise ´ epourdesobjectifsautresquel'identicationdesstructurescohe ´ rentes:

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3. Proper Orthogonal Decomposition (POD) based Reduced Order Modelling (ROM)

traitementd'image,analysedessignaux,compressiondedonn ´ ees,etc...Pourladynamiquedesu- ides,laPODa ´ eteintroduiteparLumley(1987)pouranalyserlese ´ coulementsturbulents.Unerevue ´ de ´ taille ´ edelaPODpeute ˆ tretrouv ´ eedans(Holmeset al.(1996),Delvilleet al.(1999 POD). La commemoyend'identicationdesstructuresa ´ ete ´ largementutilise ´ eparFiedler(1998) pour les jets et sillages,Delvilleet al.(1998) pour les couches cisaille´es turbulentes et pour le post-traitement des donn ´ eesenr ´ efe ´ rencedephaseobtenuesparPIVPerrinet al.(2007)Le).rospi ´ pre ´ tetamsme ´ hqitaues etl'estimationd'erreuronte ´ t ´ ee ´ tudi ´ ees.L'applicationaucasdelacavit ´ ea ´ et ´ epropos ´ eepar Rowleyet al.(2003) etGloerfelt(2008).

Application de la POD dans le controˆle des e´coulements et la turbulence L'utilisationdelaPODcommemoyenpourlecontr ˆ oledes ´ ecoulementsturbulentsae ´ t ´ efaitela premie  refoisparAubryet al.(1988).Ukeileyet al.(2001) l'ont utilis e´e pour analyser les structures degrandes ´ echellesdansunecouchedeme ´ langeturbulente.Lesmode  lesd'ordrer ´ eduitpourle contro ˆ leonte ´ t ´ etrait ´ esparUkeileyet al.(2001ont ˆ xducptimoleolisilatunatpres.L)gsepicniuare ´ ne ´ lamod ´ elisationd'ordrere ´ duitdes ´ equationsdeNavier–Stokesa ´ ete ´ l'oeuvredeRavindran(2000a), Ravindran(2000b ˆ rlooctn.)eLntsulemeecoued' ´´ ypera ´ teepmolrselige ´ ilittnasnca ´ eeasdononec Fahl(2000).Bergmann & Cordier(2008r-reci ´ slecenotn ´ raeil)oycnudnilalli'degmatiusld ˆ otrople culaire en utilisant une re´gion de conance.Luchtenburget al.(2009) l'a fait pour une conguration portante.Uneextensionpourinclureleseffetsdesactionneurs ´ t ´ e ´ etudie ´ eparKasnakoglu(2007), a e Welleret al.(2009bsresumeesrlsu.L)oneciurbme ´ to ˆ rtudelecoulemeisparl' ´´ tbesae ´ tnedaciv expe ´ rimentalespeut ˆ etreconsult ´ edansSamimyet al.(2007).

Lad ´ ecompositionorthogonaleauxvaleurspropres LaD ´ ecompositionOrthogonaleauxvaleursPropresouProperOrthogonalDecomposition(POD) est une technique efcace d'analyse de donne´es, qui permet d'approximer un syst eme de dimension e ´ lev ´ eeparunautrededimensionnettementplusfaible.Essentiellement,cetteme ´ thodeestline ´ aire etconsistea  de ´ terminerunebasedemodespropresorthogonauxrepre ´ sentatifspard ´ enitiondes re´alisations les plus probables. Lad ´ ecompositionorthogonalepropresuivantHolmeset al.(1996), est une technique pour ex- trairelesstructurescohe ´ rentesdedonn ´ eesnume ´ riquesd'un ´ ecoulementpourlerepr ´ esenterdansle contexted'unedimensionniepluspratiquepourunesimulationnume ´ rique.Cettesectionpr ´ esente leside ´ esge ´ n ´ eralesetlesproprie ´ t ´ esdelaPODens'inspirantdeCordier & Bergmann(2002) et de Chatarjee(2000). Leprincipefondamentaldetouteapproximationth ´ eoriqueestd'extraireunebasesatisfaisant unecontraintedonn ´ ee,parexempleunerelationd'optimalit ´ epourl' ´ energie.Commel'apropose ´ e Lumley(1967)unesea ´ eclvetbieuiesr ´ elncortereno ´ dtsqeimintuesteentincfoneutcurtsere ´ hocer r ´ ealisationsu(X). L'approximation pouruapecdapaadsnnusenoitauqe ´ 'larep ´ enndosteet ´ 3.6. Le choixdelabaseorthogonaledeprojectionestobtenuparlaminimisationdel'erreurexprim ´ eepar l' ´ equation3.7.'Lpoitimasitonsouscontraintedtse ´ nnoapee ´ 'lruaeqonti3.8iestonquuatie ´ eq.ttCe unemaximisationpeute ˆ tretraite ´ ecommeunproble  meauxvaleursproprespourlequelunop ´ erateur

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de corre´lation est fournie (R). La relation donnant les valeurs propres est donne´e par l' e´quation3.9. Cetteequationpeut ´ egalemente ˆ treobtenueparuneautrem ´ ethodeCordier & Bergmann(2002). ´ Lesproprie´te´sdelaPODsontr´esum´eesainsi: 1.ent'Lstuoiestaclnodxeeslei' ´ eqparlr ´ eeassunoitau3.13 2.Les valeurs propres sont re´elles et positives 3.Les fonctions propres (Φ n e( ´ eonalionquatrof)eoasogrhntmeebun3.14etr ˆ enttele)ueevelps orthonormales 4.Les coefcients temporelsa n pueevtne ˆ rtoetbnepaus' ´ rluaeqonti3.15 5. ´ (itaueLsnetdrueett ˆ euspntoixpeudnenoitale ´ rroceentevergecon ´ erieesnop ´ scemoer ´ d eq on 3.16) 6.iecsdntesLefcon ´ equatioreire'lioevtn ´ v3.17 7.nntsel'  aqu ´ eioatL'ltesrecronohtror  eoh ´ etereMedemorrpnopsdniuseoct ´ edmalinctiesfo3.18 Danslare ´ ductiondemode  leutilisantlaPOD,laconditiond'optimalit ´ e ´ energ ´ etiquesugge  re l'existenced'unpetitnombredemodesPODne ´ cesssairepourde ´ crireefcacementlesdonn ´ ees. L'erreurdetroncatureestd ´ enieparl' ´ equation3.21 cas de dimension nie est d'un grand. Le int ´ ere ˆ tpourletraitementdedonne ´ esexpe ´ rimentalesounume ´ riques.Leproble  med'approximation estdetrouverunebasedefonctionsorthonormalesr ´ esolvantleproble  medeminimisation( ´ equation 3.23). Pourfaciliterlare ´ solutiondeceproble  me,l'ensembledesdonn ´ eesestrang ´ edansunematrice (e´quation3.24 e´quation). Les modes sont donne´s par l' (3.25) et l'approximation de toute r e´alisation estdonn ´ eeparl'e ´ quation3.28 ´ tdoiceematr.Lad ´ ecomposittligure  eetsdteouanoiavxuruelniss s nnee par l' e´quation3.30gnissruelavsedtcrediullccaLe.eisrsaossrisgnluetvecteuuli  eresuvsoten ´ ecistse fastidieux, et il est pre´ferable de les de´terminer par la re´solution de problemes aux valeurs propres ´ equivalents. ´ A toute matriceAde dimensionM×N t  e´aire qui, il est possible d'associer une application lin envoie tout vecteur deǫ N t , espace vectoriel de dimensionN t , dansǫ M , espace vectoriel de dimension M la sphere unite´ dans. Soitǫ N t seeicritlpm,luunur ´ eitlodeuengtcevsruelbmesede.e.l'ensi vecteurs par la matriceA ´ eidqurseuctveuxaevuonedennodnos ¨ ededidemsnoinissentuneellip rdans l'espaceǫ M ourltsemonederberdsile  eeursevalingunonsA. Les valeurs singulieres σ 1 ,σ 2 , ...,σ r correspondent aux longueurs respectives des axes principaux de cette ellipso¨de (gure 3.1niugrussavell,set ´ eraracrescli  eI.)ncdontmevetiuintasubireniseftlteacdeurfe ´ damronoitveuq chacun des vecteurs initiaux par action deA. Par ailleurs, puisque la matriceVest orthogonale, l' e´quation3.30encoriret ´ 'cesAV=UΣ. Les directions de ces axes principaux sont donc donne´es par les colonnes deUetlexesaarspsmceme ˆ enedeedsttnas ´ ce ´ olonlescenesdV. Unesecondeinterpr ´ etationgeom ´ etriquepeute ˆ tredonn ´ eea  lad ´ ecompositionenvaleurssin- gulieres (SVD). Pour cela, nous conside´rons la matriceAcomme la liste des coordonne´es deM

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