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44 pages
Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
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  • controle des ecoulements turbulents

  • espace reduit

  • choix de la base orthogonale de projection

  • ecoulement

  • directions inhomogenes

  • base optimale de reconstruction de donnees

  • pod

  • resolution numerique du probleme pod


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Chapter 3
Proper Orthogonal Decomposition (POD) based Reduced Order Modelling (ROM)
D´ ition orthogonale aux valeurs propres (POD) base´e sur ecomppos odele d' d ´duit (ROM) morrere Introduction Lamode´lisationdesstructurescoh´erentesconstitueundesaspectslesplusexcitantdessimula-tionsdes´ecoulementsinstationnaires.Cesstructuresquimaintiennentleurindividualite´pendant l'e´volutiondel'´ecoulementpr´esententund´epourleschercheursdudomainea´erodynamique.La descriptiondes´ecoulementspasseparlar´esolutiondese´quationsdeNavie–Stokes.Lare´solution d'untelsystemepourde´crirenementlesproprie´te´sdel'´ecoulementpeutnepaseˆtrepossibledans cestypesd'e´coulementsacauseducouˆtprohibitifdemand´e.Unefac¸ondecontournercettedif-cult´eestd'adopterlesmodelesd'ordrer´eduitbas´essurleprincipedelad´ecompositionorthogonale auxvaleurspropres(POD).LeROMbas´esurleprojectionsdeGalerkinestintroduitdanslecas d' e´coulements compressibles. Son extension pour inclure l'effet d'actionnement est discut e´e suivie parl'applicationaucasd'´ecoulementdecavit´e.
Approche modele d'ordre re´duit Lare´ductiondumodelesurunebaseautrequelaPODpeuteˆtrere´alise´e.Lapre´sentationg´en´erale delar´eductiondumodeleestsimplementdonn´eeatraversles´equations3.1a3.5rpseL.´te´irpoeques doitv´erierl'espacer´eduitsonte´galementdonn´ees.Danslecaspre´sentlaprojectiondeGalerkin est utilisee. ´
Etat de l'art sur la POD La POD employee pour de´terminer la base optimale de reconstruction de donne´es est bien connue ´ depuis1943.Ellea´ete´utilise´epourdesobjectifsautresquel'identicationdesstructurescohe´rentes:
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3. Proper Orthogonal Decomposition (POD) based Reduced Order Modelling (ROM)
traitementd'image,analysedessignaux,compressiondedonn´ees,etc...Pourladynamiquedesu-ides,laPODa´eteintroduiteparLumley(1987)pouranalyserlese´coulementsturbulents.Unerevue ´ de´taille´edelaPODpeuteˆtretrouv´eedans(Holmeset al.(1996),Delvilleet al.(1999 POD). La commemoyend'identicationdesstructuresa´ete´largementutilise´eparFiedler(1998) pour les jets et sillages,Delvilleet al.(1998) pour les couches cisaille´es turbulentes et pour le post-traitement des donn´eesenr´efe´rencedephaseobtenuesparPIVPerrinet al.(2007)Le).rospi´pre´tetamsme´hqitaues etl'estimationd'erreuronte´t´ee´tudi´ees.L'applicationaucasdelacavit´ea´et´epropos´eepar Rowleyet al.(2003) etGloerfelt(2008).
Application de la POD dans le controˆle des e´coulements et la turbulence L'utilisationdelaPODcommemoyenpourlecontrˆoledes´ecoulementsturbulentsae´t´efaitela premierefoisparAubryet al.(1988).Ukeileyet al.(2001) l'ont utilis e´e pour analyser les structures degrandes´echellesdansunecouchedeme´langeturbulente.Lesmodelesd'ordrer´eduitpourle controˆleonte´t´etrait´esparUkeileyet al.(2001ontˆxducptimoleolisilatunatpres.L)gsepicniuare´ne´ lamod´elisationd'ordrere´duitdes´equationsdeNavier–Stokesa´ete´l'oeuvredeRavindran(2000a), Ravindran(2000bˆrlooctn.)eLntsulemeecoued'´´ypera´teepmolrselige´ilittnasnca´eeasdononec Fahl(2000).Bergmann & Cordier(2008r-reci´slecenotn´raeil)oycnudnilalli'degmatiusldˆotrople culaire en utilisant une re´gion de conance.Luchtenburget al.(2009) l'a fait pour une conguration portante.Uneextensionpourinclureleseffetsdesactionneurs´t´e´etudie´eparKasnakog lu(2007), a e Welleret al.(2009bsresumeesrlsu.L)oneciurbme´toˆrtudelecoulemeisparl'´´tbesae´tnedaciv expe´rimentalespeutˆetreconsult´edansSamimyet al.(2007).
Lad´ecompositionorthogonaleauxvaleurspropres LaD´ecompositionOrthogonaleauxvaleursPropresouProperOrthogonalDecomposition(POD) est une technique efcace d'analyse de donne´es, qui permet d'approximer un syst eme de dimension e´lev´eeparunautrededimensionnettementplusfaible.Essentiellement,cetteme´thodeestline´aire etconsisteade´terminerunebasedemodespropresorthogonauxrepre´sentatifspard´enitiondes re´alisations les plus probables. Lad´ecompositionorthogonalepropresuivantHolmeset al.(1996), est une technique pour ex-trairelesstructurescohe´rentesdedonn´eesnume´riquesd'un´ecoulementpourlerepr´esenterdansle contexted'unedimensionniepluspratiquepourunesimulationnume´rique.Cettesectionpr´esente leside´esge´n´eralesetlesproprie´t´esdelaPODens'inspirantdeCordier & Bergmann(2002) et de Chatarjee(2000). Leprincipefondamentaldetouteapproximationth´eoriqueestd'extraireunebasesatisfaisant unecontraintedonn´ee,parexempleunerelationd'optimalit´epourl'´energie.Commel'apropose´e Lumley(1967)unesea´eclvetbieuiesr´elncortereno´dtsqeimintuesteentincfoneutcurtsere´hocer r´ealisationsu(X). L'approximation pouruapecdapaadsnnusenoitauqe´'larep´enndosteet´3.6. Le choixdelabaseorthogonaledeprojectionestobtenuparlaminimisationdel'erreurexprim´eepar l'´equation3.7.'Lpoitimasitonsouscontraintedtse´nnoapee´'lruaeqonti3.8iestonquuatie´eq.ttCe unemaximisationpeuteˆtretraite´ecommeunproblemeauxvaleursproprespourlequelunop´erateur
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de corre´lation est fournie (R). La relation donnant les valeurs propres est donne´e par l' e´quation3.9. Cetteequationpeut´egalementeˆtreobtenueparuneautrem´ethodeCordier & Bergmann(2002). ´ Lesproprie´te´sdelaPODsontr´esum´eesainsi: 1.ent'Lstuoiestaclnodxeeslei'´eqparlr´eeassunoitau3.13 2.Les valeurs propres sont re´elles et positives 3.Les fonctions propres (Φne(´eonalionquatrof)eoasogrhntmeebun3.14etrˆenttele)ueevelps orthonormales 4.Les coefcients temporelsanpueevtneˆrtoetbnepaus'´rluaeqonti3.15 5.´(itaueLsnetdrueettˆeuspntoixpeudnenoitale´rroceentevergecon´erieesnop´scemoer´d eq on 3.16) 6.iecsdntesLefcon´equatioreire'lioevtn´v3.17 7.nntsel'aqu´eioatL'ltesrecronohtroreoh´etereMedemorrpnopsdniuseoct´edmalinctiesfo3.18 Danslare´ductiondemodeleutilisantlaPOD,laconditiond'optimalit´e´energ´etiquesuggere l'existenced'unpetitnombredemodesPODne´cesssairepourde´crireefcacementlesdonn´ees. L'erreurdetroncatureestd´enieparl'´equation3.21 cas de dimension nie est d'un grand. Le int´ereˆtpourletraitementdedonne´esexpe´rimentalesounume´riques.Leproblemed'approximation estdetrouverunebasedefonctionsorthonormalesr´esolvantleproblemedeminimisation(´equation 3.23). Pourfaciliterlare´solutiondeceprobleme,l'ensembledesdonn´eesestrang´edansunematrice (e´quation3.24 e´quation). Les modes sont donne´s par l' (3.25) et l'approximation de toute r e´alisation estdonn´eeparl'e´quation3.28´tdoiceematr.Lad´ecomposittligureeetsdteouanoiavxuruelniss s nnee par l' e´quation3.30gnissruelavsedtcrediullccaLe.eisrsaossrisgnluetvecteuulieresuvsoten´ecistse fastidieux, et il est pre´ferable de les de´terminer par la re´solution de problemes aux valeurs propres ´ equivalents. ´ A toute matriceAde dimensionM×Nt e´aire qui, il est possible d'associer une application lin envoie tout vecteur deǫN t, espace vectoriel de dimensionNt, dansǫM, espace vectoriel de dimension M la sphere unite´ dans. SoitǫN tseeicritlpm,luunur´eitlodeuengtcevsruelbmesede.e.l'ensi vecteurs par la matriceA´eidqurseuctveuxaevuonedennodnos¨ededidemsnoinissentuneellip rdans l'espaceǫMourltsemonederberdsileeeursevalingunonsA. Les valeurs singulieres σ1,σ2, ...,σrcorrespondent aux longueurs respectives des axes principaux de cette ellipso¨de (gure 3.1niugrussavell,set´eraracresclieI.)ncdontmevetiuintasubireniseftlteacdeurfe´damronoitveuq chacun des vecteurs initiaux par action deA. Par ailleurs, puisque la matriceVest orthogonale, l' e´quation3.30encoriret´'cesAV=UΣ. Les directions de ces axes principaux sont donc donne´es par les colonnes deUetlexesaarspsmcemeˆenedeedsttnas´ce´olonlescenesdV. Unesecondeinterpr´etationgeom´etriquepeuteˆtredonn´eealad´ecompositionenvaleurssin-gulieres (SVD). Pour cela, nous conside´rons la matriceAcomme la liste des coordonne´es deM
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