Notions de positivite et d'amplitude des fibres vectoriels Theoremes d'annulation sur les varietes kahleriennes

Christophe Mourougane

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Notions de positivite et d'amplitude des fibres vectoriels Theoremes d'annulation sur les varietes kahleriennes Christophe Mourougane These de Doctorat de Mathematiques Universite Joseph Fourier (Grenoble I) soutenue a Grenoble le 10 janvier 1997 devant le jury : Arnaud Beauville (ENS Paris) Jean-Pierre Demailly (UJF), Directeur Joseph Le Potier (Paris VII) Chris Peters (UJF) Eckart Viehweg (Essen, Allemagne) au vu des rapports de : Arnaud Beauville (ENS Paris) et Eckart Viehweg (Essen, Allemagne) 1

• proprietes de positivite algebriques


• fibres vectoriels


• theoremes d'annulation sur les varietes kahleriennes


• analytiques des fibres vectoriels


• structure des lieux exceptionnels de cohomologie


• morphismes lisses de fibres en droites numeriquement


• positivite


• annulation des espaces de pformes holo- morphes

Sujets

• Peters
• Fourier
• Beauville
• Demailly

Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
• Publié le: 01 janvier 1997
• Nombre de lectures: 36
• Langue: Français

Extrait

Notionsdepositivit´eetd’amplitudedesfibr´esvectoriels Th´eor`emesd’annulationsurlesvarie´t´esk¨ahle´riennes

Christophe Mourougane

The`sedeDoctoratdeMath´ematiques

Universite´JosephFourier(GrenobleI)

soutenu`aGblele10janvier1997devantlejury: e reno

Arnaud Beauville (ENS Paris) Jean-Pierre Demailly (UJF), Directeur Joseph Le Potier (Paris VII) Chris Peters (UJF) Eckart Viehweg (Essen, Allemagne)

au vu des rapports de :

Arnaud Beauville (ENS Paris) et Eckart Viehweg (Essen, Allemagne)

1

´ ´ RESUME

L’objetdecettethe`seestl’´etudedesproprie´te´sdepositivit´ealg´ebriques, analytiquesetcohomologiquesdesfibr´esvectorielsholomorphessurlesvari´et´es ka¨hle´riennescompacteslisses.

Danslapremie`repartie,nousd´ecrivonslesproprie´te´sdepositivit´ealg´ebriques etanalytiquesdesfibre´svectorielsobtenuscommeimagesdirectespardes morphismeslissesdefibre´sendroitesnum´eriquementeffectifsadjointspar lefibr´ecanoniquerelatif.

Dansladeuxie`mepartie,nousetendonsauxvarie´t´esk¨ahl´eriennescompactes ´ lethe´or`eme,dˆu`aF.Bogomolov,d’annulationdesespacesdepformes holo- morphes`avaleursdansunfibr´eendroitesdedualnum´eriquementeffectif. Latroisie`mepartie,motive´eparlestravauxdeM.GreenetR.Lazarsfeld,est consacr´eeauxth´eore`mesd’annulationg´en´eriquedesgroupesdecohomologie defibr´esvectorielssemi-ne´gatifs.Nousd´ecrivonsaussilastructuredeslieux exceptionnels de cohomologie. ´ MOTS-CLES

Vari´et´esk¨ahle´riennescompacteslisses,fibre´svectorielsholomorphes,notions depositivit´e,th´eore`mesd’annulation,lieuxexceptionnelsdecohomologie, me´thodestranscendantes. ´ CLASSIFICATION MATHEMATIQUE

32C35, 32J25, 32L20, 14C22, 14C30, 53C55.

2

Ilm’afalluplusieurspagescopieusementratur´eespourm’apercevoirqu’il estvaind’espe´rerremercierenquelquesmotsunepersonnequipendant plusieursanne´esm’afaitpartdesesconnaissancesetdesesintuitions,une personnequiae´coute´meside´esavecattentionetsanscomplaisance,une personnequiaentretenuetaffin´emongouˆtpourlesmath´ematiques,une personne si sympathique. Je remercie Jean-Pierre Demailly.

Letextequevousallezlireetmesconnaissancesmathe´matiquescon- tiennentdestouchesdecouleursquim’onte´t´einspire´espardenombreux mathe´maticiens,desamis,desenseignants,desrencontresd’unjour,des r´efe´r´ees.Jetiens`alesremercier.

Jetiensa`remercierArnaudBeauvilleetEckartViehweg minutieusement lu ce texte et pour avoir fait des remarques.

pour

avoir

Jetiens`ierlesmembresdujurypourl’inte´rˆetqu’ilst´emoignent a remerc pour mon travail.

Ilya`al’InstitutFourierdespersonnesdontl’aidequ’ilsapportent, dontlessouriresetlesmotsd’humeurcolorentlequotidien.Jetiens`ales remercier.

3

4

23

Etude d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

De´finitions....

3.1

Enonc´edesr´esultats.......................

3.3

3.2

23

Comple´mentssurl’hypothe`se(H)................

25

3

Introduction

4

D´emonstrationduthe´ore`mealge´brique

3.4

Pr´eliminaires

19

18

De´finitionsanalytiques..................

2.2.3

15

19

2.2.5Despropri´et´esanalytiquesauxproprie´te´salge´briques.

2.2.4Despropri´et´esalg´ebriquesauxpropri´et´esanalytiques.

22

21

Introductio ´ ´ l n genera e

P´eliminaires r

. . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

22

2.1.1

16

2.1.2ConnexiondeChernd’unfibr´evectorielholomorphe hermitien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

Notionsdepositivit´e....

2.2

17

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

Conventions. . . . .

2.2.1

17

D´efinitionsalgebriques.................. ´

2.2.2

15

9

2.1

Ge´ome´triediff´erentiellecomplexe................

ConditiondeKa¨hler....................

15

27

Imagesdirectesdefibre´sendroitesadjoints

28

25

28

. . . . .

5.3

5.2

Premie`re´etape:ϕ ⋆ (K XY ⊗L) est localement libre Deuxi`emee´tape:lemmedeCastelnuovo-Mumford.

. . . . .

5.1

27

.

. . . . . . . . . .

5

Re´ductionducasampleaucasnef....

9

2

1

Introduction

Tabledesmati`eres

I

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Troisi`eme´etape:produitsfibr´es

5.4

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6

29

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29

6

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6.1

6.2

30

30

M´etriquessurlesfibr´esendroitesnefetrelativementamples

31

D´emonstrationduth´eo`lyti........... reme ana que .

31

.

.

.

.

.

Quatri`eme´etape:ϕ ⋆ (K XY ⊗L) est nef .

5.5

De´monstrationduthe´ore`meanalytique

De´monstrationduth´eore`medepositivit´eausensdeGrif- fiths 34

Troisie`mee´tape:ϕ ⋆ (K XY ⊗L . . . . . . .) est nef. .

7.1Transportdelapositivite´parmorphismefini.........

34

7.2D´monstrationduth´eor`emedepositivit´eausensdeGriffiths e

42

42

43

6.2.1

Premie`re´etape:constructiondem´etriquessurles images directes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

7

6.2.2

34

6.2.3

Deuxi`eme´etape:produitsfibr´es.............

9.3

9.2

IIVersionsk¨ahl´eriennesduthe´ore`med’annulationdeBo- gomolov 47

9.4

8.3

Remarque:m´ethodealge´brique.................

Vari´ete´sk¨hl´eriennescompactesdontlefibr´etangentestnu-a m´eriquementeffectif....................... Positivite´deS k E⊗detE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

8.1

8.2

45

44

8

44

7.2.1Premie`ree´tape:constructiondeme´triquessur ϕ ⋆ (K XY ⊗L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .). . 7.2.2Seconde´etape:ϕ ⋆ (K XY ⊗L) est strictement positif au sens de Griffiths. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Applications

. . . . . . . . . . . . . .

48

Dimensiond’effectivit´e.....

. . .

. . . . . . . . . . . . . .

48

Dimension de Kodaira-Iitaka .

. . .

. . . . . . . . . .

. .

.

. 47

47

Introductionete´nonc´edesr´esultats

9

9.1

. . . . . . . . . . . . . .

49

. . .

Dimensionnume´rique.....

Comparaison de ces dimensions

. . .

51

53

54

7

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10.2

10.1

52

Ine´galite´deBochner-Kodaira-Nakano............

52

10 Les outils

Rappelsdeg´eom´etriek¨ahle´rienne................

52

.

.

9.5

Enonc´edesre´sultats

.

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.

17.5

.

76

74

IIIAnnulationge´ne´riquedesgroupesdecohomologied’un fibre´semi-n´egatif59

60

18Fibr´esendroitesdedualnefetabondant

66

56

14 Introduction

12Groupesdecohomologied’unfibr´enef

13Surlesvari´et´esdeFujiki

10.3

11Groupesdecohomologied’unfibr´epseudo-effectif

53

Th´eore`medeCalabi-Yau...................

.

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. .

.

17.4

73

Condition forte du premier ordre . . . . . .

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. .

Pe´riodicite´...................

. .

Structure des lieux exceptionnels de cohomologie . . . . . . .

17.3

68

72

17.2

69

68

D´eformationdesgroupesdecohomologie............

Conditiondede´g´en´erescence...................

17.1

16Annulationpourlesfibr´essemi-ne´gatifs

17 Lieux exceptionnels de cohomologie

15.4

Produit tensoriel par une section . . . .

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. .

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65

15.3

Morphisme de Lefschetz .

. . . . . . . .

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. .

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. .

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.

61

15Notionsdesei-n´tivit´e m ega

61

64

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. . . . .

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15.2

Dualit´edeSerre.....

De´finitionsetpropri´t´ e es .

15.1

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. . . . . . . .

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63

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76

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20.1

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.

20Fibre´svectoriels

Parlesvarie´te´sdedrapeaux.

De´finitionsetpropri´etes ´

18.1

.

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.

.

83

.

.

Par l’isomorphisme de Le Potier

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.

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.

83

82

Parlesnotionsdesemi-positivite´

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20.2

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.

81

. . .

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77

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.

19 Remarque sur les diviseurs effectifs

18.2

The´ore`med’annulation,lieuxexceptionnels

.

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.

21Vari´et´esa`courburedeRiccisemi-positive

83

Re´f´erencesbibliographiques

84

8

87

20.3

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INTRODUCTION

1.Introductiong´en´erale

L’ide´edirectricedecetexteestderelierlespropri´et´esdepositivite´ alg´ebriques,analytiquesetcohomologiquesdesfibr´esvectorielsholomorphes surlesvarie´tesanalytiquescomplexescompacteslisses. ´

SoitE→Xvanerusuherpmoloohleirotceve´rbfiunire´´teXanalytique complexecompactelisse.Alg´ebriquement,l’amplitudedeEeltreei´a`es l’abondancedesectionsdesespuissancessym´etriquesS k Eer´fible:Eest dittre`samplesisessectionsglobalesre´alisenttouslesjetsd’ordre1`avaleurs dansEet tous les couples de valeurs dansE⊕E→X×X−Δ X . La notation Δ X deenolaigesd´agdilaneX×X´efierbL.Eest dit ample si une de ses puissancessym´etriquesesttr`esample.

Lesnotionsdepositivit´eanalytiquesselisententermesd’existencede m´etriqueshermitiennessurEositive:lefibr´e`cauobrrupeEest dit stricte- mentpositifausensdeGriffithss’ilpeutˆetremunid’unem´etriquehermi- tienne de classeC ∞ dont la forme de courbure, qui est une (1,1)−forme diff´erentielle`avaleursdanslefibre´desendomorphismeshermitiensdeE, estd´efiniepositivesurlestenseurse´le´mentairesdeT X⊗E.

L’annulationdesgroupesdecohomologiedeDolbeault`avaleursdansE encertainsbidegr´es(p, q) avecp+q >dimXfournit des notions de posi- tivite´cohomologiques.Rappelonsa`titred’exempleleth´eor`emed’annulation d’Akizuki-Kodaira-Nakano :

T ´ `  —SoitL→X´iravenue´teitesndroesurampl´reenubfi heoreme. Xanalytique complexe compacte lisse. pour tout Alors(p, q)∈N 2 avec p+q >dimX, H q (X,Ω X p ⊗L) = 0

Cesnotionscohomologiquesontd’importantescons´equencesg´eom´etriques en particulier pour l’extension de sections holomorphes.

Nousdonneronsdesd´efinitionspre´cisesdepositivit´edanslespre´liminaires etdanschaquechapitre.Danscechapitreintroductif,lemotpositifest`a prendreenunsenstr`esflexible.Cetexteestcompos´edetroispartieslarge- mentind´ependantes.