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Notions de positivite et d'amplitude des fibres vectoriels Theoremes d'annulation sur les varietes kahleriennes

De
92 pages
Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Notions de positivite et d'amplitude des fibres vectoriels Theoremes d'annulation sur les varietes kahleriennes Christophe Mourougane These de Doctorat de Mathematiques Universite Joseph Fourier (Grenoble I) soutenue a Grenoble le 10 janvier 1997 devant le jury : Arnaud Beauville (ENS Paris) Jean-Pierre Demailly (UJF), Directeur Joseph Le Potier (Paris VII) Chris Peters (UJF) Eckart Viehweg (Essen, Allemagne) au vu des rapports de : Arnaud Beauville (ENS Paris) et Eckart Viehweg (Essen, Allemagne) 1

  • proprietes de positivite algebriques

  • fibres vectoriels

  • theoremes d'annulation sur les varietes kahleriennes

  • analytiques des fibres vectoriels

  • structure des lieux exceptionnels de cohomologie

  • morphismes lisses de fibres en droites numeriquement

  • positivite

  • annulation des espaces de pformes holo- morphes


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Notionsdepositivit´eetdamplitudedesbr´esvectoriels Th´eor`emesdannulationsurlesvarie´t´esk¨ahle´riennes
Christophe Mourougane
The`sedeDoctoratdeMath´ematiques
Universite´JosephFourier(GrenobleI)
soutenu`aGblele10janvier1997devantlejury: e reno
Arnaud Beauville (ENS Paris) Jean-Pierre Demailly (UJF), Directeur Joseph Le Potier (Paris VII) Chris Peters (UJF) Eckart Viehweg (Essen, Allemagne)
au vu des rapports de :
Arnaud Beauville (ENS Paris) et Eckart Viehweg (Essen, Allemagne)
1
´ ´ RESUME
Lobjetdecettethe`seestl´etudedesproprie´te´sdepositivit´ealg´ebriques, analytiquesetcohomologiquesdesbr´esvectorielsholomorphessurlesvari´et´es ka¨hle´riennescompacteslisses.
Danslapremie`repartie,nousd´ecrivonslesproprie´te´sdepositivit´ealg´ebriques etanalytiquesdesbre´svectorielsobtenuscommeimagesdirectespardes morphismeslissesdebre´sendroitesnum´eriquementeectifsadjointspar lebr´ecanoniquerelatif.
Dansladeuxie`mepartie,nousetendonsauxvarie´t´esk¨ahl´eriennescompactes ´ lethe´or`eme,dˆu`aF.Bogomolov,dannulationdesespacesdepformes holo-morphes`avaleursdansunbr´eendroitesdedualnum´eriquementeectif. Latroisie`mepartie,motive´eparlestravauxdeM.GreenetR.Lazarsfeld,est consacr´eeauxth´eore`mesdannulationg´en´eriquedesgroupesdecohomologie debr´esvectorielssemi-ne´gatifs.Nousd´ecrivonsaussilastructuredeslieux exceptionnels de cohomologie. ´ MOTS-CLES
Vari´et´esk¨ahle´riennescompacteslisses,bre´svectorielsholomorphes,notions depositivit´e,th´eore`mesdannulation,lieuxexceptionnelsdecohomologie, me´thodestranscendantes. ´ CLASSIFICATION MATHEMATIQUE
32C35, 32J25, 32L20, 14C22, 14C30, 53C55.
2
Ilmafalluplusieurspagescopieusementratur´eespourmapercevoirquil estvaindespe´rerremercierenquelquesmotsunepersonnequipendant plusieursanne´esmafaitpartdesesconnaissancesetdesesintuitions,une personnequiae´coute´meside´esavecattentionetsanscomplaisance,une personnequiaentretenuetan´emongouˆtpourlesmath´ematiques,une personne si sympathique. Je remercie Jean-Pierre Demailly.
Letextequevousallezlireetmesconnaissancesmathe´matiquescon-tiennentdestouchesdecouleursquimonte´t´einspire´espardenombreux mathe´maticiens,desamis,desenseignants,desrencontresdunjour,des r´efe´r´ees.Jetiens`alesremercier.
Jetiensa`remercierArnaudBeauvilleetEckartViehweg minutieusement lu ce texte et pour avoir fait des remarques.
pour
avoir
Jetiens`ierlesmembresdujurypourlinte´rˆetquilst´emoignent a remerc pour mon travail.
Ilya`alInstitutFourierdespersonnesdontlaidequilsapportent, dontlessouriresetlesmotsdhumeurcolorentlequotidien.Jetiens`ales remercier.
3
4
23
Etude d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
De´nitions....
3.1
Enonc´edesr´esultats.......................
3.3
3.2
23
Comple´mentssurlhypothe`se(H)................
25
3
Introduction
4
D´emonstrationduthe´ore`mealge´brique
3.4
Pr´eliminaires
19
18
De´nitionsanalytiques..................
2.2.3
15
19
2.2.5Despropri´et´esanalytiquesauxproprie´te´salge´briques.
2.2.4Despropri´et´esalg´ebriquesauxpropri´et´esanalytiques.
22
21
Introductio ´ ´ l n genera e
P´eliminaires r
. . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
22
2.1.1
16
2.1.2ConnexiondeCherndunbr´evectorielholomorphe hermitien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
Notionsdepositivit´e....
2.2
17
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
Conventions. . . . .
2.2.1
17
D´enitionsalgebriques.................. ´
2.2.2
15
9
2.1
Ge´ome´triedi´erentiellecomplexe................
ConditiondeKa¨hler....................
15
27
Imagesdirectesdebre´sendroitesadjoints
28
25
28
. . . . .
5.3
5.2
Premie`re´etape:ϕ(KXYL) est localement libre Deuxi`emee´tape:lemmedeCastelnuovo-Mumford.
. . . . .
5.1
27
.
. . . . . . . . . .
5
Re´ductionducasampleaucasnef....
9
2
1
Introduction
Tabledesmati`eres
I
.
Troisi`eme´etape:produitsbr´es
5.4
.
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6
29
.
29
6
. .
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6.1
6.2
30
30
M´etriquessurlesbr´esendroitesnefetrelativementamples
31
D´emonstrationduth´eo`lyti........... reme ana que .
31
.
.
.
.
.
Quatri`eme´etape:ϕ(KXYL) est nef .
5.5
De´monstrationduthe´ore`meanalytique
De´monstrationduth´eore`medepositivit´eausensdeGrif-fiths 34
Troisie`mee´tape:ϕ(KXYL . . . . . . .) est nef. .
7.1Transportdelapositivite´parmorphismeni.........
34
7.2D´monstrationduth´eor`emedepositivit´eausensdeGriths e
42
42
43
6.2.1
Premie`re´etape:constructiondem´etriquessurles images directes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
7
6.2.2
34
6.2.3
Deuxi`eme´etape:produitsbr´es.............
9.3
9.2
IIVersionsk¨ahl´eriennesduthe´ore`medannulationdeBo-gomolov 47
9.4
8.3
Remarque:m´ethodealge´brique.................
Vari´ete´sk¨hl´eriennescompactesdontlebr´etangentestnu-a m´eriquementeectif....................... Positivite´deSkEdetE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
8.1
8.2
45
44
8
44
7.2.1Premie`ree´tape:constructiondeme´triquessur ϕ(KXYL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .). . 7.2.2Seconde´etape:ϕ(KXYL) est strictement positif au sens de Griffiths. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Applications
. . . . . . . . . . . . . .
48
Dimensiondeectivit´e.....
. . .
. . . . . . . . . . . . . .
48
Dimension de Kodaira-Iitaka .
. . .
. . . . . . . . . .
. .
.
. 47
47
Introductionete´nonc´edesr´esultats
9
9.1
. . . . . . . . . . . . . .
49
. . .
Dimensionnume´rique.....
Comparaison de ces dimensions
. . .
51
53
54
7
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10.2
10.1
52
Ine´galite´deBochner-Kodaira-Nakano............
52
10 Les outils
Rappelsdeg´eom´etriek¨ahle´rienne................
52
.
.
9.5
Enonc´edesre´sultats
.
.
.
.
17.5
.
76
74
IIIAnnulationge´ne´riquedesgroupesdecohomologiedun bre´semi-n´egatif59
60
18Fibr´esendroitesdedualnefetabondant
66
56
14 Introduction
12Groupesdecohomologiedunbr´enef
13Surlesvari´et´esdeFujiki
10.3
11Groupesdecohomologiedunbr´epseudo-eectif
53
Th´eore`medeCalabi-Yau...................
.
.
. .
.
17.4
73
Condition forte du premier ordre . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
Pe´riodicite´...................
. .
Structure des lieux exceptionnels de cohomologie . . . . . . .
17.3
68
72
17.2
69
68
D´eformationdesgroupesdecohomologie............
Conditiondede´g´en´erescence...................
17.1
16Annulationpourlesbr´essemi-ne´gatifs
17 Lieux exceptionnels de cohomologie
15.4
Produit tensoriel par une section . . . .
.
.
. .
.
. .
.
.
. .
.
65
15.3
Morphisme de Lefschetz .
. . . . . . . .
.
. .
.
. .
.
.
. .
.
.
61
15Notionsdesei-n´tivit´e m ega
61
64
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . .
.
.
15.2
Dualit´edeSerre.....
De´nitionsetpropri´t´ e es .
15.1
. .
.
.
.
.
. . . . . . . .
. .
.
.
. .
63
.
.
.
.
.
.
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.
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.
.
.
.
76
.
.
.
.
.
.
.
20.1
.
.
.
.
20Fibre´svectoriels
Parlesvarie´te´sdedrapeaux.
De´nitionsetpropri´etes ´
18.1
.
.
.
.
.
.
83
.
.
Par l’isomorphisme de Le Potier
.
.
.
.
.
.
.
.
83
82
Parlesnotionsdesemi-positivite´
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
20.2
.
.
81
. . .
.
.
77
.
.
.
.
19 Remarque sur les diviseurs effectifs
18.2
The´ore`medannulation,lieuxexceptionnels
.
.
.
.
.
21Vari´et´esa`courburedeRiccisemi-positive
83
Re´f´erencesbibliographiques
84
8
87
20.3
.
.
.
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.
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.
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.
.
.
.
.
INTRODUCTION
1.Introductiong´en´erale
Lide´edirectricedecetexteestderelierlespropri´et´esdepositivite´ alg´ebriques,analytiquesetcohomologiquesdesbr´esvectorielsholomorphes surlesvarie´tesanalytiquescomplexescompacteslisses. ´
SoitEXvanerusuherpmoloohleirotceve´rbunire´´teXanalytique complexecompactelisse.Alg´ebriquement,lamplitudedeEeltreei´a`es labondancedesectionsdesespuissancessym´etriquesSkEer´ble:Eest dittre`samplesisessectionsglobalesre´alisenttouslesjetsdordre1`avaleurs dansEet tous les couples de valeurs dansEEX×XΔX. La notation ΔXdeenolaigesd´agdilaneX×X´eerbL.Eest dit ample si une de ses puissancessym´etriquesesttr`esample.
Lesnotionsdepositivit´eanalytiquesselisententermesdexistencede m´etriqueshermitiennessurEositive:lebr´e`cauobrrupeEest dit stricte-mentpositifausensdeGrithssilpeutˆetremunidunem´etriquehermi-tienne de classeCdont la forme de courbure, qui est une (1,1)forme di´erentielle`avaleursdanslebre´desendomorphismeshermitiensdeE, estd´eniepositivesurlestenseurse´le´mentairesdeT XE.
LannulationdesgroupesdecohomologiedeDolbeault`avaleursdansE encertainsbidegr´es(p, q) avecp+q >dimXfournit des notions de posi-tivite´cohomologiques.Rappelonsa`titredexempleleth´eor`emedannulation d’Akizuki-Kodaira-Nakano :
T ´ ` —SoitLX´iravenue´teitesndroesurampl´reenubheoreme. Xanalytique complexe compacte lisse. pour tout Alors(p, q)N2avec p+q >dimX, Hq(X,ΩXpL) = 0
Cesnotionscohomologiquesontdimportantescons´equencesg´eom´etriques en particulier pour l’extension de sections holomorphes.
Nousdonneronsdesd´enitionspre´cisesdepositivit´edanslespre´liminaires etdanschaquechapitre.Danscechapitreintroductif,lemotpositifest`a prendreenunsenstr`esexible.Cetexteestcompos´edetroispartieslarge-mentind´ependantes.
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