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Rapport de stage de fin de licence. Stabilite´dondesprogressivesdunmod`elede transition de phases
Intitul´e
M.Mercier, sous la direction de J.M. Roquejoffre
11septembre2004
Lebutdeceprojetestl´etudedune´equationparaboliqueavecpetitsparam`etresintervenant dansunmode`ledetransitiondephases.Cetypedephe´nom`enesesttr`es´etudie´enphysiquedes mat´eriaux:ph´enome`nesdesolidication,d´evaporation,etc.etfaittoujourslobjetdintenses eortsdemod´elisation.Leprojetpropos´eportesurle´tudedumode`lesimpledesolidication suivant:dansunmilieumonodimensionneli.e.touteslesquantit´esnede´pendentquedutemps etduneseulecoordonne´espatiale,laproportiondelaphasesolidesatisfaitle´quation:
6 4 2 ∂φ ∂ φ ∂ φ ∂ φ 4 2 ε+=φ(φθ)(1φ) =f(φ) 6 4 2 ∂t ∂x ∂x ∂x o`u: θiqelasph,deuiecnaaledde´rnimoesidlauraspholesutpnramaseurantlap`etremes εitepnutse`maraptorretrec.ectif Unarticledatantdunedizainedanne´esdeGardneretJones[3]´etudielexistencedondes progressivespourcemod`ele(i.e.dessolutionsdelaformeφ(x+cturstetle))e.ieuq.libae´ti sepasse-t-ilsilonr´esoutavecunedonn´eeinitialeprochedunproldonde?Lesme´thodes utilis´eespourlapremie`repartieutilisentuneversiong´eom´etriqueduneclassedethe´ore`mesde vari´ete´sinvariantes(th´eor`emesdepersistancedeFenichel);pourladeuxie`mepartielesme´thodes utilis´eessontdesme´thodestopologiquesrelativement´elabore´es.Ilsetrouvequelad´emonstration deGardneretJonespeuteˆtretr`essimplie´eparlemploideme´thodesd´equationsauxd´erive´es partielles.Leprojetconsisteradonc`a´etudiercesyst`emeavecdesme´thodesanalytiques. Onconsid`erel´equation:   ∂φ1ε ∂ +P φ=f(φ) (1) 2 ∂t ε i ∂x ou` P n 2k P=akX , a1>0, an6= 0 etf(x) =x(1x)(xθ) k=1
Lebutestded´emontrerleth´eore`me: Th´eor`eme1.1On suppose quePruelavadeuqrxueantemdse´rcanise`,eelloirdasavoisleuxf ze´ro.Pourfaciliterlade´monstration,onsupposedeplusquelesracinesnon-nullesdePsont deux `adeuxdistinctes.Le´quation(1)admetalorsununiqueproldondeprogressivequideplusest stable.
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Existence d’une
On sait que pourε qui tend vers 0 quand qu’il existe un unique
onde progressive
=0,le´quation(1)admetuneuniquesolutionsousformedondeprogressive x→ −∞et vers 1 quandx+e.C])[6redi`astoipnlstac(.f`rsetran,`a couple (c0, φ0) tel que toute solution onde progressiveψsce´evir:
ψ(x, t) =φ0(xx0+c0t) Oncherchealorsunesolutionsousformedondeprogressivepourlesyst`emeperturb´e: φ(x, t) =φ(x+ct). On obtient, en posantξ=x+ct:   1ε d 0 +P φ=f(φ) 2 ε i On pose :u1=φ, ˙u1=u2,u˙2=u3,εu˙3=u4. . ,, . ε˙u2n1=u2nrs:L.qu´eoita´snirceolat
n1 X k n cu2+ak(1)u2k+1+an(1)εu˙2n=f(u1) k=1 Soitx:= (u3, u4, . . . , u2n) la variable rapide ety:= (u1, u2)lneleO.etravalbaime`e:lenastsy ε˙x=p(x, y, ε) (2) y˙ =q(x, y, ε) auquelonvoudraitappliquerleth´eor`emedevari´et´einvariantedeFenichel:
The´ore`me2.1(varie´te´invariantedeFenichel(cf.[5]))SoitM0-e´rctiqieuuqcirote´iraval respond`alensembledessolutionsdusyst`eme(2)pourε= 0. On suppose queM0est normalement hyperboliqueparrapportausyste`meditrapide: 0 x=p(x, y,0) (3) 0 y= 0
Celasigniequelesyste`me(3)line´aris´eadmetexactement2valeurspropressurlaxeimaginaire, lavariablelentee´tantdedimension2. Alors, pourε >0´te´iraverpsisaespzetit,ilexisteuneMεtelle que : d(M0, Mε) =O(ε) Mεetsoeomid´`arpheM0 Mε.)em2(tse`udyseotouslsatnitsnvarei Parconse´quent,ilfauttoutdabordsint´eresser`alavari´ete´critiqueM0.
Varie´t´ecritique Quandε0=ts:el,me(esy`tivne)2ed u4=u5=∙ ∙ ∙=u2n= 0 cu2a1u3=f(u1) 0 00 u1=φ, u2=uφ , 3=φ Lesvaleurspropresdusyst`eme(3)line´arise´sontcellesdelamatrice: 0 0 0. . . 0 0 0. . . 0 1 0. . . . . .0 1 M= . . . 0 0 0. . .0 n1 1)a a1(n1 ∗ ∗n+10. . .n+1 (1)an(1)an
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