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Rapport sur les travaux de recherche effectues Bruno VALLETTE

De
17 pages
Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Rapport sur les travaux de recherche effectues Bruno VALLETTE math.unice.fr/?brunov/ Ce compte-rendu offre un resume de mes travaux de recherche effectues depuis ma these. Les resultats obtenus portent sur l'algebre, la topologie, la geometrie et la physique mathemati- que avec pour point commun l'algebre homotopique et la notion d'operade, au sens large. Resume. En theorie de la deformation, j'ai generalise, dans plusieurs directions, la dualite de Koszul des algebres et des operades. Ceci m'a permis d'obtenir dans ce domaine de nouvelles resolutions libres. J'ai developpe l'etude geometrique generale de la deformation des morphismes d'operades ainsi que ses applications aux espaces de modules de structures algebriques. Le point culminant de cette etude est la demontration du Theoreme 4 ci-dessous qui avait ete conjecture dans le domaine des groupes quantiques. En algebre, j'ai etabli une equivalence nouvelle entre operades de Koszul et ensembles par- tiellement ordonnes de partitions de Cohen-Macaulay. Ceci donne une methode puissante pour demontrer qu'une operade est de Koszul ainsi qu'un moyen efficace de calculer les representations de groupes symetriques qui apparaissent comme groupes d'homologie de posets. J'ai introduit la notion de categorie 2-monoıdale, qui generalise celle de categorie tressee, pour pouvoir definir la notion de produits de Manin en toute generalite. Ceci m'a permis de demontrer une version etendue de la conjecture de Deligne qui s'applique a des familles infinies de types d'algebres.

  • ll ll

  • rr rr

  • structure explicite d'algebre de batalin-vilkovisky

  • algebres associatives

  • applications aux espaces de modules de structures algebriques

  • dualite de koszul

  • hh hh

  • operade

  • vv vv


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Rapportsurlestravauxderechercheeectu´es Bruno VALLETTE math.unice.fr/ brunov/ Cecompte-renduoreunre´sum´edemestravauxderechercheeectu´esdepuismath`ese.Les ´ ltats obtenus portent sur l’ alg`ebre , la topologie , la g´eome´trie et la physiquemathe´mati-resu que avec pour point commun l’ alg`ebrehomotopique et la notion d’ op´erade , au sens large. R´esum´e. En the´oriedelade´formation ,jaig´en´eralise´,dansplusieursdirections,la dualit´e de Koszul desalge`bresetdesope´rades.Cecimapermisdobtenirdanscedomainedenouvelles re´solutionslibres.Jaid´evelopp´el´etudege´ome´triqueg´en´eraledelade´formationdesmorphismes dop´eradesainsiquesesapplicationsauxespacesdemodulesdestructuresalge´briques.Lepoint culminantdecettee´tudeestlad´emontrationduThe´ore`me4ci-dessousquiavaite´te´conjecture´ dans le domaine des groupes quantiques. En alge`bre ,jai´etabliune ´equivalencenouvelleentreope´radesdeKoszuletensemblespar-tiellement ord ´ d partitions de Cohen-Macaulay .Cecidonneuneme´thodepuissantepour onnes e d´emontrerquuneope´radeestdeKoszulainsiquunmoyenecacedecalculerlesrepr´esentations degroupessym´etriquesquiapparaissentcommegroupesdhomologiedeposets.Jaiintroduit la notion de cate´gorie 2 -monoı¨dale ,quig´ene´ralisecelledecat´egorietresse´e,pourpouvoird´enir la notion de produitsdeManinentouteg´en´eralite´ .Cecimapermisded´emontrerune version e´tenduedelaconjecturedeDeligne quisapplique`adesfamillesinniesdetypesdalge`bres. Jai´esolule probl`emedumonoı¨delibre pourdesproduitsmono¨ıdauxsansaucunehypothe`sede r lin´earit´e.Denombreuxexemplesdelalitt´turere´centesontdecetteforme,notammentenlo-era giquecate´gorique.Danslecontextedesop´erades,jaie´tendule´tudedela r´´ iture et du lemme eecr du diamant . En l`ebrehomotopique ,jaid´emontre´lefondamental th´eor`emedetransferthomotopique a g pourtouteope´radedeKoszul,etce,avecdesformulesexplicitespourpermettredescalculsde formalite´,parexemple.Jaire´soluleproble`meouvertdela re´solutionhomologiquedeloperade ´ BV codantlesalg`ebresdeBatalinVilkovisky .Jaiappliqu´ecere´sultatpourde´nirdesinvariants sup´erieurspourlesespacesdelacetsdoubles,lesth´eoriesdechampsconformes,lesvari´et´esde Poissonetpourr´esoudrelaconjecturedeDelignecyclique.Jaid´ecritlesstabilisateurspourlaction dugroupedeGiventalsurlesth´eoriesdechampstopologiquesentermesdalge`bresdeBatalinVilkoviskya`homotopiepr`es.Endonnantle mode`leminimal delope´rade BV , j’ai pu expliquer conceptuellementet´etendrehomotopiquementunr´esultatdeBarannikovKontsevichManinsur lesvari´et´esdeFrobenius(The´ore`me14).Enn,jaid´emontr´ela conjecture de Lian–Zuckerman (Th´eore`me13)surlesalg`ebresvertexdope´rateursenphysiquemathe´matique. Aunal,lexpertiseacquisedanscedomainemapermisde´crire,encollaboration,une mono-graphie de plus de 600 pages sur les o ´ ad . per es Te´or´ h ie de deformation des groupes quantiques. The´ore`me4 (D´eformationdesbig`ebresassociatives). Le complexe de Gerstenhaber-Schack detoutebig`ebreassociativeestmunidunestructuredevarie´t´eformelle,oualge`bredeLie`a homotopiepre`s,quicodesesd´eformations. R´esolutionlibredelope´radedesalg`ebresdeBatalin-Vilkovisky. Th´eor`eme13 (Conjecture de Lian-Zuckerman). Toutealge`brevertexdop´erateursdepoids conforme N -gradu´eadmetunestructureexplicitedalge`bredeBatalin-Vilkovisky`ahomotopie pr`esquie´tendlesop´erationsde´niesparLian-Zuckerman [ LZ93 ] etquirel`evelastructure dalge`bredeBatalin-VilkoviskydesacohomologieBRST. Th´e`medetransferthomotopiqueetvari´ete´deFrobenius. ore The´ore`me14 (Vari´et´edeFrobeniusa`homotopiepr`es) Soit A unealg`ebredeBatalin-Vilkovisky satisfaisant la condition de d´ ´ ´ nce de Hodge-de Rham. Son homologie egeneresce sous-jacenteposs`edeunestructuredevari´ete´deFrobeniusa`homotopiepr`esquie´tendla structuredevari´et´edeFrobenuisdeBarannikov-Kontsevich-Manin [ BK98 , Man99 ] et qui permet de reconstruire le type d’homotopie de A .
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