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Rapportsurlestravauxderechercheeectu´es Bruno VALLETTE math.unice.fr/ brunov/ Cecompte-renduoreunre´sum´edemestravauxderechercheeectu´esdepuismath`ese.Les ´ ltats obtenus portent sur l’ alg`ebre , la topologie , la g´eome´trie et la physiquemathe´mati-resu que avec pour point commun l’ alg`ebrehomotopique et la notion d’ op´erade , au sens large. R´esum´e. En the´oriedelade´formation ,jaig´en´eralise´,dansplusieursdirections,la dualit´e de Koszul desalge`bresetdesope´rades.Cecimapermisdobtenirdanscedomainedenouvelles re´solutionslibres.Jaid´evelopp´el´etudege´ome´triqueg´en´eraledelade´formationdesmorphismes dop´eradesainsiquesesapplicationsauxespacesdemodulesdestructuresalge´briques.Lepoint culminantdecettee´tudeestlad´emontrationduThe´ore`me4ci-dessousquiavaite´te´conjecture´ dans le domaine des groupes quantiques. En alge`bre ,jai´etabliune ´equivalencenouvelleentreope´radesdeKoszuletensemblespar-tiellement ord ´ d partitions de Cohen-Macaulay .Cecidonneuneme´thodepuissantepour onnes e d´emontrerquuneope´radeestdeKoszulainsiquunmoyenecacedecalculerlesrepr´esentations degroupessym´etriquesquiapparaissentcommegroupesdhomologiedeposets.Jaiintroduit la notion de cate´gorie 2 -monoı¨dale ,quig´ene´ralisecelledecat´egorietresse´e,pourpouvoird´enir la notion de produitsdeManinentouteg´en´eralite´ .Cecimapermisded´emontrerune version e´tenduedelaconjecturedeDeligne quisapplique`adesfamillesinniesdetypesdalge`bres. Jai´esolule probl`emedumonoı¨delibre pourdesproduitsmono¨ıdauxsansaucunehypothe`sede r lin´earit´e.Denombreuxexemplesdelalitt´turere´centesontdecetteforme,notammentenlo-era giquecate´gorique.Danslecontextedesop´erades,jaie´tendule´tudedela r´´ iture et du lemme eecr du diamant . En l`ebrehomotopique ,jaid´emontre´lefondamental th´eor`emedetransferthomotopique a g pourtouteope´radedeKoszul,etce,avecdesformulesexplicitespourpermettredescalculsde formalite´,parexemple.Jaire´soluleproble`meouvertdela re´solutionhomologiquedeloperade ´ BV codantlesalg`ebresdeBatalinVilkovisky .Jaiappliqu´ecere´sultatpourde´nirdesinvariants sup´erieurspourlesespacesdelacetsdoubles,lesth´eoriesdechampsconformes,lesvari´et´esde Poissonetpourr´esoudrelaconjecturedeDelignecyclique.Jaid´ecritlesstabilisateurspourlaction dugroupedeGiventalsurlesth´eoriesdechampstopologiquesentermesdalge`bresdeBatalinVilkoviskya`homotopiepr`es.Endonnantle mode`leminimal delope´rade BV , j’ai pu expliquer conceptuellementet´etendrehomotopiquementunr´esultatdeBarannikovKontsevichManinsur lesvari´et´esdeFrobenius(The´ore`me14).Enn,jaid´emontr´ela conjecture de Lian–Zuckerman (Th´eore`me13)surlesalg`ebresvertexdope´rateursenphysiquemathe´matique. Aunal,lexpertiseacquisedanscedomainemapermisde´crire,encollaboration,une mono-graphie de plus de 600 pages sur les o ´ ad . per es Te´or´ h ie de deformation des groupes quantiques. The´ore`me4 (D´eformationdesbig`ebresassociatives). Le complexe de Gerstenhaber-Schack detoutebig`ebreassociativeestmunidunestructuredevarie´t´eformelle,oualge`bredeLie`a homotopiepre`s,quicodesesd´eformations. R´esolutionlibredelope´radedesalg`ebresdeBatalin-Vilkovisky. Th´eor`eme13 (Conjecture de Lian-Zuckerman). Toutealge`brevertexdop´erateursdepoids conforme N -gradu´eadmetunestructureexplicitedalge`bredeBatalin-Vilkovisky`ahomotopie pr`esquie´tendlesop´erationsde´niesparLian-Zuckerman [ LZ93 ] etquirel`evelastructure dalge`bredeBatalin-VilkoviskydesacohomologieBRST. Th´e`medetransferthomotopiqueetvari´ete´deFrobenius. ore The´ore`me14 (Vari´et´edeFrobeniusa`homotopiepr`es) Soit A unealg`ebredeBatalin-Vilkovisky satisfaisant la condition de d´ ´ ´ nce de Hodge-de Rham. Son homologie egeneresce sous-jacenteposs`edeunestructuredevari´ete´deFrobeniusa`homotopiepr`esquie´tendla structuredevari´et´edeFrobenuisdeBarannikov-Kontsevich-Manin [ BK98 , Man99 ] et qui permet de reconstruire le type d’homotopie de A .
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