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Th`ese de Doctorat de Math´ematiques de
l’Universit´e Joseph Fourier (Grenoble I)
Quelques applications des m´ethodes
effectives en g´eom´etrie analytique
Dan Popovici
soutenue a` Grenoble le vendredi 24 octobre 2003 devant le jury:
Laurent Bonavero (Universit´e de Grenoble 1)
Jean-Pierre Demailly (Universit´e de Grenoble 1) (directeur)
Christiaan Peters (Universit´e de Grenoble 1)
Nessim Sibony (Universit´e de Paris Sud)
Henri Skoda (Universit´e de Paris 6) (Pr´esident)
au vu des rapports de:
Bo Berndtsson (Universit´e de Go¨teborg)
Nessim Sibony (Universit´e de Paris Sud)
1Quelques applications des m´ethodes
effectives en g´eom´etrie analytique
Dan POPOVICI
2R´esum´e. On g´en´eralise d’abord le th´eor`eme de prolongement L d’Ohsawa-Takegoshi-
Manivel au cas des jets de sections holomorphes d’un fibr´e en droites hermitien au-dessus
d’unevari´et´eka¨hl´erienne faiblementpseudoconvexe. Ondonneensuiteuned´emonstration
simple, en ´etudiant un courant de type (1,1), d’un r´esultat d’Uhlenbeck et Yau qui avait
permis d’´etablir la correspondance de Kobayashi-Hitchin sur les vari´et´es ka¨hl´eriennes
compactes. Dans la troisi`eme partie on ´etudie une conjecture sur l’existence de r´egu-
larisations des courants quasi-positifs ferm´es, avec controˆle des masses deMonge-Amp`ere,
qui permettrait d’obtenir une nouvelle caract´erisation des vari´et´es de Moishezon g´en´e-
ralisant celles de Siu et de Demailly qui r´epondaient a` la conjecture de Grauert-Riemen-
schneider. Ondonneuneestimationuniformedelapertedepositivit´edansleth´eor`emede
r´egularisationdescourantsdeDemaillyetonobtientuneversioneffective delag´en´eration
nglobale des faisceaux d’id´eaux multiplicateurs sur un ouvert pseudoconvexe deC .
Mots-cl´es: Courant quasi-positif ferm´e, ensemble analytique, faisceau d’id´eaux multi-
plicateurs, faisceau de jets, fibr´e holomorphe hermitien, fonction plurisousharmonique,
masses de Monge-Amp`ere, nombre de Lelong, sous-fibr´e faiblement holomorphe, vari´et´e
ka¨hl´erienne faiblement pseudoconvexe
2Abstract.WegeneralizefirsttheOhsawa-Takegoshi-ManivelL extensiontheoremtothe
case of jets of sections of Hermitian holomorphic line bundles on weakly pseudoconvex
Ka¨hler manifolds. Then we give a new simple proof of a theorem of Uhlenbeck and Yau
that was the main technical difficulty in their proof of the Kobayashi-Hitchin corres-
pondence on compact Ka¨hler manifolds. This is done via a (1,1)-current interpreted a
posteriori as the curvature current of some quotient bundle. Thirdly, we investigate a
conjecture on the existence of regularizations of closed almost positive currents whose
Monge-Amp`ere masses are under control on a compact not necessarily Ka¨hler manifold.
This would yield a new characterization of Moishezon manifolds generalizing those of Siu
and Demailly given in response to the Grauert-Riemenschneider conjecture. We give a
uniform estimate of the loss of positivity in Demailly’s regularization-of-currents theorem
and an effective version of the global generation property of multiplier ideal sheaves on
npseudoconvex open sets ofC .
´CLASSIFICATION MATHEMATIQUE
32J25, 32U05, 32U40, 32J27, 14C30, 53C05
2Jedoisa`mondirecteurdeth`eseJean-PierreDemaillytoutemaformationmath´ematique
de recherche. Les mots ne pourraient assez exprimer ma reconnaissance.
Je remercie ´egalement les rapporteurs et les membres du jury qui m’honorent par leur
participation.
Jepenseaussi`amafamilleeta`mesamisdontj’aitoujoursappr´eci´elesencouragements.
34Table des mati`eres
0 Introduction 6
21 Un th´eor`eme de prolongement L de jets de sections holomorphes d’un
fibr´e en droites hermitien 14
1.0.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.0.2 Rappels et pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.0.3 D´emonstration du th´eor`eme 1.0.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.0.4 Estimation de la solution dans le th´eor`eme 1.0.1.5 . . . . . . . . . . 33
1.0.5 Un th´eor`eme de comparaison de type Rauch . . . . . . . . . . . . . 35
1.0.6 Estimation finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.0.7 Le cas d’une sous-vari´et´e singuli`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Une preuve simple d’un r´esultat d’Uhlenbeck et Yau 47
2.0.8 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
∞2.0.9 Rappels et pr´eliminaires: cas C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.0.10 Le cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.0.11 Un lemme sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.0.12 D´emonstration du th´eor`eme 2.0.8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3 Versuner´egularisationdescourantsaveccontrˆoledesmassesdeMonge-
Amp`ere 76
3.0.13 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.0.14 Rappels et pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.0.15 Estimation de la perte de positivit´e pour les courants r´egularisants 88
3.0.16 Coh´erence des faisceaux d’id´eaux multiplicateurs avec estimations . 98
3.0.17 Annexe A: Un probl`eme de th´eorie du potentiel en une variable
complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.0.18 Annexe B: Controˆle local des masses de Monge-Amp`ere . . . . . . 112
4 Bibliographie 117
5Chapitre 0
Introduction
L’objectif de cette th`ese est d’´etablir des r´esultats effectifs en g´eom´etrie analytique
complexe en vue d’applications a` l’´etude des vari´et´es compactes, non n´ecessairement
ka¨hl´eriennes,parexempleentermesd’existencedecourantspositifsferm´es.Lamotivation
premi`ere´etaitdepoursuivrel’´etudedecertainesquestionssoulev´eesparlasolutiondonn´ee
par Y. T. Siu ([Siu84, 85]) a` la conjecture de Grauert-Riemenschneider ([GR70]) et
par la g´en´eralisation, via des in´egalit´es de Morse holomorphes, due a` J.- P. Demailly
([Dem85]). Malgr´e des avanc´ees importantes dans cette direction, comme celles de L.
Bonavero ([Bon93]), de S. Ji et B. Shiffman ([JS93]), ou celle plus r´ecente et spectaculaire
de J.- P. Demailly et M. Paun ([DP01]), beaucoup reste `a faire et un certain nombre de
conjectures semblent encore hors de port´ee.
Deux types de m´ethodes effectives sont au coeur de cette th`ese. D’une part, il est fait
2un ample usage d’estimations L , notamment le th´eor`eme de prolongement d’Ohsawa-
Takegoshi-Manivel([OT87],[Man93]),leth´eor`emededivisiondeSkoda([Sko72b],[Sko78]),
2et les estimations L de H¨ormander pour l’op´erateur de Cauchy-Riemann ([H¨or65]).
D’autrepart,lath´eoriedescourants(quasi)-positifsferm´es,initi´eeparP.Lelong([Lel57]),
est au centre des pr´eoccupations de la derni`ere partie. Le th´eor`eme de r´egularisation des
courants deJ.-P.Demailly([Dem92])constitue `alafoisl’instrument etle pointded´epart
des investigations dans cette partie.
Voici une description des probl`emes abord´es dans la th`ese.
Premi`ere partie: une g´en´eralisation du th´eor`eme d’Ohsawa-Takegoshi
Soit X une vari´et´e complexe faiblement pseudoconvexe de dimension n, munie d’une
m´etrique ka¨hl´erienne ω, et Y ⊂X une sous-vari´et´e lisse ferm´ee de codimension r d´efinie
0comme le lieu des z´eros d’une section holomorphe s ∈ H (X,E) d’un fibr´e holomorphe
hermitien E →X de rangr. T. Ohsawa et K. Takegoshi ([OT87]) ont r´esolu le probl`eme
2du prolongement des fonctions holomorphes, avec estimations de la croissance L , de la
sous-vari´et´eY `alavari´et´eambianteX.Ult´erieurement, L.Manivel ([Man93])ag´en´eralis´e
ce r´esultat dans le cadre plus g´eom´etrique des sections holomorphes d’un fibr´e hermitien
satisfaisant certaines conditions de positivit´e.
Lepremierobjectifdecetteth`esea´et´eceluideg´en´eraliserleth´eor`emedeprolongement
62L d’Ohsawa-Takegoshi-Manivel aucasdesjetsdesectionsd’unfibr´ehermitien.SoitLun
fibr´eendroiteshermitiensatisfaisantcertainesconditionsdepositivit´e,etk≥ 0unentier.
k+1Alors, tout “k-jet transverse `aY,” a` savoir toute section du faisceau de jetsL⊗O /I ,X Y
2qui satisfait une certaine condition de croissance L , peut ˆetre prolong´ee en une section
2holomorphe globale de L sur X, avec controˆle de la norme L sur un compact arbitraire
de X.
k+10 n ⋆Pourunk-jetf ∈H (X,Λ T X⊗L⊗O /I )etunefonctionρ>0,nousd´efinissonsX Y
en tout pointy∈Y la norme ponctuelle pond´er´ee parρ et associ´ee a` la sections, comme
1 2 k 2˜ ˜|∇ f| |∇ f|2 2˜|f| (y):=|f| (y)+ (y)+···+ (y),s,ρ,(k) 1 k2 2r 2(r+1) r 2(r+k)r r|Λ (ds)| ρ |Λ (ds)| ρ
0 n ⋆˜ou` f ∈H (U,Λ T ⊗L) est un prolongement local de f a` un petit voisinage U ⊂X deX
j ∞ n ⋆ j ⋆˜y, et∇ f ∈C (U,Λ T ⊗L⊗S N ) est construit `a l’aide de la connexion de ChernX Y/X
n ⋆du fibr´e vectoriel holomorphe Λ T X ⊗L, canoniquement muni de la m´etrique induite
2par la m´etrique deL et parω. Nous d´efinissons ensuite la normeL pond´er´ee def par:(k)
Z
2 2 r −2||f|| = |f| |Λ (ds)| dV .Y,ωs,ρ,(k) s,ρ,(k)
Y
Pour tout entier k≥ 0, on note ´egalement
k+1k 0 n ⋆ 0 n ⋆J :H (X,Λ T ⊗L)→H (X,Λ T ⊗L⊗O /I )XX X Y
k+1lemorphismedegroupesdecohomologieinduitparlaprojectionnaturelleO →O /I .X X Y
Avec ces notations, notre premier r´esultat s’´enonce de mani`ere pr´ecise sous la forme
suivante.
Th´eor`eme 0.0.0.1 SoitX une vari´et´e complexe faiblement pseudoconvexe de dimension
n, munie d’une m´etrique ka¨hl´erienneω,L un fibr´e en droites holomorphe hermitien,E un
0fibr´e holomorphe hermitien de rang r sur X, et s∈H (X,E) une section g´en´eriquement
transverse a` la section nulle. On d´efinit:
rY :={x∈X; s(x) =0,Λ (ds)(x) = 0},
une sous-vari´et´e de X de codimension r. Supposons aussi que, pour un entier k ≥ 0,
′ ′′ 2la (1,1)-forme iΘ(L) + (r +k)idd log|s| est semipositive et qu’il existe une fonction
continue α≥ 1 sur X telle que les deux in´egalit´es suivantes soient satisfaites sur X:
{iΘ(E)s,s}′ ′′ 2 −1(a) iΘ(L)+(r+k)idd log|s| ≥α ,
2|s|
−α(b) |s|≤e .
Si Ω⊂X est un ouvert relativement compact, on d´efinit une fonction poids ρ = ρ > 0Ω
1
par ρ(y)= , ou` D d´esigne la connexion de Chern de E.
−1 2||Ds || sup(||D s ||+||Ds ||)ξ ξy
ξ∈Ω
7
6Alors, pour tout ouvert Ω ⊂ X relativement compact et pour tout k-jet
k+10 n ⋆f ∈H (X,Λ T ⊗L⊗O /I ) tel queXX Y
Z
2 r −2|f| |Λ (ds)| dV <+∞,Y,ωs,ρ,(k)
Y
0 n ⋆ kil existe F ∈H (X,Λ T ⊗L) tel que J F =f etk kX
Z Z
2|F |k (k) 2 r −2dV ≤C |f| |Λ (ds)| dV ,ω Y,ωr s,ρ,(k)2r 2|s| (−log|s|)Ω Y
(k)
ou` C > 0 est une constante ne d´ependant que de r, de k, de E, du diam`etre de Ω, etr
de sup||iΘ(L)||.
Ω
Laprincipale difficult´e dans lad´emonstration dece r´esultatconsiste `aobtenirl’unifor-
mit´e de la constante dans l’estimation finale. Comme pour le th´eor`eme d’Ohsawa-Take-
goshi, l’int´erˆet r´eside dans la partie quantitative du r´esultat. La d´ependance par rapport
`a s des estimations finales est compl`etement explicit´ee dans le choix de la fonction poids
(k)
ρ. La constanteC est ind´ependante des. Nous appliquons essentiellement les in´egalit´esr
de Cauchy dans des cartes. Pour ´eviter l’apparition dans les estimations de croissance du
rayon (incontroˆlable) des cartes de coordonn´ees holomorphes locales deX, nous utilisons
l’applicationexponentielleetunth´eor`emedecomparaisondetypeRauchpourdesvari´et´es
riemanniennes compl`etes.
Deuxi`eme partie: une preuve simple d’un r´esultat d’Uhlenbeck et Yau
Soit (E,h) un fibr´e vectoriel holomorphe de rang r muni d’une m´etrique hermitienne
∞C au-dessusd’unevari´et´eka¨hl´eriennecompacteX.Unsous-faisceauanalytiquecoh´erent
F ⊂ O(E) du faisceau localement libre O(E) associ´e a` E peut ˆetre vu comme un fibr´e
avec singularit´es. En fait, F est localement libre dans le compl´ementaire d’un ensemble
analytiqueS ⊂X decodimension≥ 2.Ilcorrespondainsi a`unfibr´e vectoriel holomorphe
F sur X\S. Le sous- fibr´e F ֒→E peut ˆetre muni de la m´etrique d´eduite deh, et la|X\S
∞projection orthogonaleπ :E −→F d´efinit une sectionC surX\S du fibr´evectoriel|X\S
holomorphe EndE, satisfaisant les relations:
⋆ 2 ′′(⋆) π =π =π , (Id−π)◦D π =0
′′surX\S,ou`D estlapartiedetype(0,1)delaconnexiondeChernsurEndE associ´eea`la
m´etrique induite parh. La deuxi`eme relation exprime le fait que la structure holomorphe
de F est la restriction de la structure holomorphe de E . Un argument standard de|X\S
∞ ′ ′′th´eorie des courants implique que les 1-formesC surX\S,Dπ etD π, d´efinissent des
21-formes L sur X apr`es prolongement par 0 sur S.
Par cons´equent, tout sous-faisceau analytique coh´erentF deO(E) d´efinit une section
2 2π∈L (X,EndE) de l’espace de Sobolev des sections L dont les d´eriv´ees premi`eres sont1
2 ∞encore L , qui est C dans le compl´ementaire d’un ensemble analytique de codimension
≥ 2 et qui v´erifie les relations (⋆).
8Le deuxi`eme objectif de la th`ese a´et´e celui de red´emontrer l’affirmation r´eciproque de
fa¸con relativement ´el´ementaire. Cette r´eciproque avait ´et´e ´enonc´ee et d´emontr´ee par K.
Uhlenbeck etS.T.Yau([UY86,89])commeune´etapeessentielle dansleurd´emonstration
del’existenced’uneuniquem´etriqued’Hermite-Einsteindanstoutfibr´eholomorphestable
au-dessus d’une vari´et´eka¨hl´erienne compacte. K. Uhlenbeck etS. T. Yauprouvaient ainsi
la correspondance de Kobayashi-Hitchin entre les fibr´es holomorphes d’Hermite-Einstein
et les fibr´es holomorphes semi-stables sur une vari´et´e ka¨hl´erienne compacte.
Il ´etait d´ej`a connu, graˆce `a des r´esultats de S. Kobayashi et M. Lu¨bke, que tout fibr´e
d’Hermite-Einstein est semi-stable et se scinde en une somme directe de fibr´es stables.
Le r´esultat important de K. Uhlenbeck et S. T. Yau affirme la r´eciproque, beaucoup
plus d´elicate, a` savoir que tout fibr´e holomorphe stable E sur une vari´et´e ka¨hl´erienne
compacte admet une unique m´etrique d’Hermite-Einstein. La subtilit´e technique dans
leurd´emonstration consiste a`produireunsous-faisceau destabilisant deE,siunecertaine
suite de m´etriques construites surE ne converge pas pour d´efinir `a la limite une m´etrique
d’Hermite-Einstein. Ce probl`eme ´etait r´esolu par le th´eor`eme suivant dont nous donnons
une nouvelle d´emonstration.
Th´eor`eme 0.0.0.2 Soit(E,h)unfibr´eholomorphederangr munid’unem´etriquehermi-
∞ 2tienneC au-dessus d’une vari´et´ecomplexe k¨ahl´eriennecompacteX etπ∈L (X,EndE)1
⋆ 2 ′′tel que π =π =π et (Id −π)◦D π = 0 presque partout.E EndE
Alors il existe F ⊂ O(E) sous-faisceau analytique coh´erent de O(E) et S ⊂ X sous-
ensemble analytique de codimension≥ 2 tels que:
∞1) π ∈C (X\S,EndE)|X\S
⋆ 2 ′′2) π =π =π et (Id −π)◦D π = 0, sur X\SE EndE
3)F =π (E )֒→E est un sous-fibr´e holomorphe de E .|X\S |X\S |X\S |X\S |X\S
Lad´emonstrationdonn´eeparK.UhlenbecketS.T.Yaua`ceth´eor`emeestextrˆemement
technique et n’est pas tr`es instructive. Notre approche est assez ´el´ementaire et ´etudie un
(1,1)-courantquicorrespondaposterioriaucourantdecourbured’unfibr´equotientdeE.
Troisi`emepartie:versuner´egularisationdescourantsaveccontrˆoledesmasses
de Monge-Amp`ere
Leseffortsderecherche danscette directiontrouvent leuroriginedanslaconjecturede
Grauert-Riemenschneider([GR70])etdanssessolutionsetg´en´eralisations.Lebutestcelui
de comprendre la g´eom´etrie des vari´et´es complexes compactes en termes de l’existence de
fibr´es holomorphes (ou, plus g´en´eralement, de classes de cohomologie de type (1,1) non
n´ecessairement enti`eres) satisfaisant des conditions de positivit´e.
Le crit`ere de projectivit´e de Kodaira, caract´erisant la projectivit´e des vari´et´es com-
pactes en fonction de l’existence de fibr´es en droites amples, est peut-ˆetre le premier
r´esultat fondamental dans cette direction, datant des ann´ees 1950. La notion d’amplitude
elle-mˆeme illustre les liens profonds entre les aspects alg´ebrique et analytique de la
9g´eom´etrie des fibr´es vectoriels. En fait, d’un point de vue alg´ebrique, un fibr´e en droitesL
⊗ksurunevari´et´ecompacteX estditamplesil’espacedessectionsglobalesdeL d´efinitun
Nplongement deX dans un espace projectifP , pourk>> 1. L’amplitude est ainsi d´efinie
par l’abondance des sections globales. Du point de vue de la g´eom´etrie diff´erentielle, le
∞fibr´eendroitesLestditamples’ilposs`edeunem´etriquehermitienneC dontlaformede
courbure est d´efinie positive. Ces deux d´efinitions sont en fait ´equivalentes, et l’existence
d’un fibr´e en droites ample sur une vari´et´e compacte X est une condition n´ecessaire et
suffisante pour que X soit projective.
La notion de projectivit´e peut ˆetre affaiblie en une version bim´eromorphe donnant
lieu a` la notion de vari´et´e de Moishezon. Une vari´et´e compacte X est dite de Moishezon
si sa dimension alg´ebrique (i. e. le degr´e de transcendance du corps K(X) des fonctions
m´eromorphes surX) est maximale, ´egale `an =dim X. De mˆeme, la notion d’amplitudeC
d’un fibr´een droites aun correspondant bim´eromorphe plus faible,lanotiondefibr´e gros.
Alg´ebriquement, le fibr´e en droites L sur la vari´et´e compacte X, dimX =n, est dit gros
0si la dimension h (X,mL) des espaces de sections globales de ses puissances tensorielles
⊗m nL est de l’ordre de croissance maximal, `a savoir m , pour m >> 1. Ainsi, l’espace
0 ⊗m ⊗mH (X,L ) des sections globales de L d´efinit un plongement bim´eromorphe de X
dans un espace projectif, pour m>>1. La` aussi, des ´equivalents analytiques existent.
Le plus remarquable est celui donn´e par Y. T. Siu ([Siu85]) en d´emontrant une
version g´en´eralis´ee de la conjecture de Grauert-Riemenschneider. Elle affirme qu’un fibr´e
en droites L sur une vari´et´e compacte X est gros d`es que L poss`ede une m´etrique
∞hermitienne C dont la forme de courbure est semi-positive partout et d´efinie positive
en un point. Un r´esultat compl´ementaire de S. Ji et B. Shiffman ([JS93]) affirme que
l’existence d’une m´etrique hermitienne, ´eventuellement singuli`ere, dont le courant de
courbure est strictement positif (courant ka¨hl´erien dans leur terminologie), est une condi-
tion n´ecessaire et suffisante pour qu’un fibr´e en droites L→X sur une vari´et´e compacte
soit gros. Cette deuxi`eme caract´erisation ne demande plus la r´egularit´e de la m´etrique
hermitienne, mais demande en contrepartie une condition plus forte de positivit´e.
Un progr`es substantiel dans cette direction a ´et´e fait en 1985 par J.- P. Demailly
([Dem85])peuapr`esler´esultatdeY.T.Siu([Siu85]).Sesin´egalit´esdeMorseholomorphes
ontpermisdeg´en´eraliserencoredavantageleth´eor`emedeSiu,enaffaiblissantl’hypoth`ese
de positivit´e sur la courbure du fibr´e L. Un autre progr`es important, le th´eor`eme de
r´egularisation des courants, duˆ ´egalement a` J.- P. Demailly ([Dem92]), a permis a` S. Ji et
B. Shiffman d’obtenir le r´esultat mentionn´e ci-dessus, simultan´ement avec un travail de
L. Bonavero ([Bon93]) qui obtenait ind´ependamment un r´esultat ´equivalent.
Notre travail dans la derni`ere partie de la th`ese s’est concentr´e sur une g´en´eralisation
du th´eor`eme de r´egularisation des courants de J.- P. Demailly, qui n’existe encore que
conjecturalement, et qui permettrait de faire un autre progr`es substantiel dans la conti-
nuation de ceux d´ecrits ci-dessus. Elle permettrait, entre autres, d’obtenir une version
singuli`ere des in´egalit´es de Morse holomorphes de J.- P. Demailly (une telle version, due
a` L. Bonavero ([Bon93]), existe d´ej`a dans le cas particulier d’une m´etrique ayant un type
sp´ecial de singularit´es, appel´ees analytiques). Elle permettrait aussi d’obtenir le r´esultat
10