These de Doctorat de Mathematiques de l'Universite Joseph Fourier Grenoble I

Joseph Fourier

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
These de Doctorat de Mathematiques de l'Universite Joseph Fourier (Grenoble I) Quelques applications des methodes effectives en geometrie analytique Dan Popovici soutenue a Grenoble le vendredi 24 octobre 2003 devant le jury : Laurent Bonavero (Universite de Grenoble 1) Jean-Pierre Demailly (Universite de Grenoble 1) (directeur) Christiaan Peters (Universite de Grenoble 1) Nessim Sibony (Universite de Paris Sud) Henri Skoda (Universite de Paris 6) (President) au vu des rapports de : Bo Berndtsson (Universite de Goteborg) Nessim Sibony (Universite de Paris Sud) 1

• coherence des faisceaux d'ideaux multiplicateurs avec estimations


• demonstration du theoreme


• faisceau d'ideaux multi- plicateurs


• correspondance de kobayashi-hitchin sur les varietes kahleriennes compactes


• courant


• theoreme de prolongement l2 de jets de sections holomorphes


• version effective de la generation globale des faisceaux d'ideaux multiplicateurs

Sujets

• Fourier
• Demailly
• Courant

Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
• Publié le: 01 octobre 2003
• Nombre de lectures: 57
• Langue: Français

Extrait

Th`ese de Doctorat de Math´ematiques de
l’Universit´e Joseph Fourier (Grenoble I)
Quelques applications des m´ethodes
effectives en g´eom´etrie analytique
Dan Popovici
soutenue a` Grenoble le vendredi 24 octobre 2003 devant le jury:
Laurent Bonavero (Universit´e de Grenoble 1)
Jean-Pierre Demailly (Universit´e de Grenoble 1) (directeur)
Christiaan Peters (Universit´e de Grenoble 1)
Nessim Sibony (Universit´e de Paris Sud)
Henri Skoda (Universit´e de Paris 6) (Pr´esident)
au vu des rapports de:
Bo Berndtsson (Universit´e de Go¨teborg)
Nessim Sibony (Universit´e de Paris Sud)
1Quelques applications des m´ethodes
effectives en g´eom´etrie analytique
Dan POPOVICI
2R´esum´e. On g´en´eralise d’abord le th´eor`eme de prolongement L d’Ohsawa-Takegoshi-
Manivel au cas des jets de sections holomorphes d’un fibr´e en droites hermitien au-dessus
d’unevari´et´eka¨hl´erienne faiblementpseudoconvexe. Ondonneensuiteuned´emonstration
simple, en ´etudiant un courant de type (1,1), d’un r´esultat d’Uhlenbeck et Yau qui avait
permis d’´etablir la correspondance de Kobayashi-Hitchin sur les vari´et´es ka¨hl´eriennes
compactes. Dans la troisi`eme partie on ´etudie une conjecture sur l’existence de r´egu-
larisations des courants quasi-positifs ferm´es, avec controˆle des masses deMonge-Amp`ere,
qui permettrait d’obtenir une nouvelle caract´erisation des vari´et´es de Moishezon g´en´e-
ralisant celles de Siu et de Demailly qui r´epondaient a` la conjecture de Grauert-Riemen-
schneider. Ondonneuneestimationuniformedelapertedepositivit´edansleth´eor`emede
r´egularisationdescourantsdeDemaillyetonobtientuneversioneffective delag´en´eration
nglobale des faisceaux d’id´eaux multiplicateurs sur un ouvert pseudoconvexe deC .
Mots-cl´es: Courant quasi-positif ferm´e, ensemble analytique, faisceau d’id´eaux multi-
plicateurs, faisceau de jets, fibr´e holomorphe hermitien, fonction plurisousharmonique,
masses de Monge-Amp`ere, nombre de Lelong, sous-fibr´e faiblement holomorphe, vari´et´e
ka¨hl´erienne faiblement pseudoconvexe
2Abstract.WegeneralizefirsttheOhsawa-Takegoshi-ManivelL extensiontheoremtothe
case of jets of sections of Hermitian holomorphic line bundles on weakly pseudoconvex
Ka¨hler manifolds. Then we give a new simple proof of a theorem of Uhlenbeck and Yau
that was the main technical difficulty in their proof of the Kobayashi-Hitchin corres-
pondence on compact Ka¨hler manifolds. This is done via a (1,1)-current interpreted a
posteriori as the curvature current of some quotient bundle. Thirdly, we investigate a
conjecture on the existence of regularizations of closed almost positive currents whose
Monge-Amp`ere masses are under control on a compact not necessarily Ka¨hler manifold.
This would yield a new characterization of Moishezon manifolds generalizing those of Siu
and Demailly given in response to the Grauert-Riemenschneider conjecture. We give a
uniform estimate of the loss of positivity in Demailly’s regularization-of-currents theorem
and an effective version of the global generation property of multiplier ideal sheaves on
npseudoconvex open sets ofC .
´CLASSIFICATION MATHEMATIQUE
32J25, 32U05, 32U40, 32J27, 14C30, 53C05
2Jedoisa`mondirecteurdeth`eseJean-PierreDemaillytoutemaformationmath´ematique
de recherche. Les mots ne pourraient assez exprimer ma reconnaissance.
Je remercie ´egalement les rapporteurs et les membres du jury qui m’honorent par leur
participation.
Jepenseaussi`amafamilleeta`mesamisdontj’aitoujoursappr´eci´elesencouragements.
34Table des mati`eres
0 Introduction 6
21 Un th´eor`eme de prolongement L de jets de sections holomorphes d’un
fibr´e en droites hermitien 14
1.0.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.0.2 Rappels et pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.0.3 D´emonstration du th´eor`eme 1.0.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.0.4 Estimation de la solution dans le th´eor`eme 1.0.1.5 . . . . . . . . . . 33
1.0.5 Un th´eor`eme de comparaison de type Rauch . . . . . . . . . . . . . 35
1.0.6 Estimation finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.0.7 Le cas d’une sous-vari´et´e singuli`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Une preuve simple d’un r´esultat d’Uhlenbeck et Yau 47
2.0.8 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
∞2.0.9 Rappels et pr´eliminaires: cas C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.0.10 Le cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.0.11 Un lemme sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.0.12 D´emonstration du th´eor`eme 2.0.8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3 Versuner´egularisationdescourantsaveccontrˆoledesmassesdeMonge-
Amp`ere 76
3.0.13 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.0.14 Rappels et pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.0.15 Estimation de la perte de positivit´e pour les courants r´egularisants 88
3.0.16 Coh´erence des faisceaux d’id´eaux multiplicateurs avec estimations . 98
3.0.17 Annexe A: Un probl`eme de th´eorie du potentiel en une variable
complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.0.18 Annexe B: Controˆle local des masses de Monge-Amp`ere . . . . . . 112
4 Bibliographie 117
5Chapitre 0
Introduction
L’objectif de cette th`ese est d’´etablir des r´esultats effectifs en g´eom´etrie analytique
complexe en vue d’applications a` l’´etude des vari´et´es compactes, non n´ecessairement
ka¨hl´eriennes,parexempleentermesd’existencedecourantspositifsferm´es.Lamotivation
premi`ere´etaitdepoursuivrel’´etudedecertainesquestionssoulev´eesparlasolutiondonn´ee
par Y. T. Siu ([Siu84, 85]) a` la conjecture de Grauert-Riemenschneider ([GR70]) et
par la g´en´eralisation, via des in´egalit´es de Morse holomorphes, due a` J.- P. Demailly
([Dem85]). Malgr´e des avanc´ees importantes dans cette direction, comme celles de L.
Bonavero ([Bon93]), de S. Ji et B. Shiffman ([JS93]), ou celle plus r´ecente et spectaculaire
de J.- P. Demailly et M. Paun ([DP01]), beaucoup reste `a faire et un certain nombre de
conjectures semblent encore hors de port´ee.
Deux types de m´ethodes effectives sont au coeur de cette th`ese. D’une part, il est fait
2un ample usage d’estimations L , notamment le th´eor`eme de prolongement d’Ohsawa-
Takegoshi-Manivel([OT87],[Man93]),leth´eor`emededivisiondeSkoda([Sko72b],[Sko78]),
2et les estimations L de H¨ormander pour l’op´erateur de Cauchy-Riemann ([H¨or65]).
D’autrepart,lath´eoriedescourants(quasi)-positifsferm´es,initi´eeparP.Lelong([Lel57]),
est au centre des pr´eoccupations de la derni`ere partie. Le th´eor`eme de r´egularisation des
courants deJ.-P.Demailly([Dem92])constitue `alafoisl’instrument etle pointded´epart
des investigations dans cette partie.
Voici une description des probl`emes abord´es dans la th`ese.
Premi`ere partie: une g´en´eralisation du th´eor`eme d’Ohsawa-Takegoshi
Soit X une vari´et´e complexe faiblement pseudoconvexe de dimension n, munie d’une
m´etrique ka¨hl´erienne ω, et Y ⊂X une sous-vari´et´e lisse ferm´ee de codimension r d´efinie
0comme le lieu des z´eros d’une section holomorphe s ∈ H (X,E) d’un fibr´e holomorphe
hermitien E →X de rangr. T. Ohsawa et K. Takegoshi ([OT87]) ont r´esolu le probl`eme
2du prolongement des fonctions holomorphes, avec estimations de la croissance L , de la
sous-vari´et´eY `alavari´et´eambianteX.Ult´erieurement, L.Manivel ([Man93])ag´en´eralis´e
ce r´esultat dans le cadre plus g´eom´etrique des sections holomorphes d’un fibr´e hermitien
satisfaisant certaines conditions de positivit´e.
Lepremierobjectifdecetteth`esea´et´eceluideg´en´eraliserleth´eor`emedeprolongement
62L d’Ohsawa-Takegoshi-Manivel aucasdesjetsdesectionsd’unfibr´ehermitien.SoitLun
fibr´eendroiteshermitiensatisfaisantcertainesconditionsdepositivit´e,etk≥ 0unentier.
k+1Alors, tout “k-jet transverse `aY,” a` savoir toute section du faisceau de jetsL⊗O /I ,X Y
2qui satisfait une certaine condition de croissance L , peut ˆetre prolong´ee en une section
2holomorphe globale de L sur X, avec controˆle de la norme L sur un compact arbitraire
de X.
k+10 n ⋆Pourunk-jetf ∈H (X,Λ T X⊗L⊗O /I )etunefonctionρ>0,nousd´efinissonsX Y
en tout pointy∈Y la norme ponctuelle pond´er´ee parρ et associ´ee a` la sections, comme
1 2 k 2˜ ˜|∇ f| |∇ f|2 2˜|f| (y):=|f| (y)+ (y)+···+ (y),s,ρ,(k) 1 k2 2r 2(r+1) r 2(r+k)r r|Λ (ds)| ρ |Λ (ds)| ρ
0 n ⋆˜ou` f ∈H (U,Λ T ⊗L) est un prolongement local de f a` un petit voisinage U ⊂X deX
j ∞ n ⋆ j