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Unaper¸cudemesprincipauxre´sultats...
Laper¸cucidessousre´sumelesprincipauxtravauxquejaieectue´sdepuisma th`ese(disonsdepuis1985),enessayantdeclasserlesr´esultatspargrandesrubriques. Demani`erege´ne´rale,cestravauxconcernentlapplicationdestechniquesdAnalyseet deG´eom´etriedi´erentiellecomplexes`ale´tudedequestionsdeGe´om´etriealge´brique ou analytique.
A)In´egalite´sdeMorseholomorphes Graˆce`aune´etudespectralenedelope´rateurdeLaplaceBeltramicomplexe, jaipud´emontrerdesine´galite´sdeMorseasymptotiquespourlaco`ealogihomo valeursdansunbre´vectorielholomorphe([22],1985).Cesin´egalite´smontpermis dobtenirunenouvelled´emonstrationdelaconjecturedeGrauertRiemenschneider surlacaract´erisationdesvari´ete´sdeMoishezon,sousdeshypothe`sesbeaucoupplus faiblesquecellesfaitesparSiudanssade´monstrationinitialedelaconjecture(1984). Ceside´esont´ete´reprisesdansles2ou3ansquiontsuiviparE.Getzler,J.M.Bismut, Y.T.Siu,TsujiNadeletparmese´tudiantsThierryBouche,G.Marinescu.Unregain dinte´rˆetsurlesujetestintervenudepuis1995(travauxdeG.Marinescu,L.Bonavero, S. Takayama, ...).
B)The´ore`mesdannulation
Dansunes´eriedarticles([27,28],1987et[30],1989),jaiobtenudesth´eor`emes dannulationnsetoptimauxpourlesbr´esline´airesouvectorielsholomorphes.Les techniquesutilise´escombinentdestechniquesalg´ebriques(cohomologiedesvari´ete´s 2 dedrapeaux,suitespectrales),avecdesr´esultatsdexistenceLnderormadeH¨opru lope´rateur8],2tdonn´onieeleL.traselci72[s`alaTh`esedemonuutle´irueeremtn e´tudiantLaurentManivel,quiabeaucoupde´veloppe´l´etudedesvari´et´esdedrapeaux etlesthe´ore`mesdannulationdanslespritdelathe´oriedeBorelWeiletduth´eore`me deBott.Letravail[30]a,quanta`lui,de´bouche´surunepreuveduc´el`ebrethe´ore`me dannulationdeNadel(cf.[35,36]),obtenuind´ependammentparNadelen1989.Jai r´edig´ea`diversesreprisesdesnotesdecoursfaisantlepointsurcesquestions(CIME 1994, ICTP Trieste 2000, ...)
C)Courants,op´erateursdeMongeAmpe`re,NombresdeLelong Dans cette rubrique figurent ([23], [24], 1987) et ([37], [38], [39], 1992).L’objet principaldecestravauxestdutiliserlanotiondenombredeLelong(oudensite´)dun courantpositifferme´,commealternative`alanotiondemultiplicit´eenge´om´etrie alge´brique,etlesope´rateursdeMongeAmp`erepluricomplexescommealternative a`lintersectiondescyclesanalytiquesoualg´ebriques.Jaipuainside´velopperune the´oriedelintersectiondescourants,etobtenirdesin´egalite´sutilessurlesstrates desensemblesde(sur)niveauxdesnombresdeLelongduncourantpositifferme´.Les articles[38]et[39]de´criventunproc´ed´eg´en´eraldere´gularisationdescourants,qui permetdecalculerdemani`erepre´ciselapertedepositivit´esubieparlesre´gularis´esen fonctiondelag´eom´etrieglobaledelavari´ete´.Outremesproprestravaux,cethe´ore`me der´egularisationa´ete´utilise´parplusieursauteurs(S.JiB.Shiman,L.Bonavero, vers199495).Lathe´oriedelintersectiondescourantsquejaide´veloppe´eaaussie´te´ reprisedanslecontextedele´tudedessyste`mesdynamiquesholomorphes(construction de courants invariants par E. BedfordJ. Smillie, N. Sibony, S. Cantat,. . .) 1