Varietes projectives hyperboliques et equations differentielles algebriques

Jean-Pierre Demailly

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Varietes projectives hyperboliques et equations differentielles algebriques Jean-Pierre Demailly Universite de Grenoble I, Institut Fourier Ces notes sont une version etendue d'un expose presente le 14 juin 1997 a l'occasion de la journee annuelle de la SMF en l'honneur de Henri Cartan, dont une pemiere version est parue dans le n? 73 de la Gazette des mathematiciens en juillet 1997, cf. [Dem97]. 0. Introduction Le but de ce texte est d'offrir une introduction aussi elementaire que possible a un resultat important concernant la geometrie des courbes holomorphes tracees dans les varietes algebriques complexes. Ce resultat trouve son origine dans les travaux fondamentaux d'Andre Bloch [Blo26a, 26b], et dans la These de Henri Cartan [Car28]. La demonstration que nous allons presenter est une contribution tres recente de Y.T. Siu et S.K. Yeung ([SiYe96b], [Siu97]). Elle s'obtient de maniere relativement simple a l'aide d'estimations classiques en theorie de Nevanlinna, comme le lemme de la derivee logarithmique, et par l'utilisation d'operateurs differentiels tels que les Wronskiens, toutes idees deja presentes en germe dans la These de Henri Cartan. Avant de passer a des enonces detailles, rappelons un peu de terminologie. On s'interessera particulierement aux varietes algebriques dites de type general. Rappelons qu'une forme de type (p, q) sur une variete complexe est une forme differentielle u de degre (p+ q) admettant dans tout systeme de coordonnees holomorphes (z1, .

• courbe


• section holomorphe globale du fibre


• choix de la section ?


• lien entre la geometrie des varietes


• surfaces dans p3c


• metrique de poincare sur le revetement universel de la courbe


• droite projective


• nulle ? du fibre


• fibre en droites holomorphe

Sujets

• Cartan
• Université Grenoble-I
• Demailly
• Courbe
• Droite projective

Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
• Publié le: 01 juin 1997
• Nombre de lectures: 43
• Langue: Français

Extrait

Vari´et´esprojectiveshyperboliqueset equationsdiffe´rentiellesalg´ebriques ´ Jean-Pierre Demailly Universit´edeGrenobleI,InstitutFourier

Cesnotessontuneversion´etendued’unexpose´pre´sent´ele14juin1997a`l’occasionde lajourne´eannuelledelaSMFenl’honneurdeHenriCartan,dontunepemie`reversion est parue dans le n ◦ 73.fc,7991seencitietlluinjezttdeseamhte´amdelaGa[Dem97].

0. Introduction Lebutdecetexteestd’offriruneintroductionaussi´ele´mentairequepossible`a unre´sultatimportantconcernantlage´ome´triedescourbesholomorphestrac´eesdans lesvari´et´esalge´briquescomplexesC´sultattrouvesonoriginedanslestravaux . e re fondamentauxd’Andre´Bloch[Blo26a,26b],etdanslaThe`sedeHenriCartan[Car28]. Lad´emonstrationquenousallonspr´esenterestunecontributiontr`esr´ecentedeY.T.Siu etS.K.Yeung([SiYe96b],[Siu97]).Elles’obtientdemanie`rerelativementsimple`a l’aided’estimationsclassiquesenthe´oriedeNevanlinna,commelelemmedelad´erive´e logarithmique,etparl’utilisationd’ope´rateursdiffe´rentielstelsquelesWronskiens,toutes id´eesde´j`apr´esentesengermedanslaTh`esedeHenriCartan. Avantdepassera`des´enonc´esd´etaill´es,rappelonsunpeudeterminologie.On s’inte´resseraparticuli`erementauxvarie´te´salge´briquesditesdeytepg´en´eral. Rappelons qu’une forme de type (p qtee´ra´ielexocpmnefoestuiff´ermedlleitnereur)sevunude degr´e(p+q)anttaetdme´nnohseocedodrostsyme`ensdauttos(lomorphez 1      z n ) une e´crituredutype u= X u IJ (z 1      z n )dz i 1 ∧  ∧dz i p ∧z j 1 ∧  ∧z j q  |I|=p|J|=q Lasommeci-dessuseste´tenduea`touslesmulti-indicescroissantsI= (i 1      i p ), J= (j 1      j q ) d’entiers de{12     n} appelle. Onp-forme holomorpheune forme de type (pceaue(oufaishotsenciefficoesss´rbfieL.sehpromolttuoyana)0  ) desp-formes holomorphes surXesoΩttnelletnemahe´utib p X  appelle. Onsection canonique, resp.section pluricanoniquedeXtoute section holomorphe globale du fibr´eendroitescanoniqueK X = Ω X n ste,oidsrperneu´fie.bdrK X ⊗k pour un certain entierk > section pluricanonique d’ordre0. Unekentcolemelae´’srircutpencdo h(z 1      z n )(dz 1 ∧  ∧dz n ) ⊗k avec des coefficients holomorphesh. On dit qu’une varie´te´Xde dimensionnest deyt´gepe´nelarsi le nombre de sections pluricanoniques d’ordrekest de l’ordre de grandeur dek n quandktend vers +∞.

2 JEAN-PIERRE DEMAILLY Par exemple siXest une hypersurface lisse dans l’espace projectif complexeP n C +1 de dimensionnqueioatpaienerud,1+nfie´omynolnpleia ´ σ(z 0  z 1      z n+1 ) = 0 h ` de de ´p, alors toute expression de la forme omogene gre c =q( ) P 06j6n+1 (−1) j z j dz 0 ∧dz 1 ∧   dz j   ∧dz n+1 u z  dσ de´finitunen-forme holomorphe surX`edqseulsroqnuopets`eneomogomehlynˆedede´rg p−(n+ 2) (en sorte queudege´r0eolm`gnedea´reitaien)t.eIp,air.heo.miontvhehost enre´sultefacilementqueXslari´gepe´nestetydep>ncaseusfredeseoriath´+3.L deRiemannmontredemˆemequ’unecourbe(compactelisse)estdetypegeneralsiet ´ ´ seulementsielleestdegenreaumoins2,c’est-`a-diren’estniP 1 C ni une courbe elliptique. Defa´quivalente,unecourbeestdetypege´ne´ralsietseulementsiellepeutˆetremunie con e ¸ d’uneme´triquehermitiennea`courbureconstanten´egative;ilsuffiteneffetdeprendrela me´triqueinduiteparlame´triquedePoincar´esurlerevˆetementuniverseldelacourbe,a` savoirledisqueunit´e.Cela´etant,ons’int´eresse`alaconjecturefondamentalesuivante, propose´eparGreen-Griffiths[GrGr80]etLang[Lang86,87]. 0.1. Conjecture.SoitXe´irae´tuavenxelisroletsieg´eetypal.An´errbqigle´ssdeeuil unesous-vari´ete´alge´briquepropreY(Xstonteanebruitneere`cnontellequetouteco f:C→Xest contenue dansY. Lesvarie´te´salge´briquesconsid´ere´esiciseronttoujoursdesvari´et´esprojectivesa`, savoirdesvari´ete´sde´finiesparunnombrefinid’e´quationspolynomialeshom`nes oge dansunespaceprojectifcomplexe.Lalocution“courbeenti`ere”de´signeraunecourbe holomorphed´efiniesurCelrutiafleuqne´’c´oneledonacctjetuoetntier.Insistonssrue inclutlecasdescourbesenti`erestranscendantes.Sielle´etaitvraie,ilenre´sulteraitque les courbes elliptiques ou rationnellesCartee´cssdanXsont toutes contenues dans un sous-vari´ete´alge´briqueY(XppaR(lgeabr´eueiqnole’uqscenubruoC⊂Xest dite rationnelle,resp.elliptique,sisad´esingularise´eestladroiteprojectiveP 1 C , resp. une courbe elliptique, i.e. un toreCΛ. Dans les deux cas, en effet, on a des applications holomorphesf:C→Cqui couvrentCires,ucilarti.Enpere)nti`eetuotXest une surfacedetypege´n´eral,alorsYserait de dimension6t1coartp,eenqu´ensXne devrait avoir qu’un nombre fini de courbes rationnelles ou elliptiques. Cette “toute petite”conse´quenceestencorelargementconjecturale,end´epitd’avanc´eesnotablesdues `aBogomolov[Bog77],Lu-Yau[LuYa90],Lu-Miyaoka[LuMi95,96],[Lu96],danslecas ou`onposecertainesconditionsnume´riquessurlesclassesdeCherndeX. Onditqu’unevari´et´ecomplexeXesthyperbolique au sens de Brodysi elle n’admet aucunecourbeentie`renonconstantef:C→X(lorsqueXest compacte, Brody [Bro78]amontre´quecela´equivauta`l’hyperbolicit´eausensdeKobayashi[Kob70],i.e.a` lanonde´ge´n´erescencedelapseudo-me´triquedeKobayashi).La`encore,lasituation est relativement claire en dimension 1, une courbe complexe est hyperbolique si et seulementsisonreveˆtementuniverselestledisque,enparticulierunecourbealgebrique ´ complexeesthyperboliquesietseulementsielleestdetypege´ne´ral(i.e.degenreau