Bac Blanc de Mathématiques de niveau Terminale

Kdouh

Description

Avec correction. Bac-blanc-term stl-ch-2011
Bac Blanc en Mathématiques (2011) pour Terminale STL CH

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Informations

• Publié par: ressources-de-terminale
• Nombre de lectures: 1 550
• Langue: Français

Extrait

MATHEMATIQUES

Baccalauréat blanc - STL- Chimie de laboratoire et de procédés industriels

 Session 2010-2011

Le candidat traitera obligatoirement les deux exercices et le problème. Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

L'utilisation des calculatrices électroniques, programmables, alphanumériques ou à écran graphique est autorisée, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit fait usage d'aucune imprimante. Chaque candidat ne peut utiliser qu'une seule machine sur sa table.

En cas de défaillance, elle pourra cependant être remplacée. Cependant, les échanges de machines entre candidats, la consultation des notices fournies par les constructeurs ainsi que l'échange d'informations par l'intermédiaire des fonctions de transmission des calculatrices sont interdits. ( circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999 ).

Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.

Ce sujet nécessite deux feuilles de papier millimétré.

Coefficient : 4 Durée : 3 heures

- Ce sujet comporte 5 pages-

N.Bformulaire et la feuille annexe sont à rendre avec la copie: Le

1

EXERCICEpoints1 – 5,5

 Dans cet exercice, l'unité de temps est l'heure et l'unité de température est le degré Celsius.  A l'instantt= 0, une tarte sort d'un four, à la température de 220°. Elle est alors placée dans une salle f(t)  à 20°. On désigne par la température de la tarte à l'instantt. On définit ainsi une fonction f dérivable  sur l'intervalle [0; #¥ [ . On note f' la fonction dérivée de la fonction f . f'(t)  On suppose que la vitesse de refroidissement de la tarte est proportionnelle à la différence entre la  température de la tarte et celle de la salle, c'est-à-dire f(t) % 20  On admet donc qu'il existe un nombre réel l tel que, pour tout nombre réel positift, f'(t) 1l f(t) % 20 [ ] 1.On pose : y(t) 1 f(t) % 20 y y'(t)1ly(t) a)Montrer que la fonction ainsi définie est solution de l'équation différentielle sur  l'intervalle [0; #¥ [ b)Résoudre cette équation différentielle sur l'intervalle [0; #¥ [ .

lt c)En déduire que, pour tout nombre réel positift, f ( t ! 1Ce# 20 , oùCest un nombre réel.

d)En utilisant la valeur de f(0) , déterminerC. 2. 1 a)Au bout d'un quart d'heure (c'est-à-dire pour t 1 ), la température de la tarte est égale à 60°. 4 ( %4 ln 5 ! t  Montrer que, pour tout nombre réel positift, f ( t ! 1200e#20 b)Déterminer la température de la tarte au bout d'une demi-heure.

3. cette question est indépendante de deux questions précédentes y a)Résoudre l’équation différentielle (E) : y" # 25y 1 0 est une fonction de la variable réelle, où t ,  définie et deux fois dérivable sur l’ensemble ¡ des nombres réels .

 b)Déterminer la fonction f , solution de l’équation différentielle précédente, qui vérifie les conditions  suivantes : f ( p ! 1 % 3 et f' p1 5 . ( ! æ p 1 #  c)Vérifier que , pour tout nombre réel t , f(tcos 5) 2 t . ç ¸ è 6 ø

EXERCICE 2 – 4tsinop5,

 Dans cet exercice toutes les probabilités sont données sous forme de fraction.  Une urne contient des boules de couleur numérotées .

B ● Une boule blanche numérotée1 , que l’on note 1 ;

R R ● Deux boules rouges numérotées 2 et 3 , que l’on note 2 et 3 ;

2

V V V ● Trois boules vertes numérotées 1 ; 2 et 3 , que l’on note 1 , 2 et 3 .  Les boules sont indiscernables au toucher.

1. On extrait une boule de l’urne, puis une deuxième, sans avoir remis dans l’urne.  On appelle résultat un couple dont le premier élément est la boule obtenue au premier tirage , et  le second celle obtenue au second tirage. ( R;V !  Par exemple 2 3 est un résultat ; il signifie que la première boule est rouge numérotée 2  et que la deuxième boule est verte numérotée 3.  Pour répondre aux questions posées on peut s’aider d’un arbre ou d’un tableau.

a )Déterminer le nombre de résultats possibles.

b)On admet que tous les tirages sont équiprobables.  Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : A: « Les deux boules sont de la même couleur » ;

 B: « le produit des numéros inscrits sur les boules est 6 » ;

C: « Il y a au moins une boule blanche ».

2. Un jeu consiste à tirer 2 boules de l’urne , selon la méthode décrite dans la question 1.  On note X la variable aléatoire qui associe , à chaque résultat, produit des numéros inscrits sur les deux  boules .  Exemple : on associe au tirage B 1 ;V 2 le nombre 2 car 1 ´21 2 . ( !

a )Donner toutes les valeurs que peut prendre la variable aléatoire X .

1 b )Montrer que la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur 9 est égale à . 15

c )Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X sous forme de tableau.

d ) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X .

PROBLÈME - 10 points

Partie A 1 x  Soit la fonction f définie sur l’ensemble ¡ des nombres réels par : f(x) 1 (2 % x)e . 2  Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;i,j) (unité graphique : 2 cm ).  On notela courbe représentative de la fonction f dans ce repère.

x 1 x f(x) 1 e % x e 1. En observant que, pour tout nombre réelx, , déterminer la limite de la fonction 2 ¥ f en . Que peut-on en déduire pour la courbe?

f #¥ 2. en .Déterminer la limite de la fonction

3

f' f 3. surla fonction dérivée de la fonction On note ¡ . 1 x a)Démontrer que, pour tout nombre réelx, f'(x) 1 ( 1 % x ! e . 2

b)Étudier le signe de f'(x) suivant les valeurs dex.

%1 c)Calculer la valeur exacte de f ( 1 ! . En donner une valeur approchée à 10 près.

d)Dresser le tableau de variations de la fonction f sur ¡ .

Partie B

1. On note T la tangente à la courbe au point d’abscisse 2.(voir annexe) 2 e  Montrer que la droite T a pour équation : y1(2%x) . 2 2. 2 e a)On considère la fonctiongdéfinie sur ¡ par g(x)1(2%x)%f(x ) . 2 1 2x  Vérifier que, pour tout nombre réelx, g(x)1(2%x) ( e%e ! 2 b)Étudier le signe de g(x) ¸ suivant les valeurs dex.

c) En déduire la position de la courbe

par rapport à la droite T .

3. Sur le même graphiquedonné en annexe, construire la partie de la courbe  valeurs dex appartenant à l’intervalle [%4 ;3 ] .

correspondant aux

Partie C 2 2 1e æ x ö x G(x) 1 (x % 3)e # 2x % 1. Soit la fonction G définie sur ¡ par ç ¸ . 2 2 2 è ø ion G sur ¡ . Cal ¢ ( ) is conclure .  On note G la dérivée de la fonct culer G x , pu

2. On note D , la droite T et les droites d’équationsle domaine plan limité par la courbe  respectivesxet= 0 x= 2 . a)Hachurer le domaine D sur le graphique représentant la droite T et la courbe. b)Calculer la valeur exacte de l’aire A , exprimée en unités d’aire, du domaine D .  En donner la valeur arrondie au centième.

4

Nom :…………………………………….. Prénom : ………………………………..

 Annexe à rendre avec la copie

-4

-3

-2

-1

y

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

T

1

2

3

4 x

5

Correction du bac blanc de mathématiques –30 mars 2010 Exercice1 y(t)1f(t)%20 y'(t)1f'(t) 1.a) On a : .Donc :  Or, on sait que : f'(t) 1l f(t) % 20 d'où y'(t) 1l y(t) [ ] y' 1l y  Donc la fonctiony.est bien solution de l'équation différentielle lt quation différentielle est donnée par y(t) un réel. est 1. b) L'ensemble des solutions de l'é y' 1l y 1 Ce où C l t 1. c) On a y t 1 f t % : 20( ) ( ) donc f(t) 1 y(t) # 20 1 Ce # 20 oùCest un réel. 0 1 1. d) On utilise la condition initiale f(0) 220 :f(0) 1 220 Û Ce # 20 1 220 Û C # 20 1 220 Û C 1 20. l t  Donc la solution est donnée par : f(t) 1 200e # 20 æ 1 ö 2. a) On sait que f 1 60 : ç ¸ è 4 ø 1 l l l l æ ö æ 1 ö 1 æ 1 ö l 4 4 4 4 f 1 60 Û 200e # 20 1 60 Û 200e 1 40 Û e 1 Û ln ç e ¸1 ln %Û 1 ln 5 Ûl1 % 4 ln 5 ç ¸ç ¸ ç ¸ è 4 ø 5 è 5 ø 4 è ø ( % 4 ln 5)t  Donc : f(t) 1 200e # 20 1 1 ( %4 ln 5 ! æ 1 ö %2 ln 5 2 2. b)Température au bout d'une demi-heure, donc pour t 1 : f 1 200e # 20 1 200e # 20 1 28 ç ¸ 2 è 2 ø Donc la température est de 28°C au bout d'une demi-heure. 3 2 2 a. y"#25y1 de la forme : 0 est y"#wy1 0 avec w1 25 , donc w1 5 et l’ensemble des solutions  a pour expression : y1Acoswx ! #Bsin ( wx ! 1Acos ( 5x ! #Bsin ( 5x ! . ( b. on a : f(x)1Acos ( 5x ! #Bsin ( 5x ! et f'(x)1 %5Asin 5x#5Bcos 5x . ( ! ( ! f(p)1Acos ( 5p ! #Bsin ( 5p ! 1 %A1 %3 , donc A13 f'(p)1 %5Asin 5p#5Bcos 5p1 %5B15 , donc B1 % 1. ( ! ( ! p1  La solution f de l’équation différentielle , qui vérifie les conditions : f(p)1 3 et f5'( )  est donnée par : f(x)13 cos ( 5x ! %sin ( 5x ! . é ù æ p æ ö é p ö æ pù ö 3 1 2 cos 5t# 12 cos ( 5t ! cos%sin ( 5t ! sin12 cos ( 5t ! %sin ( 5t ! ê ú ç ¸ ê ç ¸ ç ¸ú c. è 6 ø ë è 6 ø è 6 ø 2 2 û ë û . 13 cos ( 5t ! %sin ( 5t ! 1f(t) EXERCICE2 1. Tableau traduisant la situation :

1ère boule

B 1

R 2

R 3

V 1

V 2

2ième boule B B R B R B V B V 1 ( 1 ; 2 ) ( 1 ; 2 ) ( 1 ; 1 ) ( 1 ; 2 ) R R B R R RR V V 2 ( 2 ; 1 ) ( 2 ; 3 ) ( 2 ; 1 ) ( 2 ; 2 ) R B R R R V R V 3 (R3 ; 1 ) ( 3 ; 2 ) ( 3 ; 1 ) ( 3 ; 2 ) V V R R V V V 1 ( 1 ; B 1 ) ( V ; 2 ) ( 3 ; 1 ) ( 1 ; 2 ) 1 V V V R V R 2 ( 2 ; B 1 ) ( 2 ; 2 ) ( 2 ; 3 ) ( V 2 ; V ) 1 V V B V R V V V V 3 ( 3 ; 1 ) ( 3 ; R 2 ) ( V ; 3 ) ( 3 ; 1 ) ( 3 ; 2 ) 3  a. Le nombre de résultats possibles est 6 ´ 5 1 30  b. A : « Les deux boules sont de la même couleur. ». L’événement A correspond à :

V 3

B ( 1 ; V 3 ) R V ( 2 ; 3 ) R V ( 3 ; 3 ) V ; V 3 ( 1  ) V V ( 2 ; 3 )

6

R R R R V V V V V V V V V V V V  A={( 2 ; 3 )/ ( 3 ; 2 )/ ( 1 ; 2 ) / ( 1 ; 3 )/ ( 2 ; 1 )/ ( 2 ; 3 )/ ( 3 ; 1 )/ ( 3 ; 2 )} 8 4  Donc p(A) 1 1 30 15  B : « Le produit des numéros inscrits sur les boules est 6. »  L’événement B correspond à : R R R R R V R V V V V V V R V R  B={( 2 ; 3 )/( 3 ; 2 )/ ( 2 ; 3 () / 3 ; 2 )/ ( 2 ; 3 ) / ( 3 ; 2 )/( 2 ; 3 )/( 3 ; 2 )}. 8 4  Donc p(B) 1 1 30 15  C : « Il y a au moins une boule blanche. » . L’événement C correspond à : B R B R V B V B V R B R B V BB V  C ={ ( 1 ; 2 )/ ( 1 ; 2 )/ ( B 1 ; 1 ) / ( 1 ; 2 )/ ( 1 ; 3 )/ ( 2 ; 1 )/ ( 3 ; 1 )/ ( 1 ; 1 )/ ( 2 ; 1 )/ 10 1 V B  ( 3 ; 1 ) }. Donc p(C) 1 1 30 3 1 { } 2. a. Les valeurs que peut prendre la variable aléatoire X sont : X1; 2; 3; 4; 6;9 . 2 1 ( X 1 9 ! R V V R p ( X 1 9 ! 1 1  b. correspond au cas : ( 3 ; 3 ) et ( 3 ; 3 .). Donc 30 15 2 1 ( 1 ! B V V B ( 1 ! 1 1 c. X1 correspond au cas : ( 1 ; 1 )/ ( 1 ; 1 ) , donc p X1 30 15 ( ! B R R B B V V R R V V V V B X 1 2 correspond au cas : ( 1 ; 2 )/ ( 2 ; 1 )/ ( 1 ; 2 ) / ( 2 ; 1 )/ ( 1 ; 2 ) / ( 1 ; 2 ) /( 2 ; 1 ) / 8 4 V V ( !  ( 1 ; 2 ). p X121 1 30 15 ( 1 ! V V B B R V V V V V V B X3 (correspond au cas : B 1 ; 3 () / 3 ; 1 )/ (R3 ; 1 ) / ( 3 ; 1 ) / ( 1 ; 3 ) / ( 1 ; 3 )/( 3 ; 1 )/ 8 4 V ( 1 ! 1 1  ( 3 ; V 1 ) . p X3 30 15 2 1 ( V V p ( X 1 4 ! 1 1 X 1 4 ! correspond au cas : ( 2 ; R 2 ) / ( R 2 ; 2 ). 30 15 ( 1 ! RR R V R V R R V R V R V V X6 correspond au cas : ( 2 ; 3 )/ ( 3 ; 2 )/( 2 ; 3 ) /( 3 ; 2 ) / ( 3 ; 2 )/ ( 2 ; 3 ) /( 2 ; 3 ) / 8 4 V  ( 3 ; V 2 ). p ( X 1 6 ! 1 1 30 15 2 1 ( 1 ! R V R ( 1 ! 1 1 X9 correspond au cas : ( 3 ; V 3 ) et ( 3 ; 3 ). p X9 30 15  Loi de probabilité de la variable aléatoire X : X 1 x 1 2 3 4 6 9 i 1 4 4 1 4 1 P ( X 1 x ! i 15 15 15 15 15 15 d. Espérance mathématique de la variable aléatoire X : 1 4 4 1 4 1 58 E X 1 1 ´ # 2 ´ # 3 ´ # 4 ´ # 6 ´ # 9 ´ 1 » 3,87 . ( ! 15 15 15 15 15 15 15 PROBLÈME Partie A 1 1 x x x f(x) 1 (2 % x)e 1 e % x e 1. 2 2 x 1 x x lime 1 0  On sait que et que limxe 1 0 donc lim % xe 1 0 , par conséquent, par somme de limites x |%¥ 2 x |%¥ | x %¥ limf(x)10  .On peut donc en déduire que la courbeC admet la droite d’équationy= 0 comme x|%¥  asymptote horizontale au voisinage de . 1 x 1 1 x lime 1 #¥ f(x) 1 (2 % x) ´ e lim (2 % x) 1 lim % x 1 % 2. . On a : et x |#¥ 2 2 2 x |#¥ |# x ¥

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