Corrig é du DS n ° 5 – 28 f é vrier 2013

Agn?S

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Avec correction. Ds février 2013 obli et spé
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2013) pour Terminale S

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Extrait

Corrigédu DS n°5 – 28 février 2013

Exercice 1 (5 points) Pondichéry 2010 Partie A - Restitution organisée de connaissances : Soitaetbdeux réels tels quea<betfetgdeux fonctions continues sur l’intervalle [a;b]. On suppose connus les résultats suivants : b b b ( af ( t ! #bg ( t ! ! dt1af ( t ! dt#bg ( t ! dt b ò a a ò a ò a ·Pour tous réels et : . b f ( t ! dt³0 t Î a b f ( t ! ³0 ò a [ ; ] ·Si pour tout , alors . b b f ( t ! dt£g ( t ! dt Î f ( t ! £g ( t ! ò a a ò t [ a;b ] Montrer que : si pour tout , alors . f g [a;b]g % f[a;b] et sont deux fonctions continues sur un intervalle donc est continue sur . b ( g(x)%f(x) ! dx…0 [a;b],f(x)„g(x) g(x)%f(x)…0 ò a x Pour tout de donc donc b b b b b b [g(x)%f(x)]dx=g(x) dx%f(x) dx [g(x)%f(x)]dx…0 g(x) dx%f(x) dx…0 ò a a ò a ò ò a ò a a ò  et donc soit b b g(x) dx…f(x) dx ò a a ò .

Partie B n 1 # x [ 0 ;# ¥ [ f n ( x ! ln ( 1 ! Soitnun entier naturel non nul. On appellef n par et la fonction définie sur on 1 n I 1 ln ( 1 # x ! dx ò 0 f n (O;i,j) n pose . On note C n la courbe représentative de.dans un repère orthonormal f #¥ 1 1.a.Déterminer la limite deen . [0 ; # ¥ [,f(x) = ln(1 # x) x 1 Pour tout de .

X= 1 # x, limX= #¥ lim lnX f(X) = lnX x |#¥ 1 X |#¥ Soit ; or

f [ 0 ;# ¥ [ 1 b.Étudier les variations desur . f 1 est la composée de deux fonctions :

= #¥ limf(x) = #¥ 1 x |#¥ donc .

xa1

xa

l

f ¢ (x) 1

Pour t

Fest b

I 1 n

2.

Pour t xa1  . n n [0 ;1] , 0„x„1 1„1#x„2 x Pour tout de donc . n ln1„ln ( 1 # x ! „ln 2 ]0 ; # ¥ [ La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur donc . f n [0 ;1] x [0 ;1], 0„f(x)„ln 2 n La fonction est continue sur et pour tout de . 1 n, 0„I„ln 2 d 0 ò n n 0„I„ln 2 Donc pour tout entier naturel non nul , soit .

b.Étudier les variations de la suite (I n ). n [0 ;1] , 0„x„1 x…0, 0„ x Pour tout de donc par produit par

n#1n n # 1n x„x 1„1 # x„1 # x puis .

Page2sur9

La fon

, soit

Les fo .

La sui

La sui

3.

g est

contin

Pour t

n n ln ( 1#x ! £x toutx.réel positif, on a g [0 ; # ¥ [ g(0) = 0 g [0 ; # ¥ [ est strictement décroissante sur et donc est strictement négative sur . n g ( x ! „0 n x n x Si est un réel positif alors pour tout entier naturel non nul, est un réel positif donc donc n n ln ( 1 # x ! % x„0 n x pour tout entier naturel non nul, et pour tout réel positif, on a : soit n n ln ( 1 # x ! „x .

Page3sur9

Les fo

0„ln

Comm

Exerci

L’espac On con

1. æ 3 uuur ç AB2 ç ç %2 è

AB1

æ 3 uuur ç AB2 ç ç ¸ %2 è ø

¸ 1 è ø

cos ( donc

!

5´17 et

cos è

» ¸ 5´17 ø

.

c.ue les ointsEn déduire A,BetCne sont nés.as ali Si les pointsA,BetCétaient alignés, ils formeraient un angle de 0° ou 180°, ce qui n’est pas le cas donc les pointsA,BetCne sont pas alignés.

2.Vérifier u’une cartésienne du é uation lanABCest : 2x –+ 2z+2 = 0. Trois points non alignés définissent un plan, il suffit de vérifier que les coordonnées de chacun des points vérifient l’équation du plan... Ainsi une équation cartésienne de (ABC) est : 2x –y+ 2z+2 = 0.

3.

Soient P 1 et P 2 les plans d’équations respectivesx+y –3z+3 = 0 etx –2y+ 6z= 0.

Page4sur9

P 1 :x vecteu droite On co (–2) – Cette

4.

Pour d satisfa

le sont

5.

Une é

Questi d’initia . . Comme dans la question 4, cherchons un réeltqui vérifie les équations de D et de S : 2 2 2 2 2 ( %2%1 ! # ( 3t%1#3 ! ( #t1% ! 91 Û10t1#0t5# 10Û2t#2t#110 : ce trinôme a un discriminant négatif donc un teltn’existe pas et S et D ne s’interceptent pas.

c. Démontrer lanue le ABChère S.ent à la s est tan 2´1%3#2´1#2 d ( W, P ! 1 13 2 2 2 2#1#2 Distance entre le centre de la sphère et le plan : , soit le rayon de la sphère, d’où le résultat.

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Exerci f Soit

On dési a Soit

Sur la c segmen C . On

Le but hachur

PARTI

1. La fo primiti

2.

F'(x)

( a x #

soit

et

1 x xe dx= 1 ò 0 3.ue .En déduire 1 x0 xe dx=F(1) % F(0) 1 0 % ( 1 % ´ e ! 0 ò

 donc

4.(a) Donner l'aire du triangle OAA’ et montrer que l'aire du trapèze ABB’A’ est égale à 1 2a a ( % ae # ae % ae # e ! 2 . 1 11 1 a2aa a2a A(OAA') =a´ae =aeA(ABB'A') = ( ae#e ! ´(1%a) = ( ae%ae#e%ae ! 2 22 2  et .

Page6sur9

Les se somm

l’axe d

1 2a ae 2

PARTI

g Soit

1.

Toutes g Puis

2.

On sai

on conclut que la fonction

est croissante (strictement) sur

.

g ¢ (x) = 0 a [0 ; [ # ¥ 3.dans l'intervalle admet une solution unique Établir que l'équation . % 1 a 10 Déterminer une valeur approchée de à près. ' ' g1(0) = %e < 0 g(1) = e > 0 On a et . ' '' g g(0) < 0 g(1) > 0 Donc la fonction monotone croissante et croissante sur [0 ; 1] de à s’annule une seule fois sur cet intervalle. ' aÎ [0 ;1] g(a) = 0 Il existe donc un réel tel que . 0, 5 < a < 0, 6 La calculatrice donne : .

Page7sur9