Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau CPGE

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Courbes paramétrées
Cours, Chapitre en Mathématiques (2012) pour CPGE 1 MPSI

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• Langue: Français

Extrait

Plan de cours

Chapitre:

Courbesparame´tre´es

2 1Limitesetde´rivabilite´desfonctions`avaleursdansR 1.1De´finitions............................................. 1.2Proprie´te´s.............................................

2Courbesparame´tre´es 2.1D´efinitionetg´ene´ralit´es.......... 2.2 Etude locale . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1Ge´ne´ralite´s............. 2.2.2 Tangentes . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Les branches infinies . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3Trac´edescourbesparame´tre´es 3.1 Un exemple: Courbe de Lissajous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2Re´ductiondel’intervalled’´etude................................

4Courbesencoordonn´eespolaires 4.1Ge´n´eralite´s............................................ 4.2 Etude des tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Etude des asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4Unexemple:lacardioı¨de.....................................

1

1.1

2 Limitesetd´erivabilite´desfonctions`avaleursdansR

D´efinitions

2 Soitf:I→Ro,u`Iest un intervalle deR.

•On appellecomposantes de fet on notex, yles fonctions deIdansRtelles que :

∀t∈I, f(t) = (x(t), y(t))

1

1 1 2

3 3 4 4 4 5

6 6 6

7 7 7 8 8

2 •Soitt 0 ∈I, l∈Rdit que. On f tend vers lquandttend verst 0 lorsque:

limkf(t)−lk= 0⇒lim|x(t)−l x |= 0⇒limx(t) =l t→t 0 t→t 0 t→t 0

1 •On dit quefest declasseCrivableleisseele´dt`ad´eriv´eeoctnnieu.

Aveclesmeˆmesnotations.

De´monstration •1.⇒2.

Pareil poury(t). •2.⇒1.Ce’t.ia´mdetsmi

•Sil= (l x , l y avtnse:itnossiulesassernceentreiuqeelavisro´aylal)

.

D’o`u

De´finition

limkf(t)−lk= 0 t→t 0

1. lim t→t 0 f(t) =l 2. lim t→t 0 x(t) =l x et lim t→t 0 y(t) =l y

•On dit quefestcontinuesi ses composantesxetyle sont.

Propri´et´es

2 Proprie´te´sSoientfetgdeux fonctions deIdansRacilnoitlereppa’O.is`dcnnohdeIdansR −→−→ telle queh:t7→f(t).g(t). Alors, sifetgelbavire´dtnoss,hl’est aussi et: 0 0 0 0 0 0 0 ∀t∈I, h(t) =x(t)x(t) +x(t)x(t) +y(t)y(t) +y(t)y(t) =f(t).g(t) +f(t).g(t) f g f g f g f g

2

0 0 0 ∀t∈I, f(t) = (x(t), y(t))

•On dit quefestbaelrevi´dsi ses composantes le sont et :

1.2

q 2 2 ∀t∈I,kf(t)−lk= (x(t)−l x ) + (y(t)−l y ) q 2 ∀t∈I,|x(t)−l x |= (x(t)−l x )≤ kf(t)−lk

2 CorollaireSoitfcnofenure´dnoitdeleabivIdansR. −→ 2 •La fonctionh:t7→ kfkeelebs:trivatd´e

0 0 ∀t∈I, h(t) = 2f(t).f(t)

−→ •Sifne s’annule pas, alorsn:t7→ kf(t)kets´drevibaelte:

D´emonstration •Evident p •On utilise que,∀t∈I, n(t) =h(t)

0 f(t).f(t) 0 ∀t∈I, n(t) = −→ kf(t)k

Proprie´te´Soientfetgdctonxfeuivablesdionsd´ereIdansRla fonction. Alors h´e,diefinedI 2 dansRparh:t7→det(f(t), g(t))etebaelrevits´d

De´monstration

0 0 0 ∀t∈I, h(t) = det(f(t), g(t)) + det(f(t), g(t))

∀t∈I, h(t) =x f (t)y g (t)−y f (t)x g (t) Ond´eriveetonappliquelapropri´ete´pre´c´edente.Ler´esultatestimm´ediat.

2

2.1

Courbesparame´tre´es

De´finitionetg´en´eralit´es

D´efinition

2 •On appelleetr`eamarcparl(ee´nnodaI, f) d’un intervalleIdeRet d’une fonctionf:I→R.

•On appellee´rte´masrtdeuppocparl’arl’ensemble Γ ={f(t)/t∈I}.

3

Remarque)eepe`rtniettu’sntl’ouvearamarcpngise´d(sneibtnapabeurcoreetm`raedalterepUr`ern mani`eresuivante:onvoitleparame`tretcomme le temps et on imagine un mobile qui au tempst,est`a la position (x(t), y(t)).

2.2 Etude locale 2.2.1G´en´eralite´s

De´finitionSoit (I, fble.Soitcparun)rte`maraavire´deM 0 un point de la courbe. 0 •On dit queM(t 0 ) estilugre´ersif(t 0 )6= 0

•etm`raparc’aelsdtniopselsuotiSsalorei,rgelutn´rerosfblvae.rdieri´etrapluciere`netegulitr´ees

0 •On dit queM(t 0 ) eststationnaireou singulier sif(t 0 ) = 0.

RemarqueOn parle deintrpolier´egucomme abus de langage. On devrait dire commeerape´magart r´egulierdupoint.

2.2.2

Tangentes

D´efinitionSoit (I;f)unarcparam`ets,ertioM(t 0 ) un point de cet arc. −−−−−−−−−−−→ S’il existepourh∈R, des vecteurs~u(h)riae´nilcoa`seM(t 0 )M(t 0 +h) tels que les vecteursu~(h) aient une limite non nulle quandh→0, alors on dit que la droite Δ passant parM(t 0 d)arep´eigir lim t→t 0 u~(h) est unetangente’la`ecranM(t 0 ).

RemarqueDans ce cas, on dit que la tangente est la droite limite des droites (M(t 0 )M(t 0 +h)) en supposant que pourh→0, M(t 0 )6=M(t 0 +h).

Propri´et´eentes.pr´ec´edtatosnoicevAnsel 0 SiM(t 0 ´rgelueie)tsanetunteisexilr,necra’la`etnegM(t 0 parg´eediri),f(t 0 ).

De´monstrationOn noteh(t) = (x(t), y(t)) −−−−−−−−−−−→ M(t 0 )M(t 0 +h) x(t 0 +h)−x(t 0 )y(t 0 +h)−y(t 0 ) 0 0 =~u(h) = (,m).Enpass`tnalalatimiil,e t→t 0 u~(h) = (x(t 0 ), y(t 0 )) = h h h 0 f(t 0 ).

4

Me´thode:EtudedestangentesenunpointstationnaireSoitC: (x(t), y(tnu))uoce.peeeb´rrmtaer`a Onchercheune´eventuelletangenteenM(t 0 )us.ernnaiatio´estppos y(t 0 +h)−y(t 0 ) −−−−−−−−−−−→ •Six(t 0 +h)−x(t 0 )6= 0, on peut prendreu~(h) = (1,)a`eria´einol,cM(t 0 )M(t 0 +h). Si x(t 0 +h)−x(t 0 ) y(t 0 +h)−y(t 0 ) lim h→0 existe et est finie (l∈R) , alors lim h→0 ~u(h) = (1, l). x(t 0 )−x(t 0 ) Ilyaalorsunetangentedirige´epar(1, l).

•onemd´t,t´ul´etrmerueire.tneOnpeututiliserasuiselaftiusvina 0 y(t)y(t 0 +h)−y(t 0 ) Si lim t→t 0 0 =l∈R, alors lim t→t 0 =l. x(t)x(t 0 +h)−x(t 0 )

Remarquetteccevaselacitrisrasteeodth´eemseruˆmmetnednoanlauettorvuOpngentesveerlestan premie`recoordonn´ee.

2.3

Les branches infinies

D´efinitionSoitC: (x(t), y(t)), t∈R.uocenparaurber´eem´et dit queCadmet une branche infinie au voisinage det=t 0 ∈Isi:

limkx(t), y(t)k= +∞ t→t 0

SoitDOn dit queune droite passant par l’origine. Cdamet la droiteDpour asymptote si la droite (OM(t)) tend versDquandt→t 0 . SoitDune droite. On dit queDest une asymptote `aCquandtt 0 siCadmet une branche infinie ent 0 etd(M, D)→0.

Me´thode:Etudedesbranchesinfinies

Dans ce qui suit,t→t 0 .

•Si|x(t)| →+∞ety(t)→l∈R, alors il y a uneasymptote horizontaleqe´’itauondy=l.

•Si|y(t)| →+∞ety(t)→l∈R, alors il y a uneasymptote horizontaleitnoqeaud’´x=l.

y(t) •Si|x(t)| →+∞et si|y(t)| →+∞lda,te´nosroudiequant→t 0 x(t)

y(t) 1. Si lim t→t 0 =±∞, on obtient unebranche parabolique selon(Oy) x(t) y(t) 2. Si lim t→t 0 = 0, on obtient unebranche parabolique selon(Ox) x(t) y(t) ? 3. Si lim t→t 0 =l∈R´no,duteiey(t)−ax(t) x(t) (a) Si limy(t)−ax(t) =b∈Riond’´equatrdaletioa,sroly−ax(t)−b= 0 estasymptote oblique (b) Sinon, la droite de directiony−axest unedirection asymptotique.

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