Chapitre: Loisde composition internes, groupes, sous-groupes et morphismes
1 Loisde composition internes
De´finitionsSoit E un ensemble. •On appelle loi de composition interne sur E toute application deE×Edans E. •On appelle magma tout couple (E,∗itu´onst)cteEelbmesnenu’deernteinoielund’∗surE.
1.1Associativite´
framedSoit (E,∗) un magma.On dit qu’il est associatif ou que∗est associative si: ∀x, y, z∈E,(x∗y)∗z=x∗(y∗z)
1.2Commutativite´
De´finitionSoit (E,∗On dit qu’il est commutatif ou que) un magma.∗est commutative si:
∀x, y∈E, x∗y=y∗x
1.3Ele´mentneutreete´l´ementinversible
D´efinitionSoit (E,∗) un magma ete∈E. On dit queeest untneme´le´ertuende ce magma si:
∀x∈E, x∗e=e∗x=x 1
The´or`eme(unicit´edel’´el´ementneutre)Soit (E,∗usnlo.Amaagnm)uulpuaede`ssopEsr ´ele´mentneutre.Onleconteg´ene´ralement0Elorsque la loi de E est vue comme une addition et 1E lorsqu’elle est vue comme une multiplication.
0 0 D´emonstrationSoient (E,∗) un magma ete, e∈E/ On suppose queeetenodtue´xssntme´eel 0 0 neutres de ce magma.Alorse=e∗e=e
0 D´efinitionOn dit quexest inversible dans (E,∗) ou plus simplement pour∗s’il existex∈Etel que: 0 0 x∗x=x∗x=e 0 Untele´le´mentxes´eelpptaevsrnunideex.
Qu’enest-ilalorsdel’unicite´desinverses?
The´ore`me(Inversibilit´edansunmagmaassociatifavece´l´ementneutre)Soient (E,∗) un magmaassociatifd’e´le´mentneutree. •Soitx∈E. Sixest inversible, alorsxopnuede`ssinueiqune.rsve •Soientx, y, z∈E. –Six∗y=x∗zet sixest inversible, alorsy=z –Siy∗x=z∗xet sixest inversible, alorsy=z −1−1−1 •Soientx, y∈E. Sixetysont inversibles,x∗yl’est aussi et (x∗y) =y∗x n n−1−1n •Soientx∈Eetn∈N. Sixest inversible, alorsxl’est aussi et (x) =(x)
Propri´et´eSoient?et•deux lois de compositions internes sur un ensembleEdit que. On?est distributiveparrapporta`•si:
et (y ? x)•(z ? x)
∀x, y, z∈E, x ?(y•z) = (x ? y)•(x ? z)
Exempleidtsirubitevssru´raLinueteno’ledteinecrsontintsoP(E). Eneffet, pour toutes parties A, B, C de E: [ \[ \\ [\ [ A(B C) = (A B) (AC)(A B)C= (AC) (B C) et inversement.
De´finitionSoientGun groupe etHune partie deGdit que. OnHest unsous-groupede G si: 0 0 •Hest stable par produit:∀h, h∈H, hh∈H •Hest un groupe pour la loi deG
D´emonstration •Comme 1Hest neutre dansH, 1H1H= 1H1. MaisGest neutre dansGdonc 1H1G= 1H. Par cons´equent,1H1H= 1H1G/ Nous pouvons simplifier cela carGest un groupe donc 1H= 1G. 0 00 •Soith∈H. Soienthethses inverses respectifs dansHetG. Ona alors: 0 000 000 000 00 00 h= 1Gh= (h h)h=h(hh) =h1H=h1G=h
The´ore`me(Caract´erisationdessous-groupes)SoientGun groupe etHune partie de G. Les ´equivalencessuivantessont´equivalentes: •Hest un sous-groupe deG⇐⇒ •1G∈H 0 −10 ∀h, h∈hH, h∈H •Heststableapprorudtiteapprsaas`ageinl’rsve.e
0 −10 D´emonstrationPour montrer que∀h, h∈H, hh∈H, il suffit de poserh, h∈Hon a vu que. Or −1 h∈Het puisqueHest stable par produit on peut conclure.
Exemples(Z,+) est un sous-groupe de (Q,meˆm-iulrg-suosede(oupe+)R,+) (U,×) est un groupe et l’ensembleUnen est un sous-groupe.
2.3Morphismesdegroupes Soient (G, ?) et (Γ,◦) deux groupes.
D´efinition •On appellemorphisme (de groupe) deGdansΓ toute applicationf:−→Γ telle que: ∀x, y∈G, f(x ? y) =f(x)◦f(y) •Un morphisme deGdansGprihmsdee´neodomestappeleG. 4
∗ ExempleL’exponentielle est un morphisme deRdansR.
The´or`emeSoientGet Γ deux groupes etf:G−→Γ un morphisme de groupes. •f(1G) = 1Γ −1−1 • ∀x∈G, f(x) =f(x)
De´monstration •On a:f(1G)f(1G) =f(1G1G) =f(1G) =f(1G)1Γ.Ensimplif iantdansΓ parf(1G) on a bien f(1G) = 1Γ −1−1 •Soitx∈Ga. Onf(x)f(x) =f(x−1x) =f(1G) = 1Γmeˆeemtdef(x)f(x) = 1Γ.
The´or`eme(Compositiondesmorphismes)Sifetgsont deux morphismes de groupes respec-0 000 00 tivement deGdansGet deGdansG, alorsg◦fest un morphisme deGdansG.