Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau CPGE

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Géométrie plane
Cours, Chapitre en Mathématiques (2012) pour CPGE 1 MPSI

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• Publié par: ressources-pour-le-superieur
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• Langue: Français

Extrait

Chapitre:G´eom´etrieduplan Plan de cours 1Modesderepe´rages2 1.1Rep`erescart´esiens........................................2 1.2Changementderepe`reorthonormaldirect...........................3 2Coordonne´espolaires4 2.1D´efinitionetge´ne´ralite´s.....................................4 2.2Passagedescoordonn´eescart´esiennesauxcoordonne´espolaires...............5 3 Produit scalaire 5 4 D´t rminant 7 e e 5 Barycentres 8 6 Droites du plan 9 6.1Ge´n´eralite´s............................................9 6.2Equationcart´esienneetrepre´sentationparam´etrique.....................9 6.3Distanced’unpointa`unedroite................................10 6.4 Equation polaire d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 7 Cercles 12 7.1De´finitionete´quationcart´esienne................................12 7.2 Equation polaire d’un cercle passant par l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7.3 Intersection droites/cercles et cercles/cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7.3.1 Intersection droites/cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7.3.2 Intersection cercles/cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7.4 Cercles et angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 8 Lignes de niveaux 15 8.1D´efinition.............................................15 8.2Exemples`aconnaitre.......................................15 8.2.1Aveclede´terminant...................................15 8.2.2 Avec des rapports de distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1

1Modesderepe´rages On note P l’ensemble des points du plan et E l’ensemble de ses vecteurs. 1.1Rep`erescarte´siens

D´efinition Soient − u → et −→ v deux vecteurs de E . Ils sont dits colin´eaires s’il existe ( λ, µ ) 6 = (0 , 0) tels que: λ −→ u + µ − v → = − 0 →

~ Remarque Le fait que ~u et v~ soientcoline´airessignifieque ~v = 0 ou ~u = λ~v .

D´efinitions • On appelle base de E tout couple ( ~u,~v ) de vecteurs noncolin´eaires • Onappellerepe`recart´esiende P un triplet ( O ; u~,v~ )ou`Oestunpointet( ~u,v~ )unebasedonn´ee. • Pour tout vecteur w~ de E , il existe un unique couple ( x, y ) ∈ R 2 tel que: w = xu + y~v ~ ~ Le couple ( x, y ) s’appelle coordonn´ees du vecteur ~w dans la base ( ~u,v~ ). • Pour tout point M ∈ P , il existe un unique couple ( x, y ) ∈ R 2 tel que: ~ OM = x~ + y~v u Ilestappele´coordonn´eesde M danslerepe`re( O ; ~u,v~ ).

Remarque Sionchangederepe`re,lescoordonne´esd’unpointchangent. Methode:changementderep`ere On se donne R = ( O ; ~u,v~ ), avec O ( a, b ) dans R . On prend ´ ~ u 0 = αu~ + βv~ ~ v 0 = ~ + δ~v γu

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~ ~ On suppose que ~u et v~ nesontpascolin´eairesetonnote R 0 = ( O 0 , u 0 , v 0 ). Quellessontlescoordonne´es ( X, Y ) de M ( x, y ) dans R 0 ? On a que: O − 0 − M → = X u~ 0 + Yv ~ 0 − −→ + Y v ) ~ O O − 0 M → M = = ( α X ( X α~u + γ + Y ¯ ta ) ~v ) ( γ~u + δ YO ~ O 0 − O − M → = ( a + αX + γ ~u Y + ) ~u ( ¯ ta + X ( b + + δ βX ) ~v + − δY ) ~v − Parunicit´edescoordonn´ees,onende´duitquelescoordonne´es( X, Y ) de M dans R 0 sont telles que: X = a + αx + γy Y = b + βx + δy Remarque Soit : ax + by = c une droite dans R .Oncherchesone´quationdans R 0 . IL suffit donc de remplacer x et y par X et Y dans R 0 etlar´eponseestimm´ediate.

De´finition Si u~ et v~ sont orthogonaux, alors la base ( u~,~v )(resp.lerepe`re( O ; u~,v~ )) est dit orthog- onal(e). Si de plus, k ~u k = k v~ k ,labase(resp.lerep`ere)estdit(e)orthonorm´e(e).

Remarque Onde´finitunebase( ~u,~v ) comme orthonormale directe quand on choisit comme vecteur orthogonala` u~ l’uniquevecteurtourn´edanslesenstrigonome´triquedepuis u~ . ~ ~ Danstoutcequisuit,onfixeunrepe`reorthonorm´edirect ( O ; i, j )

De´finition Soit ~u ∈ E . On appelle norme de ~u not´ee k u k ler´eel: k u k = q x 2 + y 2 o ` uu~ = xi + yj ~ ~ Un vecteur de norme 1 est dit unitaire.

1.2Changementderep`ereorthonormaldirect ~ ~ Soient ( O ; u~,~v ) et ( O 0 , u 0 , v 0 )deuxrep`eresorthonormauxdirects.Sionpose θ une mesure de l’angle orient´e( u~,v~ ), alors:

~ u 0 = cos θ~u + sin θv~ ~ 0 = cos( θ + 2 π ) u~ + sin( θ + π 2 ) v~ = − sin θu~ + cos θv~ 3

~ ~ Soit M unpointduplandecoordonne´es( x, y ) dans ( O ; ~u,verv ) et ( x 0 , y 0 ) dans ( O 0 ; u 0 , v 0 ). On a aussi que O 0 ( a, b ). Alors: − − O 0 M → = x 0 ~u + y 0 v~ O −− 0 → O + −−→ (cos θu~ + sin θ~v ) + y 0 ( − sin θu~ + cosθ~v ) OM = x 0 − O − M → = x 0 (cos θu~ + sin θv~ ) + y 0 ( − ∈ θu~ + cos θv~ ) + au~ + b~v − O − M → = ( a + x 0 cos θ − y 0 sin θ ) u~ + ( b + y 0 cos θ + x 0 sin θ ) v~ Parunicitedescoordonn´ees,ontrouveque: ´ x = a + x 0 cos θ − y 0 sin θ y = b + x 0 sin θ + y 0 cos θ Remarque On peut retrouver ce resultat avec les complexes. ´

~ ~ ects ( O ; u,~v ) et ( , v nc que: A retenir Pourdesrep`ereorthonorme´sdir ~ O ; u 0 0 ), on a do ~ u 0 = cos θu~ + sin θv~ ~ v 0 = − sin θ~ + os θ~ u c v Onae´galementlesformulesduales: ~ ~ u~ = cos θu 0 − sin θv 0 ~ ~ ~v = sin θu 0 + cos θv 0

2Coordonn´eespolaires Pour tout θ ∈ R , on introduit deux vecteurs u~ θ et v~ θ d´efinispar: ~ ~ u~ θ = cos θi + sin θj ~ ~ v~ θ = − sin θi + cos θj

2.1De´finitionetg´en´eralit´ es

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De´finition Soit M un point du plan. On appelle ( couple ) de coordonn´eespolairesdeM relatifaurepe`recart´esien( O ; ~ i, ~ j ) tout couple ( r, θ ) ∈ R 2 tel que O ~ M = r ~ u θ . • Lescoordonne´espolairesdupoint O sont tous les couples (0 , θ ), θ de´crivant R . • Si M 6 = O , il y a exactement deux couples possibles ( r, θ )decoordonne´espolairesde M o`u θ estd´efini`a2 π pre`s: – Soit r = OM et θ ( ~ ,O ~ M ) 2 π = i ~ – Soit r = − OM et θ = ( ~ iOM ) + π 2 π ,

Remarque Lescoordonne´espolairesnesontdoncpasuniques.Onparlerad’ UN coupledecoordonn´ees polaires.

Th´ ` e Soit M unpointduplandecoordonn´eescarte´siennes( x, y )etdecoordonne´espolaires eorem ( r, θ ). Alors: x = r cos θ et y = r sin θ

~ ~  ~ De´monstration OM = xi + yj = ru~ θ = r (cos θ ~ i + sin θ ~ j ) = r cos θ ~ i + r sin θ ~ j 2.2Passagedescoordonn´eescarte´siennesauxcoordonne´espolaires Soit M unpointduplandiffe´rentde O .Onsupposeconnueslescoordonne´escart´esiennes( x, y ) de M et posons r = p x 2 + y 2 . Quelle valeur de θ choisir ? . • Me´thode1 Si x 6 = 0 alors tan θ = y x , comme tan est bijective de ] − 2 π ; π 2 [, on peut choisir θ = arctan y x • M´ethode2 On sait que θ rendvraiel’´egalite´cos θ = r x et que cos est bijective de [0; π ] sur [ − 1 , 1]. ue θ ussi la relation sin θ = y Est-il vrai que θ = arccos r x ?Pasforce´mentcarilfautqve´rifiea r 1. Si y ≥ 0: sin r x = q 1 − ( r x ) 2 = q ( r y ) 2 = | y r | = y r donc on peut choisir θ = arccos r x . y 2. Si y < 0: sin( − arccos x r ) = − sin(arccos x r ) = −| y r | = r donc on peut choisir θ = − arccos r x • M´ethode3 On sait que θ rendvraiel’e´galit´esin θ = r y et que sin est bijective de [ − π 2 ; π 2 ] sur [ − 1 , 1]. Est-il vrai que θ = arcsin y ?Pasforc´ementcarilfautque θ ve´rifieaussilarelationcos θ = x r r 1. Si x ≥ 0: cos y r = q 1 − ( y ) 2 = q ( x r ) 2 = | r x | = r x donc on peut choisir θ = arcsin . x r r 2. Si x < 0: cos( π − arcsin r y ) = − cos(arcsin y r ) = −| r x | = r x donc on peut choisir θ = π − arcsin y 5 r