Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Première

Kdouh

Description

Avec correction. Fonctions-variations
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour Première S

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Extrait

DS N°5MATHEMATIQUES 1°SSI2010-2011

Exercice 1 : 4 pointsBarycentres dans le Plan – QCM Pour chaque question, déterminer la ou les bonne(s) réponse(s). Vous indiquerez sur votre copie les numéros des questions et les lettres correspondant aux réponses choisies. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l’absence de réponse n’est pas pénalisée. Si le total est négatif, la note est généreusement ramenée à zéro.

1. Soit ABCD un parallélogramme ; le point C est le barycentre du système de points pondérés { A;m; ( B;1 ! ; ( D;1 ! } lorsque : ( !

 a. m 1 % 2  b. m 1 2  c. m 1 % 1  d. m 1 3 .

2. Soit ABCD un carré de centre I . L’ensemble des points M tels que MA#MC1AB est :

 a.la médiatrice de [AC].b. le cercle circonscrit au carré ABCD .

 c.la médiatrice de [AI].d. le cercle inscrit dans le carré ABCD .

3. On considère un triangle ABC et on note I le point tel que 2IB#IC1 0 .  Lespoints G , I et A sont alignés lorsque G est le barycentre du système :

{ ( A;1 ! ; ( B; 2 ! ; ( C; 2 ! }{ ( A;1 ! ; ( C; 2 ! }  b. ( !( !( !  a.c. { A;1 ;B;; 2C;1 } .

4) Dans le plan muni d’un repère ( O;i,j ! , on considère les points æ 4 æ 5 ö ( !( !( !( ! % A0;%3 ,B3;%1 ,C% , 3; 4I6 ;%8 ,J2; etK2 ; . ç ¸ç ¸ è 3 ø è 3 ø ( % ! (!! (  Lebarycentre du système de points pondérés { A; 1;B;3 ;C;1 }  est :

 a.le point Kb. le point Ic. le point J

Exercice1tnsoip6: 3  Soit fla fonction définie sur [% par : 2; 2] f(x)12x%6x% 2 .

1. Calculer f'(x) . Etudier le signe def'(x[) sur l’intervalle%2; 2] .

3. Dresser le tableau de variations de f .

C % 4. Construire la courbe f pour xÎ; 2] .[ 2

5. à l’aide du calcul , donner un encadrement d’amplitude 0,01 de chacune des solutions de  l’équation f(x)10 sur l’intervalle[%2 ;%sur l’intervalle[1] ,%[1 ; 2] et sur l’intervalle 1 ; 0] g  (on notera a,b solutions à déterminer. En déduire le signe deet les f(x) .

Exercice301:oipsnt 2 x%4x#7 ]1;#¥[  Onconsidère la fonction f définie surpar : f(x)1 et on appelle f x%1

 sacourbe représentative dans un repère orthonormé (O;i;j ) duplan d’unité graphique 2cm.

limf(x) 1°. Calculer x|1 .Que peut-on en déduire pour la courbe () ? x21 c a cx 2° . a) Montrer qu’il existe trois réels, b distinct de 1 :que pour tout réelet tels f(x)1ax#b# x%1 b) Calculer la limite de f en +¥.

c) Montrer que la courbe ( f ) admet une asymptote oblique (D) que l'on précisera.  Etudierla position de ( f ) par rapport àD

3°. Etudier les variations defpuis dresser son tableau de variations

4° Soit D la droite d’équation : y13 .  Déterminerles coordonnées des pointsA et B intersections de  Aétant des deux points celui dont l’abscisse est la plus petite.

f avec la droite D.

T 5° Déterminer les équations réduites des tangentes ( T A ) et ( B ) aux points d’abscisses 2 et 5 de  lacourbe ( f ). 6°- Montrer que le point I1;%2 est le centre de symétrie de la courbe ( !

T 7° Construire dans le même repère orthonormé (O;i;j ) lesdroites ( A ) et ( T B ) la droite ( D ) et rvalle ]1;#¥[ .  lacourbe f dans l’inte

Exercice 1 1) ABCD est un parallélogramme, donc CA1CB#CD , soit %CA#CB#CD10 C1Bar { ( A;%1 ! ; ( B;1 ! ; ( D;1 ! } Ainsi, : Réponse c. 2) Comme I est le milieu de [AC], on a MA#MC12MI pour tout point M. De ce fait, uuu uuuu AB MA#MC1ABÛ2MI1ABÛMI1 . L’ensemble recherché est donc le cercle de centre I et 2 AB  derayon ,c’est-à-dire le cercle inscrit dansle carré ABCD : Réponse d. 2 I1Bar { ( B; 2 ! ; ( C;1 ! }  3)Comme 2 IB#IC1 0 ,alors .  Pourque G, I et A soient alignés, il faut pouvoir faire apparaître par associativité le point I dans la  définitionbarycentrique de G. Un seul cas convient : { ( A;1 ! ; ( B; 2 ! ; ( C;1 ! } 1 { ( A;1 ! ; ( I; 3 ! } Réponse c. 0#9%3 3%3#4 4 G ( x;y ! 4) Soit G G le barycentre en question. Alors x1 12 ety1 1 G G 3 33 Réponse c  Onreconnaît les coordonnées du point J : Exercice 2 3  Soit f la fonction définie sur [%3;3] p ar : f(x)12x%6x% 2 . 2 x 1. Calculer f'(x) : f'(x)16x%616(x%1)(x#1) %2 % 1 2 1 f'(x 0 0 ) +  22 var(f) %6%6 2.et 3.En déduire le signe de f'(x) sur l’intervalle [%3;3] . C xÎ[%2,1 ;2, 2] 4. Construire la courbe f pour . y

2 T 1

d -2 a -1 01 2 x b

C

-1

-2

-3

-4

-5

-6 5. à l’aide du calcul , donner un encadrement d’amplitude 0, 01 de chacune des solutions de  L’équation f(x)10 sur l’intervalle[%2 ;%1] l’intervalle[%1 ; 0][1 ; 2] et sur l’intervalle  ,sur g a b  (on notera , et lessolutions à déterminer. En déduire le signe de f(x) .

 Sur l’intervalle [%2 ;%1] la fonction f avecest continue, strictement croissante f(%2)1 %600 Îf%f%1)]  et ( 1 , f%)1220 (0 [( 2); , donc d’après le théorème de valeurs intermédiaires l’équation a f(a)10 f(x)10 surl’intervalle [%2 ;% l’aide de laque .à 1] telle admet donc une unique solution f(%1,54)» %0, 064500f(%1,53)»0,168520 % 1,54 £ a £ % 1,53  calculatriceon trouveet .donc f est strictement décroissante sur l’intervalle [%1 ; 0] avecf(%1)1220 etf(0)1 %200 . b 0Î[f(0);f(%1)]  L’équation f(x)1sur l’intervalle [0 admet donc une unique solution%1 ; 0] . % f(b)10 f(x)10 admet donc une unique solution b sur l’intervalle [ 1; 0] telle que. à l’aide de la f(%0,35)»0, 0142520f(%0,34)» %0, 038600 % 0,35 £ a £ 0 % ,34  calculatrice ontrouve et.donc  Sur l’intervalle [1; 2] la fonction f avecest continue, strictement croissante f(1)1 %600 1 2 0Î[f(1);f(2)]  et f(2) 2 0 , ,donc d’après le théorème de valeurs intermédiaires l’équation 1 f(d)10 f(x) 0 admet donc une unique solution d sur l’intervalle. à l’aide de latelle que [1 ; 2] f(1,87)» %0,141600f(1,88)»0, 093420 1,87 £ d £ 1,88  calculatrice ontrouve et.donc C x10 6. Donner l’équation de la tangente àla courbe f au point A d’abscisse 0 . 2 3 y1f'(0)(x%0)#f(0)1 %6x%2 f'(0)16´0%61 % 6 et f(0)12´0%6´0%21 2 ,donc Exercice 3 2 2 limx%4x#711%4#714 ü limx%4x7#112%5#4 1 ü % # x|1 ï |x1 ï Þlimf(x)Þ1 %¥limf(x)1 #¥ ý ý 1°. % % # # x|1|x1 limx%110 limx%110 % ï # ï x|1 þ |x1 þ 2 2 æ x%4x#7 ö x pourx¹0, limf(x)1lim1lim1limx1 #¥d'oùlimf(x)1 #¥ ç ¸ x|#¥ |#x¥ |#¥x|#¥x|#¥x x%1x è ø 2. 2 2 4 (x%3)(x%1) 4x x%3%x3#4#x4%x7#4 x%3# 11 1# 1f(x) doncf(x)1x%3# . x%1 (x%1)x1%x1%x1%x1 4 4 ö 4 f(x) % (x % 3) 1 ; lim ç ÷1 lim 1 0 , donc la droite d’équation y x3 est une asymptote x % 1 è x % 1 ø x x | #¥ x | #¥  obliqueà la courbe C au voisinage de # ¥ 5°. Positionde la courbe C par rapport à l’asymptote (D’) :  x%10 et seulement si 0 si x01  ; x%120 si et seulement si x21

4 f(x) % (x % 3) 1 ;10 sur , eststrictement au dessous de la droite (D) d’équation y1x%3 0 ] % ¥ [ C x % 1 4  et f x ] [ droite (D)d’équation y1x%3 ( ) % (x % 3) 1 2 0 sur1; # , C est strictement au dessus de la ¥ x % 1 2 22 2 (2x%4)(x%1) (%x4%x7#) 1´2x2%x4x%4#x%4x#7%x2x%3 3) f'(x)1 11 2 22 (x%1) (x%1) (x1%) 2 2 f'(x) ] ¥ est du signe de x%2x% ( 3 car x%1)2 0 sur 1;# [ . 2  Calculonsles racines du polynôme x%2x% 3 . 2 % 4 % 2 2 # 4 ( 2)²4 1 (3) 412 160 ;donc 2 racines rée 1 #´ ´ %1 2% %D 1 lles :x 1 11 1 1 % et 2 x 1 3 1 2 22 2  Cepolynôme admet deux racines réelles –1 et 3 donc x%2x% positif à l’extérieur de ces3 est  racines–1 et 3On en déduit le signe de f'(x) puis les variations de f 2 3 % 4 ´ 3 # 7 9 % 12 # 7 4  fadmet un minimum en 3 qui est : f(3) 1 11 1 2 3 % 1 22

x 1 3 #¥ f'(x) + 0 #¥ #¥ f(x)  2

2 2 x%4x#7x%4x#7 2 2 4°. f(x)1 13Ûx%4x#713x%3x%7x1#010 x%1x%1 7%3 7#3 D 149%4´1´101920 donc2 racines réelles :x1 12et x1 15 1 2 2 2  Ladroite d’équationy =3coupe la courbe représentative defen deux points d’abscisses 2 et 5.  A(2; 3) et B(5 ;3) sont donc les deux points recherchés. T 5° déterminons les équations réduites des tangentes ( T A ) et ( B ) aux points d’abscisses 2 et 5 de la courbe : 2 2 % 2 ´ 2 % 3 4 % 4 3 %  coefficientdirecteur de la tangente au point A : f'(2) 1 %1 1 3 (2 % 1)² 1 ( !( ! % #  Equationde la tangente au point A : y1f'(2)x%2#f(2) .y1 %3x%2#313x9  (T) :y1 %3x#9 A 5²%2´5%13 25%0 3%12 3 f'(5)1 11 1  coefficientdirecteur de la tangente au point B : (5%16 41)² 16 3 315 12 ( ! #  Equationde la tangente au point B : y1f'(5)x%5f(5) . y 1 (x % 5) # 3y 1 x % # 4 44 4 3 3  (T) :y1x% B 4 4 6) Construction de la courbe C et des droites (D), (T A ), (T B ) y C 5 T A 4

3

2

1

A

T B

B

( D !

x 0 12 3 4 5 6 7 8

3 2 1. On considère le polynôme P(x)1x%3x#2 . 2  a.Vérifier que P(x)1x%1 ( x%2x2% ! . ( !  b.Etudier le signe de P x . ( ! 3 x%3x#2 ¡ { } 2. On considère la fonctionf \ 2 par définie sur f(x)1 et C sa courbe représentative x%2  dansun repère orthogonal (en abscisse 1 cm pour 1 unité, en ordonnée 1 cm pour 2 unités). xP(x) f'(x)1  a.Montrer que 2 . ( x%2 !  b.Étudier les variations defet dresser son tableau de variation. 3. a. Pour quelle abscisseala tangente au point d’abscisseaest-elle horizontale ? Justifier.  b.Déterminer l’équation de la tangente T à C en x10 et la tracer dans le même repère que C .  c.Tracer C dans le repère précisé ci-dessus. d 2 4. a. Trouvera,b,cetdtels que f(x)1ax#bx#c# . x%2 2 g  b.On appellela fonction définie par g(x)1x#x#1et P sa courbe représentative.  Étudierles positions relatives de C et P .  c.Tracer P dans le même repère que C et T.  Quepourriez vous dire d’intelligent sur les relations entre P et C ?