Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Première

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Avec correction. Ds commun barycentre 1s
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2010) pour Première S

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Extrait

 / 8

ère D.S. de mathématiques n°4 : Barycentres 1 S1 & S2 Jeudi 18 novembre 2010, 55 min, Calculatrices autorisées Ce sujet estàrendre avec la copie. Un corrigé sera disponible sur le sitehttp://lhelmeg.keepandshare.com/

NOM: PRENOM :

 Communication  Technique  Raisonnement

Exercice 1 Exercice 2

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Exercice 86 p 276 Hyperbole

Exercice Exercice Exercice Note

1 2 3

Note  ,  ,  ,  ,

/ / / /

8 7 5 20

ABCD est un quadrilatère. On note G le centre de gravité du triangleABC,I le milieu de [AB],J le milieu 3 1 de [BC],K le point défini par CK=CD etLle point tel que DL=DA . 4 4 1)Placer tous ces points sur la figure donnée en annexe. /2 /1,5 2)a)Exprimer K comme barycentre de C et D affectés de coefficients à déterminer. /1,5 b)Exprimer L comme barycentre de A et D affectés de coefficients à déterminer. /3 3)Démontrer que les droites (IK), (JL), (DG) sont concourantes en un pointHà définir.

 / 7

Exercice 3

1

Soient A, B et C trois points du plan et soitG le barycentre de A ,−3,B ,2etC ,−5. Déterminer les ensembles suivants et les représenter sur la figure donnée en annexe: 1) l’ensembleE 1 des points M du plan tels que ∥−3MA2MB−5MC∥=18cm. /3 /2 2) l’ensembleE 2 des points M du plan tels que ∥−3MA2MB−5MC∥=∥7MA−4MB3MC∥. /2 3) l’ensembleE 3 des points M du plan tels que ∥−3MA2MB−5MC∥=∥3MA2MB−5MC∥.

Exercice 4  / 5 On considère un triangleABC. métant un réel, on noteG m le barycentre de {A , m B ,2m1C , m−2 } s'il existe. 1)Pour quelle valeur dem,G m existe-t-il ? /1 G /2 2)Caractériser 0 et le placer sur la figure donnée en annexe. /2 3)Déterminer l'ensemble des points G m lorsquemdécritℝ. Représenter cet ensemble sur la figure donnée en annexe.

2

Annexe: Figure de l'exercice 1

Annexe: Figure de l'exercice 2

Annexe: Figure de l'exercice 3

3

Exercice 1

D.S. de mathématiques n°3 CORRIGÉ

ère 1 S1 & S2

ABCD est un quadrilatère. On note G le centre de gravité du triangleABC,I le milieu de [AB],J le milieu de [BC]. 2) a)Exprimer K comme barycentre de C et D affectés de coefficients à déterminer. Méthode 1:On se ramène à la définition du barycentre: 3  CK=CDd'où 4CK=3CDd'où 4CK=3CKKDd'oùKC3KD=0 d'oùK=bar{C ,1D ,3} 4 3 Méthode 2:Kvérifie CK=CD . On recherche des nombres et tels que K soit le barycentre de 4 3 {C , D , }. Par identification avecCK=CD=CD , on voit que K=bar{C ,1D ,3 } .  13 b) Exprimer L comme barycentre de A et D affectés de coefficients à déterminer. Méthode 1:On se ramène à la définition du barycentre: L=bar{A ,1D ,3}. 1 1 Méthode 2:Comme ci-dessus, DL=DA=DA d'où L=bar{A ,1D ,3}. 4 31 3) Démontrer que les droites (IK), (JL), (DG) sont concourantes en un pointHà définir. G, le centre de gravité du triangle ABC, est l'isobarycentre de ces trois sommets. On a donc: G = bar{ A ,1 B ,1 C ,1 } I = bar{ A ,1 B ,1 } J = bar{ B ,1 C ,1 } K = bar{ C ,1 D ,3 } L = barA ,1 D ,3 Au vu de ces données, on introduit un nouveau point: Soit H le barycentre de (A ; 1), (B ; 1), (C, 1) et (D, 3). ·Par la propriété d’associativité du barycentre (utilisable puisque1#1 ¹ 0et1# ) ¹ 0) , H qui est le barycentre de (A ; 1), (B ; 1) et (C, 1) et (D, 3)

est aussi le barycentre de (I, 2) et (K, 4). On en déduit que H∈IK. ·Par la propriété d’associativité du barycentre (utilisable puisque 1+1 +1= 3 ¹ 0), H qui est le barycentre de (A ; 1), (B ; 1), (C, 1) et (D, 3)

est aussi le barycentre de (G,)) et (D,)). On en déduit que H∈DG. ·On démontre de même par la propriété d’associativité du barycentre que H∈JL.

Finalement, puisque H appartient à chacune des droites (IK), (JL) et (DG), ces droites sont concourantes (en H).

I

A

G

C

B

4

Figure:

Exercice 2 Soient A, B et C trois points du plan et soit G le barycentre de A ,−3,B ,2etC ,−5. Déterminer les ensembles suivants et les représenter sur la figure donnée en annexe:

1) l’ensembleE 1 des points M du plan tels que ∥−3MA2MB−5MC∥=18cm. · Par la propriété de réduction, −3MA2MB−5MC=−32−5MG=−6MG d'où ∥−6MG∥=18cm c'est à dire MG=3cm . Finalement,E 1 est le cercle de centre G et de rayon 3cm.  2−55 1 ·Pour placer G: A G=ABAC=ABAC=−ABAC .     −6−6 3 6

2) l’ensembleE 2 des points M du plan tels que ∥−3MA2MB−5MC∥=∥7MA−4MB3MC∥. · 7−4 ≠0 ,on peut donc définir I, le barycentre de A; 7,B;−4etC ,3 . Par la propriété de réduction, on a −3MA2MB−5MC=−6MG et 7 MA−4MB3MC=6MI . La condition devient ∥ −6MG ∥ = ∥ 6MI ∥ c'est à dire 6 ∥ MG ∥ =6 ∥ MI ∥ c'est à dire MG=MI . Finalement,E 2 est la médiatrice de [GI].   −4 3 2 1 ·Pour placer I: A I=ABAC=ABAC=−ABAC.      3 26 6

3) l’ensembleE 3 des points M du plan tels que ∥−3MA2MB−5MC∥=∥3MA2MB−5MC∥. ·  Remarque: 32−5= on ne peut pas procéder comme à la question précédente puisque le 0 donc barycentre de A ,3,B ,2etC ,−5 n'existe pas. Par contre, en introduisant le point A par la relation de Chasles, on peut prouver que 3MA2MB−5MC est un vecteur constant, c'est à dire indépendant de M. En effet, 3MA2MB−5MC=3MA2MAAB−5MAAC=2AB−5AC . La condition devient donc 1 2 5 1 5 ∥6MG∥=∥2AB−5AC∥ c'est à dire MG= ∥2AB−5AC∥=∥AB−AC∥=∥AB−AC∥ 6 6 6 3 6 1 5 E 3 est le cercle de centre G et de rayon ∥AB−AC∥ . 3 6 1 5  Pour construire ce cercle, on pourrait commencer par construire le vecteur AB−AC , de façon à 3 6 connaître sa norme...mais il y a beaucoup mieux! En effet, A appartient à l'ensemble E3 puisque ∥−3AA2AB−5AC∥=∥3AA2AB−5AC∥ . Par ailleurs, on vient de voir que E3 est un cercle de centre G. Finalement,E 3 est le cercle de centre G et de rayon AG. 1 5 1 5 On aurait aussi pu remarquer que le rayon du cercle ∥AB−AC∥=∥−ABAC∥=AG . En effet on a 3 6 3 6 1 5 vu à la question 1) que A G=−ABAC . 3 6 Figure:

5

E 3 1

E 2

6

Exercice 3

On considère un triangleABC. métant un réel, on noteG m le barycentre de {A , m B ,2m1 C , m−2 } s'il existe. 1) Pour quelle valeur dem,G m existe-t-il ? Le barycentre existe ssi la somme des coefficients est non nulle, c'est à dire ssi m2m1m−2≠0 . Or 1 m2m1m−2=0⇔4m−1=0⇔4m=1⇔m=. 4 1 Le barycentre existe ssi m≠. 4 G 2) Caractériser 0 et le placer sur la figure donnée en annexe. {     −  } {  −  } G 0 est le barycentre de A,0B ,0 1C,0 2 c'est à dire le barycentre de B ,1C ,2  −2 G = = = Pour placer 0 : BG 0 BC BC2BC .   −1

3) Déterminer l'ensemble des points G m  lorsque m décritℝcet ensemble sur la figure. Représenter donnée en annexe. ·(Par la propriété d’associativité du barycentre utilisable si 2m1≠0 etm−2≠0 ), G 2m1 C , m−2 m , qui est le barycentre de A;m , B; et

est aussi le barycentre de A;m , B; 2m B; 1 et C , m et C ,−2 .

·(Par la propriété d’associativité du barycentre utilisable si m ¹ 0 ), G A;m B; 2m C , m B; 1 C ,−2 m et (, , , qui est le barycentre de en changeant l'ordre des points),

  ;−1 est aussi le barycentre de I ;4m et G 0 , où I est le barycentre de {A,1 B ,2 C,1 } . ∈  On en déduit que GI G . m0 ·Ipartiels: on place K isobarycentre de A et C puisse construit facilement en passant par des isobarycentres Iisobarycentre de K et B.

G -1/2

Remarque: Au cours du raisonnement, on a éliminé les cas 2m1=0 etm−2=0 mais on pourrait montrer que les points correspondants sont eux aussi sur I G en rédigea 0 nt cette démonstration en utilisant la définition du barycentre plutôt que le théorème du barycentre partiel. La méthode du barycentre partiel a l'avantage de montrer d'où vient l'idée. Les points correspondant à 2m1=0 etm−2=0 sont représentés sur le dessin ci-dessus.

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