Exercice 1 4 points les pointsA(3 ; 2!etB%.1 ; 4 Dans un repère orthonormé(O;i,j!du plan, on considère ( ! On pose alorsG1Bar{A, 3 ;B,%2}etH1Bar{A;, 2 B,%3}. ( ! ( ! ( ! ( !
1°. Calculer les coordonnées des pointsGetH.
2°. Vérifier que les segments [AB] et[GH] ont le même milieu.
Exercice2inpots4: Dans un repère(O;i,j!du plan, on considère les pointsA3 ;%2 ,Bet4 ; 2 C.5 ;1 ( ! ( ! ( ! 1°. Calculer les coordonnées : a. du centre de gravité G du triangleABC; b. deH1Bar{A,1 ;B,%2 ;C, 3} ( ! ( ! ( ! 2°. Déterminer les coordonnées du point D tel queH1Bar{A,1 ;B,%2 ;D, 2}. ( ! ( ! ( !
Exercice3iotns:7p
SoitABCun triangle tel queAB17cm;BC19cmetAC112cm; on noteIle milieu de [AB] , Mle milieu de [AC] ,Lle milieu de [MC] ,Nle milieu de [AM] etJ,K, les deux points de[BC] vérifiantBJ1JK1KC.
1°. Faire une figure, puis exprimer sans justification les pointsI,J,K,L,MetNcomme barycentres des pointsA,BouC.
1(a! (b! (g! Principe : il faut considérer le barycentre partiel et choisir les réels G Bar{A, ;B, ;C,} en « visant » bien pour qu’il appartienne aux droites adéquates.
Exercice4:po5tsin
SoitABCDun carré. Pour tout point M du plan, on poseV1 %MA%MB
#MC
#MD%BD.
1°. Montrer que le vecteurV(est constant et donner sa valeur. Vne dépend pas du pointM).
9MB#MD%MC 2°. Déterminer l’ensemble1des points M du plan tels que
1 V.
3°. Déterminer l’ensemble922des points M du plan tels que MB#MD%MC
4°. Construire ces deux ensembles sur une figure.
1MA#MC.
Exercice 1 1. Dans un repère(O;i,j!, les coordonnées deG1Bar{A, 3 ;B,%2}sont ! ( ! ( ! 3 3 2(1!3´y%2y3´2%2´4 3´xA%2x´ % ´ %A B B y1 %1 1 2 x1 1 111 etG G 3%32 1 %2 1 De même , le coordonnées deH1Bar{A, 2 ;B,%3} ( ! ( ! 2´x%3x2´3%3´(%1!2´y%3y2´2%3´4 A B A B x1 %1 1 11 1 H9 etyG8 2%3%12%3%1 1(( ! %!1(( ! %! 2. SoitIle milieu du segment [GH] , on a :G Bar{A, 3 ;B, 2}etH Bar{A;, 2 B, 3}, H1Bar A%2 ;Bd’après l’homogénéité des barycentres , si bien que, 3 on a aussi{(,! ( !} ( ! ( !1( ! (%! (%!! ( 1( !( ! I1Bar{G,1 ;H,1}Bar{A;, 3 B;, 2 A;, 2 B, 3}Bar{A,1 ;B,1}ce qui signifie que par associativité des barycentres, ce qui prouve que le point I est aussi le milieu du segment [AB]. Ainsi, Les segments [AB] et [GH] ont le même milieu. Remarque:on peut aussi calculer directement les coordonnées des milieux de ces segments ; on tombe dans les deux cas sur le pointI.1; 3 ( ! Exercice 2 1. Dans un repère(O;i,j!, les coordonnées deG1Bar{A, 3 ;B,%2}sont ! ( ! ( ! x#x#x3#4#5y#y#y%2#2#1 1 A B G A B C x1 1 14y1 1 1 GetG 3 3 3 3 3 De même , le coordonnées deH1Bar{A, 2 ;B,%3} ( ! ( ! 1´x%2x#3x1´3%2´4#2´5 1´y%2´y#3y%2%2´2#3´1 3 A B C A B C x1 1 15 ety1 %1 1 H H 1%2#13 2 %2#23 2 æ %3ö D(x y!H1Bar{(A,1!;(B,%2!;(D, 2!}H5 ; 2. On poseD;Det. Comme ç ¸ è2ø 1´x%2x#2x1´3%2´4#2x A B C On a :xH1 1 12x%5 et 1%2#2 1 1´y%2´y#2y%2%2´2#2´y A B C D yH1 1 12y%6 1%2#2 1 3 9 9 D’où2x%515Û2x110Ûx15et 2y%6Û1 % 2y1 Ûy1 2 2 4 Remarque: on peut aussi montrer queD1Bar{A,%1 ;B, 2 ;H,1},en partant de la définition ( ! ( ! ( ! De D , et calculer ses coordonnées à partir de cette relation. Exercice 3 1.La figure est très simple .en regardant bien le rapport de distance , on trouve sans problème I1Bar{A,1 ;B,1}J1Bar{B;, 2 C,1}K1Bar{B,1 ;C, 2}( ! ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! 1CM1Bar{(A,1!;(C,1!}N1Bar{(A, 3!;C,1} L Bar{(A,1!;(, 3!}( ! G Bar{A;, 2 B, 2 ; ,1}J1Bar(B!Cassociativité, on dé1 par 1(( ! ( ! C!et{, 2 ;(,!}duit que : 2. On a : G1Bar{A, 2 ;J, 3}, doncGÎAJ!. ( ! ( ! ( ( ! ( ! ( !1( !( ! On a :G1Bar{A, 2 ;B;, 2 C,1}etJ Bar{B;, 2 C,1}par associativité, on déduit que : G1Bar{I;, 4 C,1}, doncGÎCI.On déduit queGÎAJetGÎCI, doncGÎAJÇCI. ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! .On considère le pointH1Bar Aa;B,b;C;g 3{(,!! ( ! ( } SiÎAK, alo{( ! ( ! HrsK1Bar B,b;C;g}, doncg12b. ( ! On veut qu’il appartient aussi àBLdoncL1Bar{A,a;(C,g!}et on a :g13a. ( ! ( ! On déduit queH1Bar{(A, 2!;(B, 3!;(C; 6!}
Vérification On a :H1Bar{A;, 2 B, 3 ;C; 6}etK1Bar{B, 3 ;C; 6}, par associativité , on en déduit ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! H1Bar{A, 2 ;K, 9}soitH! ÎAK. ( ! ( ! ( On a :H1Bar{(A, 2!;(B, 3!;(C; 6!} {( ! ( ! etL1Bar B, 2 ;C; 6}, par associativité , on en déduit H1Bar{B, 3 ;(L,8!}soitHÎBL. D’oùH1Bar{A, 2 ;B;, 3 C; 6}. ( !( !( !( ! ( ! Exercice 4 1. on a :V1 %MA%MB#MC#MD%BD1AM#MC#BM#MD%BD1AC#BD B%D A1C doncV1ACpour tout point M. 2. SoitG1Bar{B,1 ;D,1 ;C,%1}, qui existe et unique puisque1#1%111¹0 ( ! ( ! ( ! D’après l’égalité de réduction etGB#GD%GC10 MB#MD%MC1MG#GD#MG#GB%MG%GC12MG(#GD#GB%GC!1MG. En particulier , pourM1B, on obtient :BB#BD%BC1BGÛBD#CB1BGÛCD1BG1BA DoncG1AG est confondue avec A . l’ensemble91des points M du plan tels queMB#MD%MC1VÛMG1ACÛMG1AC. 9 Ainsi1est le cercle de centre A et de rayon AC; il passe par C. puisque G est confondue avec A. 3. SoitH1Bar{B;, 2 D,1 ;C,%1}ui existe et unique puisque 2#1%112¹0 . q ( ! ( ! ( ! D’après l’égalité de réduction , 2MB#MD%MC12MH2pour tout point M; puisque GB#GD%GC10 . En particulier , pourM1B, il vientBD%BC12BHÛCD12BHÛ2BH1AB Donc H est le milieu de [AB]. I1Bar{(A,1!;(C,1!}1m[AC] Soit de même , doncMA#MC12MI. Û 1 Û 1 Û 1 2MB#MD%MC1MA#MC2MH2MI2MH2MIMI MH Ainsi92est la médiatrice du segment[HI]. 4. Trop facile ! Exercice 3. Exercice 2. C 9 1
9 (
D
A
I
H
C
B
A
N
M
I
L
G
H
K
J
B
Annexe exercice 2
A
Annexe exercice 2
A
B
B
C
C
DM N°4 MATHEMATIQUES BARYCENTRES 1°SSI 2010-2011
Exercice 1 Soient A et B deux points distincts du plan. 1. Quel est l’ensemble9des points M du plan tels que 2MA#MB1AB?
2. Quel est l’ensembleSdes points M du plan tels que 2MA#MB13MA? vecteurs et soient colinéaires ? 3. Quel est l’ensembleDdes points M du plan tels que les 2MA#MB AB 4. Sur une même figure, représenter les ensembles9,SetD. On prendra AB = 6 carreaux. Exercice 2 Soient ABCD un quadrilatère quelconque, I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD]. On appelle K, L et M les points tels que :KA1 %2KB ;LC1 %2LDLM1MK 1. Faire une figure. {(,1!;(, 2!;(,1!;(,!} 2. On poseG1B C DBar A 2 . a. En associant les points judicieusement, montrer que G est le milieu de [KL]. b. À l’aide d’une autre association, montrer que G, I et J sont alignés. Préciser la position du point G sur la droite (IJ). c. Où se situe le point G sur la figure ?
Exercice 3 Soient A, B et C trois points non alignés du plan. On poseI1Bar{B,1 ;C, 2}. ( ! ( ! La parallèle à (AC) passant par I coupe le segment [AB] en J. 1. Faire un dessin 2. Montrer queI1Bar{B,1 ;A, 2}. ( ! ( ! 3. En quel point la parallèle à (AB) passant par I coupe-t-elle le segment [AC] ? Justifier la réponse.
Exercice 4 uuu uuu 1 AP1 %AC Soient ABC un triangle non plat et M, N, P trois points tels queAM13AB .BN1BC 4 1. Exprimer chacun des points M, N et P comme barycentre de deux des sommets du triangle ABC affectés de poids entiers. 2. Prouver que les droites (AN), (BP) et (CM) sont concourantes. a g( ! ( ! ( ! On pourra chercher à déterminer trois réels ,bqueet tels G1Bar{A,a;B,b;C,g} appartienne à chacune de ces droites ... et utiliser pour cela les résultats de la première question. Exercice 5 a Soient A, B et C trois points non alignés. Pour etbdeux nombres réels tels ea # b 11 qu , on définitH1Bar{A,a;B,b}etF1Bar{C,a;A,b}, puis G le centre de gravité ( ! ( ! ( ! ( ! du triangle AHF.