Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Terminale

Tof

Description

Avec correction. Ds-4 février 2011
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Extrait

Terminale S3DS de Mathématiues n° 425 Février 2010 Durée : 4 heures Exercice 1  (5points) Le plan est muni d’un repère orthonormal directd’unité 1 cm. 1.Restitution organisée de connaissances On rappelle que le pointM’est l’image du pointMpar la rotationrde centreet d’angle de mesure siet seulement si :. a.Soientz,z’affixes respectives des pointset lesM,M’et . Traduire les relations (1) et (2) en termes de modules et d’arguments. b.En déduire l’expression dez’en fonction dez, et. 2.Résoudre dans l’ensembledes nombres complexes l’équation :.  Ondonnera les solutions sous forme algébrique. 3.SoientAetBles points d’affixes respectiveset . a.Écrire a et b sous forme exponentielle. b.Faire une figure et placer les pointsAetB. c.Montrer queOABest un triangle équilatéral. 4.SoitCle point d’affixeetDson image par la rotation de centreOet d’angle.  Placerles pointsCetD. Montrer que l’affixe du pointDest . 5.Montrer queDest l’image du pointBpar une homothétie de centreOdont on déterminera le rapport. 6.Montrer queOADest un triangle rectangle. Exercice 2  (4 points) On donne la représentation graphique d’une fonctionfdéfinie et continue sur l’intervalle I=[−3 ; 8].

On définit la fonctionF.sur I par 1.a.Que vaut F(0) ? b. Donner le signe deF(x) : –pour ; –pour . Justifier les réponses. c.Faire figurer sur le graphique les éléments permettant de justifier les inégalités. Page 1 sur 3

2.a. Que représentef pourF? b. Déterminer le sens de variation de la fonctionFsurI. Justifier la réponse à partir d’une lecture graphique des propriétés def. 3.sur I.hi uesrésentations raose de deux reOn dis

Courbe ACourbe B L’une de ces courbes peutelle représenter la fonctionF? Justifier la réponse. Exercice 3 (4 points) Certains résultats de la PARTIE A pourront être utilisés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indépendammentl'une de l'autre. PARTIE A : On définit : la suitepar :et, pour tout entier naturel.

la suite

 par : pour tout entier naturel

.

1).Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel En déduire la limite de la suite. 2)a).Déterminer le sens de variation de la suite b)fonction deCalculer enn. c)Déterminer la limite de la suite. PARTIE B : Etant donné une suite, de nombres réels, définie pour tout entier natureln, on considère la suite

 définie par. Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse. Justifier dans chaque cas. l'est aussi.est convergente, alors la suiteProposition 1: si la suite Proposition 2 : les suiteset ontle même sens de variation.

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Exercice 4 (7 points) PARTIE A : restitution organisée de connaissances On suppose connus les résultats suivants : Soientu etuavec deux fonctions continues sur un intervalle alorssi pour tout   ouest un nombre réel. Démontrer que sif etgsi pouravec et sont deux fonctions continues sur un intervalle toutx dealors : PARTIE B : Soit lafonction définie sur l'intervallepar 1.Etude de la fonction a..Étudier le sens de variation de la fonctionsur l'intervalle b.admet une unique solutionsurCalculer .Démontrer que l'équation l'intervalle [1 ; e]. Déterminer un encadrement ded'amplitude . c.Déterminer le signe de.suivant les valeurs de 2.Soitfpar la fonction définie sur l'intervalle On notela fonction dérivée de. a..on a :montrer que pour toutCalculer et

b.Déduire de la question 1. le sens de variation de la fonctionf sur l'intervalle c.Démontrer que pour toutxon a : appartenant à l'intervalle

d.En déduire

.

.

3.a)À l'aide d'une intégration par parties, montrer que. b)la courbe représentative de la fonctionOn notef, dans un repère orthonormé  d'unitégraphique 1 cm. 2 Soit l'aireexprimée en cmdu domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équationet .  Déterminerun encadrement de. Bon courage… Page 3 sur 3