La lecture en ligne est gratuite
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres
Télécharger Lire

DS de Maths niveau BTS

De
6 pages
Avec correction. Partiel-3
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour BTS CIG
Voir plus Voir moins
PARTIEL N°3MATHEMATIQUES BTS-CIG1-2010-2011 Exercice1op0n1is:tPartie A : Exploitation du graphique 1. On admet que l’axe des4 ordonnées et la droite (D) sont 3 asymptotes à la courbeC dessinée 2 ci-dessus
1
-1
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0
limf(x) limf(x)  représentantune fonctionf. En déduire :et x|0x|#¥ 2. Le point K( 1/3 ; 1/3) est le point commun àCet (D) . D’après le représentation graphique :  a)Quelle est la position deCpar rapport à (D) ?  b)Quel est le sens de variation def? Partie B : Justification des observations graphiques 3 13 1  Onposef(x)1x# %;g(x)1x# # 2 2 x xx x 1. Expliquer pourquoiCne peut pas représenter la fonctiong. limf(x) lim[f(x)%x] 2. Calculerpuis .Donner une interprétation graphique de ce dernier résultat . x|#¥x|#¥ 3 x#3x%1 3. a)Montrer que pour toutxstrictement positif,f(x) peut s’écrire :f(x)1 2 x limf(x)  b)Calculer .En donner une interprétation graphique. x|0 2 (x#2)(x%1) 4. a)Calculerf' (x) et montrer que :f'(x)1pourx> 0 . 3 x  b)Etudier le signe def' (x) et donner le tableau de variation def.  c)Déterminer une équation de la droite ( T ) tangente àCau point A d’abscisse 1 . 5.  a)Montrer que l’équationf(x! 10 admet une solution uniqueadans l’intervalle ] 0 ; 1[. %3  b)Donner un encadrement d’amplitude 10dea. 6. Montrer queCpossède une tangente (T ’) parallèle à l’asymptote (D) ; donner une équation de (T’).
Exercice3:10points2 x%4x#7 f¡\{1}  Onconsidère la fonctiondéfinie surpar :f(x)1et on appellef x%1  sacourbe représentative dans un repère orthonormé(O;i;jplan d’unité graphique 2cm.) du
limf(x) limf(x) 1°. Calculerx|1etx|1.Que peut-on en déduire pour la courbe () ? x21x01 c a cx 2° . a) Montrer qu’il existe trois réels,bque pour tout réelet telsdistinct de 1 :f(x)1ax#b#x%1 b) Calculer la limite defen +¥et en%¥.
c) Montrer que la courbe (f) admet une asymptote oblique (D) que l'on précisera.  Etudierla position de (f) par rapport àD
3°. Etudier les variations defpuis dresser son tableau de variations
4° Soit D la droite d’équation :y13 .  Déterminerles coordonnées des pointsA et B intersections de  Aétant des deux points celui dont l’abscisse est la plus petite.
favec la droite D.
T T 5° Déterminer les équations réduites des tangentes (A) et (B) aux points d’abscisses 2 et 5 de  lacourbe (f). 6°- Montrer que le pointI1;%le centre de symétrie de la courbe2 est ( !
T T 7° Construire dans le même repère orthonormé(O;i;jdroites () lesA) et (B) la droite ( D ) et ns l’intervalle]1 ;[  lacourbefda .
Exercice 31 2 %x#3x%6 ¡{ }ve dfda  Soitfla fonction définiepar\ 1f(x)1et soitCfla courbe représentatie nsle x%1 repère  orthogonal(O;i,j)unit´es : 1cm sur l’axe des abscisses ; 2 mm sur l’axe des ordonnées. 1. a. Calculer les limites defaux bornes de cet ensemble. C  b.Déduire de la question précédente une asymptote D àf. 2.. Etudier les variations def. c 3. a. Déterminer les réels a, b, c tels quef(x)1ax#b# x%2 x¥  b.Montrer que la droite(D)d’équation%x#2est asymptote àCfquand vers.et vers  c.Etudier la position relative deCfet de(D). TC 4. a. Déterminer le coefficient directeur de la tangente1àfau point A d’abscisse 0. C  b.Déterminer une équation de la tangenteT2àfau point B d’abscisse 2. CT 5. Déterminer tous les points defayant une tangente parallèle à1. 6 . Montrer que le point ( 1; 1) est centre de symétrie deCf. C 7. Déterminer les points d’intersection defavec les axes de coordonnées. TT 8. Tracer D,(D),1,2etCf. Exercice 2 3 2 f  Onconsidère la fonctiondéfinie sur¡par :f(x)1 %2x#4x#8x#18 1. Déterminer les limites defen eten2. Calculer la dérivée defet étudier son signe .Donner le tableau complet de variation . 3. En déduire le nombre de solutions de l’équationf(x)10 m 4. Soitun réel . Donner sans justification le nombre de solutions dans¡de l’équationf(x)1m. m On envisagera les différents cas des valeurs depossibles
Exercice3 3 2  Ondéfinit surRla fonctionfparf(x)1x%x%8x#6etCsa courbe représentative dans un repère . 1. Déterminer les limites defen etenf 2. Calculerf'(x) . Réaliser le tableau de signes def'(x) etles variations de la fonction. 3.a. Ecrire l’équation de la tangente T àfau point d’abscisse 2 .  b.Ecrire l’équation de la tangente D àfau point d’abscisse 0 .  c.Etudier la position deCpar rapport à D . 4. Donner un tableau de valeurs avec un pas de 0,5 . 5. Tracer chacune des tangentes obtenues précédemment puisCaussi précisément que possible sur  l’intervalle[ – 4 ; 4 ] . 6. Combien l’équationf(x)1des solutions sur [−4, 4] (Justifier).0 admet-elle %2 a a  Onnote laplus grande de ces solutions. Déterminer un encadrement ded’amplitude10
1.f(x)est définie si et seulement si son dénominateurx%1¹0, ce qui équivaut àx¹1.  AinsiD1¡\{1}1]% ¥;1[È]1;[ f. 2. Partons du membre de droite de l’égalité proposée : pour toutx¹1, on a : 2 2 4 (%x#2)(x%1)%4x%2#x x#2%4%x%3x#6 %x#21 1% 1, ce qui fallait démontrer . x%1x%1x1%x1% 4 limx1 %¥lim (x%1)1 % ¥ 3.a. En. Onsait quealors puislim10par somme puis quotient x|%¥x|%¥ x%1 x|%¥ lim%x1 #¥lim%x#21 #¥  delimites . De même ,, puis, il s’ensuit alors par somme de limites que x|%¥x|%¥ limf(x)1 #¥ x|%¥  b. En( démarche identique ) 4 limx1 #¥lim (x%1)1 #¥  Onsait quealors puislim10par somme puis quotient de limites . x|#¥x|#¥ x%1 x|#¥ lim%x1 %lim%x#21 %  Demême ,, puis, il s’ensuit alors par somme de limites que x|#¥x|#¥ limf(x)1 %¥  . x|#¥ 4 1lim(%x#2)11lim(x%1)10 c. En 1 : on af(x)1 %x#2% 1x% #2 4% ´pour toutx¹1.x|1etx|1. x%1x%1x1x1 00 1 lim1 %¥  Or,x%100pour toutx01, on en déduit alors par inverse de limites que.et (x%1) x|1 x01 1 limf(x)1 #¥ %4´lim1 #¥  Onconclut par quotient et somme de limites quex|1 (x%1) x|1 x01 x01 1 lim1 #¥  Demême , ,x%120pour toutx21.et, on en déduit alors par inverse de limites que (x%1) x|1 x21 1 limf(x)1 %¥ %4´lim1 %  Onconclut par quotient et somme de limites quex|1 (x%1) x|1 x21 x21 limf(x)1 %¥limf(x)1 #¥ b. Commex1etx1, on peut affirmer que la droite D d’équationx11est une | | x21x01  asymptoteverticale à la courbef. 44 4. a. pour toutx¹1, on af(x)%(%x#2)1 %, or on vient de voir quelim10.Par conséquent x%1x%1 x|#¥ 1 %#¥  Lacourbefadmet la droiteDd’équationy x2pour asymptote enet en. 4  b.pour toutx¹1, on af(x)%(%x#2)1est de même signe que1%x, si bien quef(x)2(%x#2) 1%x % ¥  pourxÎ] ;1[et quef(x)0(%x#2)pourxÎ]1;[. ]% ¥;1[et en dessous de D sur]1;[  Onconclut que la courbefest au dessus de D sur 5. SoitI(x;y)1DÇ D; alorsx11ety1 %x#21 %1#211.Par conséquent l’intersection des asymptotes  Estle pointI(1;1). D1¡\ {1}  Vérifionsmaintenant que ce point est un centre de symétrie de la courbef.Commefest  symétriquepar rapport à 1 il fat et il suffit que :f(a#h)#f(a%h)12b, c’est-à-dire # #% 1´ 1 f(1h)f(1h) 21 2. En effet : pour touth¹0 4 44 4 f(1#h)#f(1%h)1 %(1#h)#2%(%1h%) 2# %11h% %1#h# #. Cqfd 1#h%1 1%h1%h h  Lepoint d’intersection I est donc centre de symétrie de la courbef. 6. a . La fonctionfétant un polynômes, elle est dérivable sur son domaine de définition.
' æ1ö1  Enutilisant la formule1 %pour v une fonction dérivable ne s’annulant pas, ç ¸2 v è øv 2 2 é2#(x%1)ù é2%(x1%)ù 4 2%(x%1) ë ûë  onobtient pour toutx¹1:f'(x)1 %11# 1 2 22 (x%1) (x%1) (x1%) (x#1)(3%x) f'(x)1  Soitpour toutx¹1 2 (x%1) D b) Dressons le tableau de signe def 'surfx %11 3x#1+ +0 + 3%x+ 0+ + 2 + +0 ++ (x%1) f'(x)0 ++ 0+ D c) On en déduit le tableau de variation defsurf x%11 3f'(x0) 0+ + %3f(x) ¥¥  5  Nepas oublier de placer les limites «aux bouts des flèches » 44 f(%1)1 %1#2% 15 etf(3)1 %3#2% 13 %22 ,f's’annule en%1et en3horizontales, tangentes  Deplus sibien que la courbefadmet des  AuxpointsA(%1; 5)etB(3;%3). Elles doivent impérativement apparaître sur le tracé . 4 7. commef(2)1 %2#2%% 14et y 114 12 10 C 8 T 6 A 4 2 I x -6 -5 -4 -3 -2 -1 01 2 3 4 5 6 7 8 -2 C -4B -6 -8 -10 -12 (2#1)(3%2) f'(2)1 13 que ,alors 2 (2%1) la tangente T à la courbef au pointC(2;%4)a pour équation réduite y1f'(2)(x%2)#f(2)13(x%2) 4
Soity13x%10 8. En plaçant les deux asymptotes et les trois tangentes rencontrées en cours d’étude, On peut alors tracer sans aucune difficulté la courbef