Fiche d'exercices corrigé - Physique pour les Premières

M.Douezy

Description

Avec correction. Energie d'un pendule
Fiche d'exercices en Physique (2011) pour Première S

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Extrait

O

Energie d’un pendule

Une petite bille S quasi ponctuelle, de masse m = 200 g, est accrochée à un point fixe O par un fil inextensible, de masse négligeable, de longueur L = 80,0 cm. Les frottements sont négligés. L'ensemble constitue un pendule simple. On repère sa position par l'angleqque fait le fil avec la verticale passant par O. Le fil est écarté vers la gauche et lancé vers la droite avec une vitesse initiale V 1 . Lorsqueq 1 = 30,0°, la -1 vitesse initiale vaut V 1 = 1,50 m.s, le fil étant tendu.

1. Faire un schéma et un bilan des forces. 2. Exprimer l’altitude z en fonction de L et de θ. 3. Montrer que la somme E c + E pp se conserve et calculer cette somme. 4. Déterminer l'angle maximumq m de remontée. Quel est le mouvement ultérieur du pendule ? 5. Quelle vitesse V 1 ' devrait-on communiquer à S lorsqueq 1 q 1 pour que la bille passe la -1 verticale au dessus du point O avec une vitesse V = 5,00 m.s? (Le fil reste alors tendu). Corrigé

1. Schéma et bilan des forces : Système : {bille ponctuelle S}. Référentiel : référentiel terrestre galiléen orienté par l’axe vertical ascendant Az. Bilan des forces :(poids de la bille) et(tension du P T fil), frottements négligés. Schéma :

2. L’altitude est donnée par la hauteur z = AH or z = L - OH où OH est un côté du triangle OHS rectangle en H ; d’après les relations trigonométriques dans un triangle rectangle, on a OH = OS cos θ or OS = L, donc z = L (1 – cos θ).

3. Dans le référentiel d’étude (galiléen), les frottements étant négligés, le travail de la force de tension est nul (carest perpendiculaire à la trajectoire en chacun de ses points). On peut T donc appliquer le théorème de l’énergie mécanique (Em) : la somme des énergies cinétique

(Ec) et potentielle de pesanteur (Epp) se conserve au cours du temps si le travail des forces, autres que le poids, agissant sur le système est nul. A la position repérée par l’angle θ 1 , calculons cette somme : 2 Ec 1 = ½mV 1 et Epp 1 = mgz 1 = mgL(1-cos θ 1 ) d’où Em = Em 1 = Ec + Epp = Ec 1 + Epp 1 2 Em = ½mV 1 + mgL(1-cos θ 1 ) -1 Em = 4,35.10J.

4. L’angle maximum de remontée du système est l’angle θ m pour lequel le système s’arrête puis commence à redescendre ; c’est à dire pour Ec 2 = 0 donc Em = Epp 2 = mgz 2 = mgL(1-cos θ m ). Em étant constante, on peut alors déterminer θ m : -1 θ m (1-(Em/mgL))= cos θ m = 43,7°. Parvenu à cette position, le pendule s’arrête, redescend puis oscille indéfiniment entre les positions déterminées par les angles – θ m et + θ m car, la somme Ec + Epp se conservant, le pendule ne perd pas d’énergie.

5. Calcul de V’ 1 : A la verticale au dessus du point O, 2 Em = ½mV+ mgz 0 où z 0 = 2L 2 Em = ½mV+ 2mgL. A la position repérée par l’angle θ 1 , 2 Em = ½mV’ 1 + mgL(1-cos θ 1 ). Em étant constante, on a la relation suivante : 2 2 ½mV +2mgL = ½mV’ 1 + mgL(1-cos θ 1 ) 2 2 soit V’ 1 = 2(V /2 + 2gL – gL(1 - cos θ 1 ))  2 donc V’ 1 + 2gL(1 + cos θ= √( V 1 ))  -1 V’ 1 = 7,37 m.s. Pour que la bille passe la verticale au dessus du point O avec la vitesse V, il faut lui  -1 communiquer, pour θ = θ 1 , la vitesse V’ 1 = 7,37 m.s.