Séried'exercicessurles suitesréelles4èmeExercice n°1 2 **α+(n−1) r : Soitα∈ℝet la suite u définie surℕpaun= α 1) Montrer que u est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme.
* 2) Pour toutS un pose ∈ℕ, onn=1+u2+...+un.
CalculerSen fonction deαet n. n S * n v définie sur par : 3) Soit la suiteℕvn=n Montrer que la suit v est convergente et déterminer sa limite. Exercice n°2* Soient les suites u et v définies surℕpar : n 1 1 1 1 u= + +...+ =. ∑ n 1 2 2 3 n(n 1) k(k 1) × × +k=1+
n 1 1 1 1 v=1+ + +...+ = . 2 2∑2 n 3 n k k=1 Montrer que les suites u et v sont convergentes et déterminer la limite de la suite u (On pourra
1 1 1 remarquer que= −) k(k+k1) k +1 Exercice n°3 n *1 e définie suru Soit u la suitℕpar :n=. ∑2 =n+k k 1 *n n iern, Montrer que pour tout ent∈ℕ≤un≤. 2 2 n+n n+1
En déduire que la suite u est convergente et déterminer sa limite.
Exercice n°4 1 u11 *2 Soit la suite (un) définie surℕpar : n#1* u u (n) n#11nÎℕ 2n 1 1°) Pour tout entier naturel non nul n , on posev1u n n n
v a)Montrer quen
est une suite géométrique
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Séried'exercicessurles suitesréelles4èmen ∗ b)Exprimer vnet déduire que pour touten fonction de n n∈ℕon a :u1n n 2 *22 1 2 2°) a) En remarquant que pournÎℕ,(n#1!1n1# #; montrer à l’aide 2 n n
2n d’un raisonnement par récurrence que pour tout entiern³4on an£2
b) Déduire alors que la suite (u ) est convergente et préciser sa limite. n
Exercice n°5
Soient a et b deux réels tels quea<bet les deux suites u et v définies par : u+v u+3v * n n n n u=a ; v=b et∀n∈ℕ; u=et v=. 1 1 n+1 n+1 4
* vw u . 1) Considérons la suite w définie surℕpar :n=n−n
Montrer que(w )est une suite géométrique et exprimerwen fonction de a, b et n. n n
2) Montrer que les suites u et v sont adjacentes.
1 3) Calculer, pour tout entier naturel non nul,u v n+n. Conclure. 2 Exercice n°6 On considère les deux suites u et v définies par :
u 2v u 3 * n+n n+vn u0=1 ; v0= −3 et∀n∈ℕ; un 1=et vn 1=. + + 3 4 1) Trouver deux réelsαetβtels que les suites S et T définies pour toutn∈ℕpar:
S u vetvT u n=n+αn n=n+βnsoient géométriques.
2) ExprimerS et Ten fonction de n et déduireu et ven fonction de n. n n n n
3) Déduire alors que les suites(u ) )et (v sont convergentes et donner leurs limites. n n
Exercice n°7 Soit la suite( x )définie par :=0et∀n∈ℕ, x= n 0 n+1
0 x 2 1) a) Montrer que pour tout entier naturel n;≤n≤
x+2n
b) En déduire que)( x est convergente et déterminer sa limite. n
2) On pose
2 n= −xn.
a) Montrer que∀n∈ℕ; y≤ n+1
n . 2
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Séried'exercicessurles suitesréelles4èmeb) Retrouver alors le résultat de 1) b) π osen=z2 cos( n)avec∈0,. 3) On p n 2 a) Montrer que( z )est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier n
terme.
b) Exprimerzet puis en fonction de n. n n Retrouver alors le résultat de 1) b)Exercice n°8 Soit (u ) la suite réelle à termes non nuls définie par : n 12 u11 ;u1etpourtoutentiernatureln, u12u u0 1n#1n#2n 2 u n1 1°) Pour e1toutnℕ, on posvn u n Montrer que (v ) est une suite géométrique dont on précisera la raison n n#1 1 2°) En déduire que pour tout entier naturel n on a :u1u n#1n 2 n( n#1) 2 1 3°) Montrer alors que pour tout entier naturel n on a :u1 n 2 4°) En déduire que la suite (u ) est convergente et déterminer sa limite n
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Séried'exercicessurles suitesréelles4èmeCorrection Exercice n°1 2 2 α+nα+(n−1) 11 1) un 1−un== − donc u est une suite arithmétique de raison + α α αα et de premier terme u1=α.
n n 2)S u u u (somm n=k=(1+n)e de termes consécutifs d'une suite arithmétique)∑ 2 k=1 2 n (n 1) n n α+ −22 2 . =α+ =(α+α+n−1)=(2α+n−1) 2α2α2α
2 2 1 1 *Sn12α− 3)nPour tout ,v 2 n 1 ∈ℕn= =α+ − = +. 2( ) n 2nα2αn 2α 2 α−1 La suiten֏est convergente et elle converge vers 0 nα
1 Donc la suite v est converg ente etlim vn=. 2α n→+∞
Exercice n°2 Etude de la suite(u )n
* Soitn∈ℕ. n n n n n n+1 11 11 1 1 1 u= = − = − = − ∑k(k 1)∑1k k ∑k∑k 1∑k∑k n k=1+k=1 + k=1 k=1+k=1 k=2
n n+1 1 1 1 1 1 Car...= + + + = ∑ ∑ k 1 k=1+n2 3 +1k=2k n n 11 11 Donc un=1+ =+ − 1−. k∑=2kk∑=2k n+1n+1
Exercice n°5 1 1 1 1)w=u−v=(u−v)=w⇒(w)etest une suite géométrique de raison n+1 n+1 n+n1 n n n 4 4 4 termeu v. de premierw1=1−1=a−b
n−1 *1 Doncbn ; w a . ∀ ∈ℕn=(−) 4
* w u v 0 be ∀nℕ;n<cara<tlim w 2) Remarquons que−∈ = n=0n n n→+∞
*un+vnvn−unwn Pour toutn∈ℕ, u−u= −u= = − >0n+n1 n 2 2
Donc la suite(u )est croissante. n
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Séried'exercicessurles suitesréelles4èmeu+3v u−v w * n n n n n Pour toutn∈ℕ, v−v= −v= = <0n+n1 n 4 4 4
Donc la suite(v )est décroissante. n
Conclusion:
* n , u v ∀ ∈ℕn≤n (u ) croissante et (v ) décroissante Les suites u et v sont adjacentesn n⇒ lim (un−vn)=0 n→+∞ 1 un+vnun+3vn2un+4v 1 n 3)u+v u v n+1 n+1= == + n+n. Donc la suite 4 4 4 2
1*11 1 n֏u+vest constante et∀n∈ℕ; u+v=u+v=a+b. n n n n 1 1 2 2 2 En plusles suites u et v sont adjacentesdonc elles convergent vers une même limite l.
1 1 3 1 Par passage à la limite da ns l'égalitéun+vn=a+b, on obtientl=a+bce qui 2 2
11 2 donnel=a+b=a+b cqfd. 323 3
Exercice n°6
1) Soit
4+3x 8+5x−3x ∈ℝ,u+xv=(u+xv)+n+1 n+n1 n 12 12
2 8+5x−3x Pour que la suiteu+xvsoit géométrique, il suffit de poser=0( ) n 12 8 Ce qui est équivaut à= −1oux=. 3 Ainsi, on obtient deux suites géométriques :
4−3 1 S : n urai on ֏n−vnest une suite géométrique de s= 12 12
et de premier termeS=u−v=4. 0 0 0 8 4+3× 812 3 T : n֏u+vest une suite géométrique de rais n non= =1312 12
et de premier termeT 0
= −7 (suite constante)
n 1 S 4 b) Pour tout entier naturel n,n= etT= −7. n 12