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Oral de Mathématiques de niveau Agrégation

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Groupes : oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation
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Sujets sur les groupes
101 : groupes monogènes : il convient de donner des exemples autres que dans Z (sous groupes de (K[X ], +), de (R, +), etc.). On apprécierait desexemples de groupes non monogènes à la fois dans le cas commutatif et non commutatif. Il faut ici maitriser les techniques de calcul telles que lecalcul de φ(n)et éviter les développements sans grand rapport avec le sujet tels que le théorème de Wilson. On peut aussi évoquer unecondition nécessaire et suffisante pour qu’un groupe soit cyclique, les sous-groupes d’un groupe cyclique, etc. Enfin, les sous-groupes de R, trop souvent évoqués et d’un intérêt limité par rapport à la situation, ont maintes fois donné lieu à des démonstrations peu rigoureuses.
102 : groupes symétriques : les exemples d’applications de ces groupes aux déplacements et/ou isométries sont souvent évoqués mais les candidats arrivent rarement à lesinterpréter; par ailleurs l’étude dugroupe des isométries qui conservent un tétraèdre régulier peut faire l’objet d’un développement intéressant.
118 : GO(2) et GO(3)
142 : groupes en géométrie : se limiter à une présentation du groupe des homothéties et translations est très insuffisant ; on attend ici quelques situations précises où les groupes interviennent (on pourra penser auxfrises et pavages).
158 : Actions de groupes. Exemples et applications Avant de s’engager dans des notions délicates, il serait préférable de bien comprendre le lien entre les automorphismes intérieurs et la similitude de matrices carrées de taille 2 ou 3.
301 : exercices sur les groupes
302 : interventions des groupes en géométrie
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