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Oral de Mathématiques de niveau Agrégation

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Avec correction. Arithmétique - oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation
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303 Exercicesfaisant intervenir la division euclidienne Exercice 0 : détermination d'un polynôme annulateur pour une matrice 3 3 [Merlin ch CALCUL MATRICIEL 1 ex1] Pré requis: produit matriciel Travail de l'élève: calculmatriciel, utilisation du calcul formel Place dans une séquence d'enseignement: évaluation ou exemple dans le cours sur les endomorphismes Intérêt: Trouver des polynômes annulateurs différents du polynôme caractéristique et utilisation de la DE pour calculer toutes les puissances de la matrice Exercice 1 : équation diophantienne ax+by=c. [Deschamps T1 PGCD ET PPCM p 517-519] Pré requis: pgcd, Bézout Travail de l'élève: utiliser l'algorithme de Bézout étendu Place dans une séquence d'enseignement: td Intérêt: Résolution d'une équation et programmation n p Exercice 2CNS pour que XlbeivisXapr-1tdisoi-1 [Deschamps T2 POLYNOMES ex 20 et 22] Pré requis: DE dans les polynômes Travail de l'élève: récurrence,DE de polynômes Place dans une séquence d'enseignement: recherche Intérêt: Dans cet exercice, on doit faire une d.e. de deux polynômes génériques. Il s'agit d'un exercice de recherche dans lequel on commence par établir une relation de récurrence entre les quotients et les restes obtenus pour les polynômes de degrés n et n-p (indication). Exercice 3 : congruence, fonction d'Euler et écriture décimale Deschamps et Butz T2 ANNEAUX ET ALGEBRES ex 10] Pré requis: théorème Chinois, Lagrange. Travail de l'élève: lire l'écriture décimale au jour de l'arithmétique modulaire. Place dans une séquence d'enseignement: recherche Intérêt: exemple de changement de cadre Exercice 4 : suite de Fibonacci [Butz et Deschamps T2 ANNEAUX ET ALGEBRES ex 12] Pré requis : lemme de Gauss, caractérisation du PGCD. Travail de l'élève : utiliser les théorèmes du cours pour établir un résultat théorique Place dans une séquence d'enseignement : recherche Intérêt : extension au calcul du coût de l'algorithme d'Euclide Exercice 5 : théorème Chinois dans K(X) [Combes ch ANNEAUX PRINCIPAUX ex 1 et 2 p 250] Pré requis: théorème Chinois. Travail de l'élève: utiliser les théorème chinois et une relation de Bézout pour déterminer une unité. Place dans une séquence d'enseignement: évaluation nd Intérêtdegré à: comparer l'arithmétique des polynômes et des entiers, passer d'une équation du 2 un système, recherche d'une relation de Bézout entre 3 éléments. Exercice 6 : racines des polynômes orthogonaux et intégration de Gauss p 265 et 339. Travail de l'élève :montrer que les polynômes orthogonaux sont scindés simples sur R et l'utiliser pour montrer que les formules de quadrature sont d'ordre maximum sur ces racines. Prérequis :déterminants de Vandermonde, division euclidienne polynomiale. Intérêt :atteindre l'ordre maximum des formules de quadrature. Place dans une séquence d'enseignement: évaluation.
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