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Oral de Mathématiques de niveau Agrégation

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Avec correction. Arithmétique - oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation
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304 Exercicesfaisant intervenir le théorème de Bézout Exercice 0 : équation diophantienne ax+by=c. [Deschamps T1 PGCD ET PPCM p 517-519] Pré requis: pgcd, Bézout Travail de l'élève: utiliser l'algorithme de Bézout étendu Place dans une séquence d'enseignement: td Intérêt: Résolution d'une équation et programmation
Exercice 1 : théorème Chinois dans K(X) [Combes ch ANNEAUX PRINCIPAUX ex 1 et 2 p 250] Pré requis: théorème Chinois. Travail de l'élève: utiliser les théorème chinois et une relation de Bézout pour déterminer une unité. Place dans une séquence d'enseignement: évaluation Intérêt: comparer l'arithmétique des polynômes et des entiers, passer d'une équation du nd 2 degréà un système, recherche d'une relation de Bézout entre 3 éléments.
Exercice 2 : inversion dansℤ /n[Demazure p 47] Commentaires Pré requis: théorème de Bézout, algorithme d'Euclide étendu. Travail de l'élève: utiliser les théorème chinois et une relation de Bézout pour déterminer une unité. Place dans une séquence d'enseignement: cours Intérêt: à comparer à l'utilisation du théorème d'Euler pour l'inversion ; préparation au décodage RSA.
Exercice 3 somme de deux carrés [Leichtnam 1.17 1, 2 et 3] Pré requis: Bézout, identité de Lagrange (indication) Travail de l'élève: Place dans une séquence d'enseignement: évaluation Intérêt: établir un résultat théorique