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Oral de Mathématiques de niveau Agrégation - Équations différentielles

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équations différentielles - oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation
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234 Équationsdifférentielles Le jury attire l’attention sur le fait que dans l’équation différentielleX'=f(t,X) ,Xpeut désigner une fonction vectorielle. Le lemme de Gronwall semble trouver toute sa place dans cette leçon. L’utilisation du théorème de Cauchy-Lipschitz doit pouvoir être mis en œuvre sur des exemples concrets. Laisse tomber la résolution avec les séries. NB : tu ne t'occupes que des ED résolues en y' avec conditions initiales et non des conditions aux limites. DEVELOPPEMENT : CAUCHY LINEAIRE. Tout est dans LFA, Gourdon, Hubbard, DWT2 1) X'=A(t)X + B(t) : généralités Exemples : x'=wx+u [D-W T2] et l'ex 2p25 de LFA.
T1 : Structure de l'espace des solutions nd Csq pratique : résoudre X'=AX et trouver une solution particulière de l'équation avec 2membre.
T2 : théorème de Cauchy-Lipschitz et exponentielle matricielle dans le cas où A est constante, ou alors lorsque A(s)A(t)=A(t)A(s). Exemple et contre-exemple : ex 11 ch23 de DWT2
Csq1 : l'espace vectoriel des solutions de l'équation homogène est de dimension n. Application : résolution de l'équation 1 donnée en exemple : tu reconnais les séries à vue.
Csq2 : Wronskien d'une famille de solutions. LFA et Gourdon Application : vérification que les solutions intuitées pour l'ex 2p25 forment une base. Différencier sur les sous intervalles et sur R tout entier.
nd T3 : VDC pour trouver une SP de l'équation avec 2membre : LFA.
Application à la résolution des EDLSCC par passage à un SD. Forme générale des solutions. Attention à la signification de l'unicité dans le cas où l'ordre est >1 : il faut fixer toutes les dérivées en un point et pas seulement la fonction. Application : équation d'Euler LFA p 88
Recherche d'une solution particulière dans le cas d'un second membre exponentiel : Liret diffusion compartimentale. Tu peux aussi contrôler des solutions avec Gronwall. Exercice : les solutions de y''+qy=0 sont bornées sur R+. Gourdon.
2) X'=f(t,X) lorsque f n'est pas linéaire Exemple de x'=ax-bx². L'ensemble des solutions n'a pas de structure a priori.
T4 : Cauchy Lipschitz lorsque f est C1 : cf Lehning. Contre exemple sinon : x'=x. 2 Exemples des solutions maximales qui ne sont pas globales avec x'=-2tx.
Applications théoriques du théorème de Cauchy-Lipschitz dans Gourdon. - Principe de majoration a priori. - Comportement des solutions aux bornes. - Isolement des zéro des solutions d'une équation différentielle d'ordre 2 ; application dans le cas linéaire : entrelacement des zéros de deux solutions indépendantes.
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